Симплектичний простір

Симплектичний простір — векторний простір S з заданою на ньому симплектичною формою ${\displaystyle \omega }$, тобто білінійною кососиметричною невиродженою 2-формою. А саме формою для якої для будь-яких ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {S} }$ і скалярів ${\displaystyle \lambda ,\,\mu \,}$виконуються умови:

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$

${\displaystyle \forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0}$

Дане означення має зміст для векторних просторів над полями характеристика яких не є рівною 2. Над полями характеристика яких є рівною 2 в означенні, як правило, вимагають сильнішу (і еквівалентну для полів іншої характеристики) вимогу, що для всіх векторів:

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0.}$

Пов'язані означення

• Лінійне відображення L симплектичного простору називається симплектичним, якщо воно зберігає симплектична форму:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle }$

• Множина всіх симплектичних відображень простору S утворює групу, що називається симплектичною групою і позначається Sp(S).
• Матриця симплектичного відображення називається симплектичною матрицею.
• Підпростір s симплектичного простору S називається симплектичним, якщо обмеження симплектичної форми на s є невирождени.
• Два вектора ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S}$ називаються косоортогональними, якщо

${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0}$

Відзначимо, що будь-який вектор э косоортогональним самому собі.

• Косоортогональним доповненням підпростору ${\displaystyle s\subset S}$ називається множина всіх векторів, косоортогональних будь-якому вектору з ${\displaystyle s}$.

Приклади

• На просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ із базисом позначеним як ${\displaystyle \mathbf {e_{1}} ,\ldots ,\mathbf {e_{n}} ,\mathbf {f_{1}} ,\ldots ,\mathbf {f_{n}} }$ існує стандартна симплектична форма, яка на базисних векторах задана як

${\displaystyle \omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )=0,\;\forall \ i,j\in 1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \omega (\mathbf {f_{i}} ,\mathbf {f_{j}} )=0,\;\forall \ i,j\in 1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {f_{j}} )=-\omega (\mathbf {f_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}.}$

Матриця цієї симплектичної форми відповідно має вигляд ${\displaystyle \Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$, де ${\displaystyle I_{n}}$ — одинична матриця порядку n.

Якщо вектори у цьому базисі записати через координати ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{2n})^{T},\ \mathbf {b} =(b_{1},\ldots ,b_{2n})^{T}}$ то симплектична форма через координати записується як:

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}b_{n+i}-a_{n+i}b_{i})}$

або у векторно-матричній формі:

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {a} ^{T}\cdot \Omega _{n}\cdot \mathbf {b} .}$

• Попередній приклад можна узагальнити для довільного простору ${\displaystyle \mathbb {F} ^{2n}}$ для поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ характеристика якого не є рівною 2 і кососиметричної матриці ${\displaystyle M}$ (тобто ${\displaystyle M^{T}=-M}$). Тоді для базису ${\displaystyle \mathbf {e_{1}} ,\ldots ,\mathbf {e_{2n}} }$ симплектичну форму можна задати на базисних векторах як ${\displaystyle \omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} )=M_{ij}.}$ Тоді у векторно-матричній формі через координати у цьому базисі симплектичну форму можна обчислити як:

${\displaystyle \omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {a} ^{T}\cdot M\cdot \mathbf {b} .}$

• У комплексному просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ можна задати білінійну кососиметричну форму за формулою

${\displaystyle \left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]}$

де ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ — ермітова форма. Ця форма задає симплектичну структуру на просторі ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ розглянутому як дійсний простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ .

• Більш загально, якщо на дійсному векторному просторі ${\displaystyle V}$ задані комплексна структура ${\displaystyle J}$ (тобто лінійний ізоморфізм для якого ${\displaystyle J^{2}=-I}$ або ${\displaystyle J(J(\mathbf {v} ))=-\mathbf {v} }$ для всіх ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$) і узгоджена ермітова структура, тобто скалярний добуток на просторі ${\displaystyle V}$ для якого додатково ${\displaystyle g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(J(\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} ))}$ для всіх ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}$, то форма ${\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))}$ є симплектичною. Вона очевидно є білінійною і також кососиметричною оскільки:

${\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))=g(J(\mathbf {v} ),J(J(\mathbf {w} )))=g(J(\mathbf {v} ),-\mathbf {w} )=-g(\mathbf {w} ,J(\mathbf {v} ))=-\omega (\mathbf {w} ,\mathbf {v} ).}$

Також вона є невиродженою адже для кожного ненульового ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ для скалярного добутку g значення ${\displaystyle g(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )>0}$. Оскільки ${\displaystyle J}$ є ізоморфізмом, то ${\displaystyle \mathbf {w} =J^{-1}(\mathbf {v} )}$ є ненульовим вектором і ${\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,w)=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))=g(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\neq 0.}$

Навпаки для скінченновимірного дійсного простору ${\displaystyle V}$ із симплектичною формою ${\displaystyle w}$ існують комплексна структура ${\displaystyle J}$ і ермітова структура ${\displaystyle g}$ для яких ${\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))}$. Для визначення цих структур достатньо розглянути базис Дарбу ${\displaystyle (\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )}$, як у розділі нижче і ввести на базисних векторах ${\displaystyle J(\mathbf {p_{i}} )=-\mathbf {q_{i}} }$ і ${\displaystyle J(\mathbf {q_{i}} )=\mathbf {p_{i}} }$, а скалярний добуток на базисних векторах ввести як:

${\displaystyle g(\mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} )=0,~~g(\mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} )=g(\mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} )=\delta _{ij}}$

• Для будь-якого простору V існує канонічна симплектична структура на просторі ${\displaystyle V\oplus V^{*}}$, де ${\displaystyle V^{*}}$ — простір спряжений до V. Для двох елементів цього простору ${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {u} ^{*})}$ і ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{*})}$, де ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$, а ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*},\mathbf {v} ^{*}\in V^{*},}$ симплектична форма задається як:

${\displaystyle \omega ((\mathbf {u} ,\mathbf {u} ^{*}),(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{*}))=v^{*}(\mathbf {u} )-u^{*}(\mathbf {v} ).}$

Канонічна структура

Симплектичну структуру можна ввести на будь-якому векторному просторі розмірність якого є парним числом. Над полем характеристика якого не є рівною 2 на векторному просторі розмірність якого є непарним числом не існує невиродженої кососиметричної білінійної форми.

Справді ввівши деякий базис ${\displaystyle \mathbf {e_{1}} ,\ldots \mathbf {e_{2n+1}} }$ білінійна форма однозначно задається за допомогою матриці ${\displaystyle \Omega }$ для якої ${\displaystyle \Omega _{ij}=\omega (\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{j}} ).}$ Тоді у термінах цієї матриці кососиметричність означає, що ${\displaystyle \Omega ^{T}=-\Omega }$, а невиродженість, що ${\displaystyle \det \Omega \neq 0.}$ Але для простору непарної розмірності випливає, що для кососиметричної форми ${\displaystyle \det \Omega =\det \Omega ^{T}=\det(-\Omega )=(-1)^{2n+1}\det \Omega .}$ Тобто для простору непарної розмірності для матриці кососиметричної білінійної форми ${\displaystyle \det \Omega =0,}$ отже форма є виродженою.

Всі симплектичні простори однакової розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійний ізоморфізм який із своїм оберненим є симплектичними відображеннями. Розглянемо деякий вектор ${\displaystyle \mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n}$. Оскільки ${\displaystyle \omega }$ є невиродженою формою, то існує такий вектор ${\displaystyle \mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S} }$, що

${\displaystyle \left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1}$

Розглянемо косоортогональне доповнення до лінійної оболонки V векторів ${\displaystyle \mathbf {p_{1}} }$ і ${\displaystyle \mathbf {q_{1}} }$. Це доповнення буде (2n - 2)-вимірним підпростором S, що не перетинається із V і обмеження ${\displaystyle \omega }$ на нього є невиродженою формою. Отже, процес можна продовжити по індукції. Для простору непарної розмірності процес завершиться на одновимірному підпросторі, на якому ${\displaystyle \omega }$ є виродженою формою, так що припущення про існування симплектичної структури було хибним. Для простору парної розмірності ми отримаємо базис

${\displaystyle (\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )}$,

для якого

${\displaystyle \left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0}$

де ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера. Він називається канонічним базисом або базисом Дарбу. Наприклад у випадку дійсних векторних просторів із базисом Дарбу простір є ізоморфний простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ із симплектичною формою із першого прикладу.

У канонічному базисі матриця симплектичної форми набуде вигляду

${\displaystyle \Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}$

де ${\displaystyle I_{n}}$ — одинична матриця порядку n. ${\displaystyle \Omega _{n}}$ є симплектичною матрицею.

Будова підпросторів

Розглянемо підпростір ${\displaystyle W\subset \mathbb {S} }$ і його косоортогональне доповнення ${\displaystyle W^{\perp }}$. Із невироджені ${\displaystyle \omega }$ випливає, що:

${\displaystyle \dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S} }$

Крім того,

${\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W}$

У загальному випадку ці підпростору перетинаються. Виділяють 4 типи підпросторів:

• Симплектичні: ${\displaystyle W\cap W^{\perp }=0}$. Це вірно тоді і тільки тоді, коли обмеження ${\displaystyle \omega }$ на W є невирожденим, тож таке означення симплектичних підпросторів збігається з даним вище. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k=\dim \,W}$

• Ізотропні: ${\displaystyle W\subset W^{\perp }}$. Підпростір є ізотропним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \omega }$ тотожно дорівнює нулю на ньому. Будь-який одновимірний підпростір є ізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~0,\dots ,0),\,k=\dim \,W}$.

• Коізотропні: ${\displaystyle W^{\perp }\subset W}$. W є коізотропним тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \omega }$ є невирожденою на фактор-просторі ${\displaystyle W\,/\,W^{\perp }}$. Будь-який підпростір корозмірності 1 є коізотропним. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S} }$

• Лагранжеві: ${\displaystyle W^{\perp }=W}$. W є лагранжевим тоді і тільки тоді, коли він одночасно є ізотропним і коізотропним. Будь-який ізотропний підпростір можна вкласти у лагранжів, а будь-який коізотропний підпростір містить лагранжів. У відповідних координатах Дарбу W має вигляд

${\displaystyle (p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S} }$

Множина всіх лагранжевих підпросторів простору розмірності 2n утворює многовид, що називається лагранжевим грассманіаном ${\displaystyle \Lambda _{n}}$. Він є дифеоморфним многовиду класів суміжності унітарної групи ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ по ортогональній підгрупі ${\displaystyle \mathbb {O} _{n}}$, при цьому

${\displaystyle \dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

Узгоджені комплексні структури

Нехай ${\displaystyle V}$ є скінченновимірним (парної розмірності) векторним простором над полем дійсних чисел із симплектичною формою ${\displaystyle \omega }$. Комплексна структура ${\displaystyle J}$ називається узгодженою із симплектичною структурою, якщо:

• для всіх ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}$ виконується рівність ${\displaystyle \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (J(\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} ))}$
• білінійна форма ${\displaystyle g_{J}(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ):=\omega (\mathbf {v} ,J(\mathbf {w} ))}$ є скалярним добутком.

Для кожної симплектичної структури існує нескінченна кількість узгоджених комплексних структур. Зокрема можна розглянути довільний скалярний добуток ${\displaystyle g}$ і ввести лінійні відображення ${\displaystyle {\bar {\omega }},\ {\bar {g}}:V\to V^{*}}$ задані як ${\displaystyle {\bar {\omega }}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ і ${\displaystyle {\bar {g}}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$ Оскільки ${\displaystyle \omega }$ і ${\displaystyle g}$ є невиродженими білінійними формами, то ${\displaystyle {\bar {\omega }},\ {\bar {g}}}$ є лінійними ізоморфізмами і можна ввести лінійний ізоморфізм ${\displaystyle A\ :V\to V}$ заданий як ${\displaystyle A\ ={\bar {g}}^{-1}\circ {\bar {\omega }}.}$ За означенням тоді ${\displaystyle g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

Відображення A є кососиметричним адже ${\displaystyle g(\mathbf {v} ,A\mathbf {w} )=g(A\mathbf {w} ,\mathbf {v} )=\omega (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )=-\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=-g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ для всіх ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V.}$ Тому в ортонормованому базисі для скалярного добутку ${\displaystyle g}$ цей оператор задається кососиметричною матрицею, яку теж можна позначити A. Тоді матриця ${\displaystyle A^{T}A=-AA}$ є симетричною і додатноозначеною оскільки ${\displaystyle g(A^{T}A\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=\omega (A\mathbf {v} ,A\mathbf {v} )>0}$ для всіх ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0.}$

Позначимо ${\displaystyle R={\sqrt {A^{T}A}}}$ і ${\displaystyle J=R^{-1}A}$. Тоді ${\displaystyle A=RJ}$ є полярним розкладом матриці і оскільки матриця A як кососиметрична матриця є нормальною, то також ${\displaystyle RJ=JR}$ і відповідно ${\displaystyle AJ=RJJ=JRJ=JA.}$ Також ${\displaystyle JJ=R^{-1}RJJ=R^{-1}JA=-(AA)^{-1}AA=-I,}$ тобто ${\displaystyle J}$ визначає комплексну структуру і ${\displaystyle J^{T}J=A^{T}(R^{-1})^{T}R^{-1}A=-A(-(AA)^{-1})A=I,}$ тобто ${\displaystyle J}$ є ортогональною матрицею тобто ${\displaystyle g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(J\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )}$ для всіх ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V.}$

Для визначеної комплексної структури виконуються рівності:

${\displaystyle \omega (J\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=gAJ(\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=gJA(\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=g(A\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$

Також якщо ввести білінійну форму

${\displaystyle g_{J}(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\omega (\mathbf {v} ,J\mathbf {w} )=g(A\mathbf {v} ),J(\mathbf {w} )=-g(JA\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=g(R\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$

то з додатноозначеності матриці ${\displaystyle R}$ випливає, що ${\displaystyle g_{J}}$ є скалярним добутком і відповідно ${\displaystyle J}$ задає узгоджену комплексну структуру.

Див. також

• Симплектична геометрія
• Симплектична група
• Симплектична матриця
• Симплектична форма
• Симплектичний базис
• Симплектичний многовид

Література

• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — 2-ое изд. — Ижевск : РХД, 2000. — 168 с. — .
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — .
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М : Издательство МГУ, 1988. — 414 с.
• Augustin Banyaga, Djideme F Houenou. A Brief Introduction To Symplectic And Contact Manifolds. — World Scientific, 2016. — 166 с. — .