Скінченне розширення — розширення поля , таке, що L є скінченновимірним над K як векторний простір.
Скінченне розширення | |
Досліджується в | теорія полів |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом |
Розмірність векторного простору L над K називається степенем розширення і позначається [L:K].
Властивості
- Скінченне розширення завжди є алгебраїчним розширенням.
- Справді, нехай [L:K]=n, тоді для будь-якого елементу α ∈ L, n+1 елементів: 1,α,α2...αn не можуть бути лінійно незалежними, тому існує многочлен над K степеня не більше n, такий, що α є його коренем.
- (Просте розширення поля) L=K(α) є скінченним тоді і тільки тоді коли α є алгебричним елементом над полем K. Якщо мінімальний многочлен елемента α над полем K має степінь n, то [E:K]=n. Згідно теореми про первісний елемент навпаки кожне скінченне сепарабельне розширення поля є простим, тобто існує елемент α ∈ L, такий що L=K(α).
- У послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.
- Це випливає з властивостей векторних просторів. В цьому випадку якщо e1...en — базис L над K, та f1...fm — базис F над L, то f1e1 f1e2,... f1en, f2e1,...fme1,...fmen — базис F над K, звідси [F:L][L:K]=[F:K].
- Скінченне розширення L є (скінченно породженим).
- За породжуючі елементи, можна взяти елементи будь-якого базису L=K(e1,...en) . Навпаки, будь-яке скінченно породжене алгебраїчне розширення є скінченним. Справді, K(α1,α2...αn)=K(α1)(α2)...(αn) . Елементи αi будучи алгебраїчними над K залишаються такими і над більшим полем K(α1)...(αi-1). Далі застосовуємо теореми про скінченність простих алгебраїчних розширень і точну послідовність скінченних розширень.
Література
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- (Зарисский О.), Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
- P.J. McCarthy, Algebraic extensions of fields, Dover Publications, 1991, .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет