Алгебрично замкнуте поле — поле , у якому довільний многочлен ненульового степеня над має хоч би один корінь.
Еквівалентні визначення
Деяке поле є алгебрично замкненим, тоді і тільки тоді, коли виконуються такі твердження:
- Усі незвідні многочлени над полем
мають степінь 1.
- Кожен многочлен є добутком многочленів степеня 1.
- Кожне лінійне відображення
має власний вектор.
Пов'язані визначення
- Для будь-якого поля існує єдине з точністю до ізоморфізму його алгебричне замикання, тобто його алгебричне розширення, що є алгебрично замкнутим.
Властивості
- В алгебрично замкнутому полі
, кожен многочлен степеня n має рівно n (з урахуванням кратності) коренів
. Інакше кажучи, кожний незвідний многочлен з кільця многочленів
має степінь 1.
- Скінченні поля не можуть бути алгебрично замкнутими. Дійсно, якщо розглянути многочлен, коренями якого є всі елементи поля і додати 1, то одержаний многочлен не матиме коренів у даному полі.
Приклади
- Многочлен з цілими коефіцієнтами x² + 1 = 0 має тільки комплексні корені, тому ні раціональні числа, ні дійсні не є алгебрично замкнутими.
- Алгебричним замиканням поля дійсних чисел, є поле комплексних чисел. Його алгебрична замкнутість встановлюється основною теоремою алгебри.
- Алгебричним замиканням поля раціональних чисел, є поле комплексних (алгебричних чисел).
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет