Квадратні матриці називаються подібними, якщо існує невироджена матриця (називається матрицею переходу), що виконується :
- Відношення подібності матриць є відношенням еквівалентності.
- Критерієм подібності двох матриць є збіг усіх їх власних значень.
Властивості
У подібних матриць багато характеристик збігаються, а саме:
- визначник матриці;
- ранг матриці;
- слід матриці;
- характеристичний многочлен
;
- мінімальний многочлен
- власні значення (хоча, власні вектори можуть бути різними);
- отже, якщо квадратна матриця розміру n, подібна до деякої діагональної матриці, то вона має n лінійно незалежних власних векторів.
Канонічна форма лінійного перетворення
Подібні матриці описують одне і теж лінійне перетворення простору в різних базисах. Перехід від одного базиса до іншого задається матрицею переходу
Щоб спростити задання лінійного перетворення, шукають базис в якому матриця діагональна. Але не всі матриці є подібними до деякої діагональної матриці, хоча комплексні нормальні матриці та дійсні симетричні матриці — подібні.
Спектральна теорема стверджує, що довільна нормальна матриця унітарно-подібна до деякої діагональної матриці.
Існують також складніші канонічні форми матриць, до яких довільна матриця може бути приведена перетворенням подібності:
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvadratni matrici A B displaystyle A B nazivayutsya podibnimi yaksho isnuye nevirodzhena matricya P displaystyle P nazivayetsya matriceyu perehodu sho vikonuyetsya B P 1 A P displaystyle B P 1 AP Vidnoshennya podibnosti matric ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Kriteriyem podibnosti dvoh matric ye zbig usih yih vlasnih znachen VlastivostiU podibnih matric bagato harakteristik zbigayutsya a same viznachnik matrici rang matrici slid matrici harakteristichnij mnogochlen B l I P 1 A P l I P 1 A P l P 1 I P P 1 A l I P P 1 A l I P A l I displaystyle B lambda I P 1 AP lambda I P 1 AP lambda P 1 IP P 1 A lambda I P P 1 cdot A lambda I cdot P A lambda I minimalnij mnogochlen vlasni znachennya hocha vlasni vektori mozhut buti riznimi otzhe yaksho kvadratna matricya rozmiru n podibna do deyakoyi diagonalnoyi matrici to vona maye n linijno nezalezhnih vlasnih vektoriv Kanonichna forma linijnogo peretvorennyaPodibni matrici opisuyut odne i tezh linijne peretvorennya prostoru v riznih bazisah Perehid vid odnogo bazisa do inshogo zadayetsya matriceyu perehodu P displaystyle P Shob sprostiti zadannya linijnogo peretvorennya shukayut bazis v yakomu matricya diagonalna Ale ne vsi matrici ye podibnimi do deyakoyi diagonalnoyi matrici hocha kompleksni normalni matrici ta dijsni simetrichni matrici podibni Spektralna teorema stverdzhuye sho dovilna normalna matricya unitarno podibna do deyakoyi diagonalnoyi matrici Isnuyut takozh skladnishi kanonichni formi matric do yakih dovilna matricya mozhe buti privedena peretvorennyam podibnosti Zhordanova normalna forma Frobeniusova normalna formaDiv takozhTeoriya matric Kongruentni matriciDzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros