Спектральна теорема

Спектральна теорема — в лінійній алгебрі та функціональному аналізі, певні результати для лінійних операторів щодо їх діагоналізації.

В загальному випадку, спектральна теорема про комутативні C*-алгебри.

Нормальні оператори в Гільбертових просторах

Спектральна теорема застосовується до в Гільбертових просторах.

Вона дає канонічну декомпозицію по власних підпросторах векторного простору в якому вона діє.

Якщо лінійний оператор ${\displaystyle \ A}$ діє в векторному просторі ${\displaystyle \ V,}$ тоді позначимо через:

${\displaystyle V_{\lambda }=\{\,v\in V:\;Av=\lambda v\,\}}$ — власний підпростір, що відповідає власному значенню ${\displaystyle \ \lambda }$

${\displaystyle \ P_{\lambda }}$ — ортогональний проєктор на ${\displaystyle \ V_{\lambda }.}$

Тоді:

• ${\displaystyle V=V_{\lambda _{1}}\oplus \ldots \oplus V_{\lambda _{k}}}$ — простір представляється як пряма сума власних підпросторів ${\displaystyle \ V_{\lambda }}$ (тобто, власні підпростори є ортогональними).
• ${\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\ldots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}}$ — лінійний оператор виражається через лінійну комбінацію ортогональних проєкторів.

Для простору нескінченної розмірності

${\displaystyle A=\int _{\sigma }\lambda P(d\lambda )}$

де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.

Спектральна теорема є частковим випадком та частковим випадком SVD.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)