Конгруентні матриці

Квадратні матриці ${\displaystyle \ A,\;B}$ називаються конгруентними, якщо існує невироджена матриця ${\displaystyle \ P}$, що виконується :

${\displaystyle \ B=P^{T}AP.}$

• Відношення конгруентності матриць є відношенням еквівалентності.

Конгруентні матриці виникають під час зміни базису білінійної форми чи квадратичної форми. Дві матриці є конгруентними тоді і тільки тоді, коли вони описують одну і ту ж білінійну форму в різних базисах.

Перехід від одного базису до іншого задається матрицею переходу ${\displaystyle \ P.}$

Закон інерції Сильвестра

Щоб спростити задання білінійної форми, шукають базис в якому її матриця є діагональною.

Довільна дійсна симетрична матриця є конгруентною до деякої діагональної матриці, при чому, можна обмежитись тільки ортогональними перетвореннями ${\displaystyle \ P^{-1}=P^{T}.}$

І діагональна матриця буде складатись з власних значень матриці ${\displaystyle \ A}$ (див. Подібні матриці).

Якщо ж не обмежуватись тільки ортогональними перетвореннями, то можна добитись, що на діагоналі будуть тільки числа -1, 0, +1.

Закон інерції Сильвестра стверджує, що дві дійсні симетричні матриці конгруентні тоді і тільки тоді, коли в них однакова кількість додатних, від'ємних і нульових власних значень.

Дивись також

• Теорія матриць

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)