C*-алгебри (вимовляється "Це-зірка") - важлива область досліджень у функціональному аналізі. Прототипом усіх C*-алгебр є комплексна алгебра A лінійних операторів на комплексному Гільбертовому просторі з двома додатковими властивостями:
- A є топологічно замкнутою множиною у топологічній нормі операторів.
- A є замкнутою щодо операції взяття спряженого оператора.
Вважається, що C*-алгебри почали розглядатися з огляду на їх важливість у квантовій механіці при моделюванні абстрактних фізичних спостережуваних. Дослідження почалися з робіт Вернера Гейзенберга з матричної механіки, та у 1933 році їх строго обґрунтував був Паскваль Йордан. Відповідно фон Нейман пробував математично узагальнити структуру цих алгебр.
Близько 1943 року, у працях Ізраеля Гельфанда та Марка Наймарка було дано означення C*-алгебр без огляду на оператори.
Абстрактне визначення
Спочатку дамо абстрактне означення C*-алгебр, дане у роботі 1943 року Гельфандом і Наймарком.
C*-алгебра, A, це банахів простір над полем комплексних чисел, разом із відображенням, * : A → A, яке зветься інволюцією. Образ елемента x з A при інволюції пишеться x*. Інволюція має наступні властивості:
- Для всіх x, y у A:
- Для кожного λ у C та кожного x у A:
- Для всіх x у A
- C*–тотожність стверджує, що для всіх x у A:
- C* тотожність еквівалентна до того, що для всіх x із A:
Приклади
Скінченновимірні C*-алгебри
Алгебра Mn(C) n-на-n матриць над C стане C*-алгеброю, якщо ми розглянемо матриці як оператори на евклідовому просторі, Cn, та використаємо операторну норму ||.|| для матриць. Інволюція тоді буде комплексним спряженням з транспозицією.
C*-алгебри операторів
Класичним прикладом C*-алгебри є алгебра B(H) обмежених (або що еквівалентно неперервних) лінійних операторів визначених на комплексному гільбертовому просторі H; тут x* позначає ермітово спряжений оператор до x: H → H. Насправді, кожна C*-алгебра, A, є *-ізоморфною до замкненої за нормою підалгебри B(H) для спеціально вибраного гільбертового простору, H; це твердження називається теоремою Гельфанда-Наймарка.
C*-алгебри і квантова теорія поля
У квантовій теорії поля, зазвичай фізичну систему описують C*-алгеброю A з одиничним елементом; самоспряжені елементи з A (елементи x із властивістю x* = x) називаються спостережуваними, і є вимірними величинами системи. Стан системи визначається як додатній функціонал на A (C-лінійне відображення φ : A → C з φ(u* u) ≥ 0 для всіх u∈A) такий що φ(1) = 1. Очікувальне значення спостережуваної x, якщо система перебуває у стані φ, є тоді φ(x).
Див. також
Примітки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
C algebri vimovlyayetsya Ce zirka vazhliva oblast doslidzhen u funkcionalnomu analizi Prototipom usih C algebr ye kompleksna algebra A linijnih operatoriv na kompleksnomu Gilbertovomu prostori z dvoma dodatkovimi vlastivostyami A ye topologichno zamknutoyu mnozhinoyu u topologichnij normi operatoriv A ye zamknutoyu shodo operaciyi vzyattya spryazhenogo operatora Vvazhayetsya sho C algebri pochali rozglyadatisya z oglyadu na yih vazhlivist u kvantovij mehanici pri modelyuvanni abstraktnih fizichnih sposterezhuvanih Doslidzhennya pochalisya z robit Vernera Gejzenberga z matrichnoyi mehaniki ta u 1933 roci yih strogo obgruntuvav buv Paskval Jordan Vidpovidno fon Nejman probuvav matematichno uzagalniti strukturu cih algebr Blizko 1943 roku u pracyah Izraelya Gelfanda ta Marka Najmarka bulo dano oznachennya C algebr bez oglyadu na operatori Abstraktne viznachennyaSpochatku damo abstraktne oznachennya C algebr dane u roboti 1943 roku Gelfandom i Najmarkom C algebra A ce banahiv prostir nad polem kompleksnih chisel razom iz vidobrazhennyam A A yake zvetsya involyuciyeyu Obraz elementa x z A pri involyuciyi pishetsya x Involyuciya maye nastupni vlastivosti Dlya vsih x y u A x y x y displaystyle x y x y dd x y y x displaystyle xy y x dd Dlya kozhnogo l u C ta kozhnogo x u A l x l x displaystyle lambda x overline lambda x dd Dlya vsih x u A x x displaystyle x x dd C totozhnist stverdzhuye sho dlya vsih x u A x x x x displaystyle x x x x dd C totozhnist ekvivalentna do togo sho dlya vsih x iz A x x x x displaystyle xx x x dd PrikladiSkinchennovimirni C algebri Algebra Mn C n na n matric nad C stane C algebroyu yaksho mi rozglyanemo matrici yak operatori na evklidovomu prostori Cn ta vikoristayemo operatornu normu dlya matric Involyuciya todi bude kompleksnim spryazhennyam z transpoziciyeyu C algebri operatoriv Klasichnim prikladom C algebri ye algebra B H obmezhenih abo sho ekvivalentno neperervnih linijnih operatoriv viznachenih na kompleksnomu gilbertovomu prostori H tut x poznachaye ermitovo spryazhenij operator do x H H Naspravdi kozhna C algebra A ye izomorfnoyu do zamknenoyi za normoyu pidalgebri B H dlya specialno vibranogo gilbertovogo prostoru H ce tverdzhennya nazivayetsya teoremoyu Gelfanda Najmarka C algebri i kvantova teoriya polyaU kvantovij teoriyi polya zazvichaj fizichnu sistemu opisuyut C algebroyu A z odinichnim elementom samospryazheni elementi z A elementi x iz vlastivistyu x x nazivayutsya sposterezhuvanimi i ye vimirnimi velichinami sistemi Stan sistemi viznachayetsya yak dodatnij funkcional na A C linijne vidobrazhennya f A C z f u u 0 dlya vsih u A takij sho f 1 1 Ochikuvalne znachennya sposterezhuvanoyi x yaksho sistema perebuvaye u stani f ye todi f x Div takozh algebra Operatorna algebraPrimitki