Півторалінійна форма

Півторалінійна форма — функція f(x, y) від двох векторів векторного простору V над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ sp значеннями в цьому полі, якщо вона є лінійною як функція x при кожному фіксованому y і напівлінійною як функція y при кожному фіксованому x. Вимога напівлінійності по y означає, що виконані такі умови:

• ${\displaystyle f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,}$
• ${\displaystyle f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .}$

Півторалінійна форма f(x,y) називається ермітовою, якщо для неї виконується умова

• ${\displaystyle f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.}$

Властивості

При виборі довільного базиса ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ простору V півторалінійна форма записується у виді

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}\,x_{i}{\overline {y}}_{j},\ \ \ a_{ij}=f(e_{i},e_{j}),}$

де ${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}}$ и ${\displaystyle y=y_{1}e_{1}+\cdots +y_{n}e_{n}}$.

Див. також

• Білінійна форма
• Лінійна форма
• Ермітова форма

Література

• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Примітки

1. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.