Слабка теорема Гільберта про нулі

Теоре́ма Гі́льберта про нулі (також використовується німецька назва Nullstellensatz, що перекладається як «теорема про нулі») — теорема, що встановлює фундаментальний зв'язок між геометричними та алгебричними аспектами алгебричної геометрії. Вона пов'язує поняття з поняттям ідеалу в кільцях многочленів над алгебрично замкнутими полями. Вперше доведена Давидом Гільбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313–373) і названа на його честь.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle K}$ — алгебрично замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ — кільце многочленів від змінних ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ з коефіцієнтами з поля ${\displaystyle K}$ і нехай ${\displaystyle I}$ — ідеал в тому кільці.

Афінний многовид ${\displaystyle V(I)}$, що визначається цим ідеалом, складається з усіх точок ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$ таких, що ${\displaystyle f(x)=0}$ для будь-якого ${\displaystyle f\in I}$. Теорема Гільберта про нулі стверджує, що якщо деякий многочлен ${\displaystyle p\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ приймає значення нуль на многовиді ${\displaystyle \ V(I)}$, тобто якщо ${\displaystyle p(x)=0}$ для всіх ${\displaystyle x\in V(I)}$, то існує натуральне число ${\displaystyle r}$ таке, що многочлен ${\displaystyle p^{r}}$ міститься в ${\displaystyle I}$.

Наслідком є наступна «слабка теорема Гільберта про нулі»: якщо ${\displaystyle I}$ є власним ідеалом в кільці ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$, то ${\displaystyle V(I)}$ не може бути порожньою множиною, тобто існує загальний нуль для всіх многочленів даного ідеалу (цей факт випливає з того, що інакше многочлен ${\displaystyle p(x)=p^{r}(x)=1}$ має корені всюди на ${\displaystyle V(I)}$ через пустоту цієї множини і тому ${\displaystyle 1\in I,}$ тобто ідеал не є власним). Ця обставина і дала ім'я теоремі.

Загальний випадок може бути легко виведений з «слабкої теореми» за допомогою так званого прийому Рабіновича. Припущення про те, що поле ${\displaystyle K}$ є алгебрично замкнутим, істотно: елементи власного ідеалу ${\displaystyle (X^{2}+1)}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ не мають загального нуля.

Використовуючи стандартну термінологію комутативної алгебри теорему Гільберта про нулі можна сформулювати так: для кожного ідеалу ${\displaystyle J}$ справедлива формула ${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}},}$ де ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ є ідеалу ${\displaystyle J}$, а ${\displaystyle I(U)}$ є ідеалом, породженим всіма многочленами, які зануляются на множині ${\displaystyle U}$.

Доведення

Доведемо тут слабку версію теореми про нулі. Загальну версію, відповідно, можна отримати за допомогою леми Рабіновича.

Також, очевидно, якщо ${\displaystyle I\subset J}$, то ${\displaystyle V(I)\supset V(J),}$ тому твердження теореми достатньо довести для максимальних ідеалів. В цьому випадку ${\displaystyle L=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/(J)}$ є полем для якого ${\displaystyle K}$ є підполем.

У випадку якщо ${\displaystyle L=K}$ то для всіх ${\displaystyle X_{i}}$ існує таке ${\displaystyle a_{i}\in K}$ для якого ${\displaystyle X_{i}-a_{i}\in J.}$ Але ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ є максимальним ідеалом і тому ${\displaystyle J=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n}).}$ Звідси ${\displaystyle V(J)=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\}\neq \varnothing .}$

Відповідно достатньо довести, що якщо ${\displaystyle L}$ є скінченно породженим розширенням алгебраїчно замкнутого поля ${\displaystyle K}$ та існує гомоморфізм кілець з ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ на ${\displaystyle L}$ (тобто гомоморфізм є сюр'єктивним), що є ідентичним відображенням на ${\displaystyle K}$, то ${\displaystyle L=K.}$

Але очевидно в цьому випадку ${\displaystyle L}$ є скінченно породженою алгеброю над ${\displaystyle K}$ і відповідно згідно (леми Зариського) розширення є скінченним і як наслідок кожен елемент ${\displaystyle L}$ є алгебраїчним над ${\displaystyle K.}$ Зважаючи, що ${\displaystyle K}$ є алгебраїчно замкнутим полем, то ${\displaystyle L=K.}$

Див. також

• (Кільце Джекобсона)
• (Лема Зариського)
• (Нормалізаційна лема Нетер)

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — .(рос.)