Нормальна матриця

Квадратна матриця ${\displaystyle \ A}$ з комплексними елементами називається нормальною, якщо вона є переставною зі своєю спряженою матрицею:

${\displaystyle \ A^{*}A=AA^{*}.}$

Розклад матриці за допомогою власних векторів

Матриця ${\displaystyle \ A}$ є нормальною тоді і тільки тоді, коли існує унітарна матриця ${\displaystyle \ U}$ та діагональна матриця ${\displaystyle \Lambda \!}$, що виконується:

${\displaystyle \ A=U\Lambda U^{*}.}$

Ця формула називається розкладом матриці за її власними векторами, тому що для матриць ${\displaystyle U\!}$ та ${\displaystyle \Lambda \!}$ справедливі такі властивості:

• ${\displaystyle \ {\Lambda }=diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )}$ — елементи на головній діагоналі є власними значеннями матриці ${\displaystyle A.\!}$
• Стовпці матриці ${\displaystyle U\!}$ є власними векторами матриці ${\displaystyle A,\!}$ розташовані відповідно до своїх власних значень.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle A}$ — нормальна матриця, то в матриць ${\displaystyle A,A^{*}}$ власні вектори будуть однаковими, а власні значення — комплексно-спряженими:

${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}\quad \Rightarrow \quad A^{*}=U\Lambda ^{*}U^{*}.}$

• Для довільної квадратної матриці ${\displaystyle A}$ існує полярний розклад ${\displaystyle A=PU}$.

Матриця ${\displaystyle A}$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle P,U}$ будуть переставними:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;PU=UP.}$

• Довільну квадратну матрицю ${\displaystyle A}$ можна представити через дві ермітові матриці ${\displaystyle A=H_{1}+iH_{2}}$.

Матриця ${\displaystyle A}$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриці ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ будуть переставними:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}\;\iff \;H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}.}$

• Нормальні матриці ${\displaystyle A,B}$ є переставними тоді і тільки тоді, коли всі їх власні вектори є спільними:

${\displaystyle AB=BA\quad \iff \quad \exists \;U,\Lambda _{1},\Lambda _{2}:\quad A=U\Lambda _{1}U^{*},\quad B=U\Lambda _{2}U^{*}.}$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

• Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці ${\displaystyle A,B}$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

${\displaystyle \ AB,A+B,kA}$ — теж будуть нормальними та переставними.

Часткові випадки

Всі комплексні унітарні, ермітові косоермітові матриці є нормальними матрицями. Також всі дійсні ортогональні, симетричні кососиметричні матриці є нормальними матрицями.

Зв'язок з комплексними числами

Якщо вважати нормальні матриці узагальненням комплексних чисел, то в такому випадку:

• унітарні матриці є аналогом комплексних чисел рівних по модулю одиниці,
• ермітові матриці є аналогом дійсних чисел,
  • додатноозначені матриці є аналогом додатних чисел,
• антиермітові матриці — аналогом чисто уявних чисел.

Приклади

Матриця ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$ є нормальною, оскільки ${\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.}$

Але вона не є ні унітарною, ні ермітовою, ні косо-ермітовою.

Якщо матриця є трикутною і нормальною, тоді вона — діагональна.

Див. також

• Теорія матриць
• Комутатор (математика)

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
• , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)