Переставні матриці

Квадратні матриці ${\displaystyle \ A,\;B}$ з комплексними елементами називаються переставни́ми (комутуючими), якщо

${\displaystyle \ AB=BA.}$

Властивості

• Якщо матриці ${\displaystyle A,B}$ є переставними, то в них існує спільний власний вектор:

${\displaystyle AB=BA\quad \Rightarrow \quad \exists \;v,\lambda _{1},\lambda _{2}:\;\;Av=\lambda _{1}v,\;Bv=\lambda _{2}v.}$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць. Доведення за допомогою слабкої теореми Гільберта про нулі.

• Якщо матриці ${\displaystyle A,B}$ є переставними та нормальними, то в них всі власні вектори є спільними:

${\displaystyle \exists \;U,\Lambda _{1},\Lambda _{2}:\quad A=U\Lambda _{1}U^{*},\quad B=U\Lambda _{2}U^{*},\quad U^{*}U=I.}$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних нормальних матриць.

• Наслідок з попередньої властивості: якщо матриці ${\displaystyle A,B}$ є нормальними та переставними, тоді матриці:

${\displaystyle \ AB,A+B,kA}$ — теж будуть нормальними та переставними.

• Над алгебраїчно замкнутим полем переставні матриці ${\displaystyle A,B}$ є одночасно приводимими до трикутного вигляду:

${\displaystyle \exists \;P,L_{1},L_{2}:\quad A=P^{-1}L_{1}P,\quad B=P^{-1}L_{2}P,\quad \det(P)\neq 0.}$

Приклад

• Одинична матриця є переставною зі всіма матрицями і тому має з кожною з них хоча б один спільний власний вектор.

Дивись також

• Теорія матриць
• Комутативність
• Комутатор (математика)

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)