Подібні матриці

Квадратні матриці ${\displaystyle \ A,\;B}$ називаються подібними, якщо існує невироджена матриця ${\displaystyle \ P}$ (називається матрицею переходу), що виконується :

${\displaystyle \ B=P^{-1}AP.}$

• Відношення подібності матриць є відношенням еквівалентності.

• Критерієм подібності двох матриць є збіг усіх їх власних значень.

Властивості

У подібних матриць багато характеристик збігаються, а саме:

• визначник матриці;
• ранг матриці;
• слід матриці;
• характеристичний многочлен ${\displaystyle \ |B-\lambda I|=|P^{-1}AP-\lambda I|=|P^{-1}AP-\lambda P^{-1}IP|=|P^{-1}(A-\lambda I)P|=|P^{-1}|\cdot |A-\lambda I|\cdot |P|=|A-\lambda I|}$;
• мінімальний многочлен
• власні значення (хоча, власні вектори можуть бути різними);

отже, якщо квадратна матриця розміру n, подібна до деякої діагональної матриці, то вона має n лінійно незалежних власних векторів.

Канонічна форма лінійного перетворення

Подібні матриці описують одне і теж лінійне перетворення простору в різних базисах. Перехід від одного базиса до іншого задається матрицею переходу ${\displaystyle \ P.}$

Щоб спростити задання лінійного перетворення, шукають базис в якому матриця діагональна. Але не всі матриці є подібними до деякої діагональної матриці, хоча комплексні нормальні матриці та дійсні симетричні матриці — подібні.

Спектральна теорема стверджує, що довільна нормальна матриця унітарно-подібна до деякої діагональної матриці.

Існують також складніші канонічні форми матриць, до яких довільна матриця може бути приведена перетворенням подібності:

• Жорданова нормальна форма
• Фробеніусова нормальна форма

Див. також

• Теорія матриць
• Конгруентні матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)