Алгебраїчні числа, також алгебричні числа, — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен
- ,
де і .
У цьому визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.
Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.
Приклади
- Всі раціональні числа є алгебраїчними: число
є, наприклад, коренем рівняння
.
- Уявна одиниця, число
є алгебраїчним, як корінь рівняння
.
- Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
- Якщо
— алгебраїчні числа, тоді
— трансцендентне число.
- Числа
і
є алгебраїчними (кути в градусах).
- Цей факт випливає з (тригонометричної рівності):
- Тому якщо визначити послідовність многочленів:
- то
Звідси одержуємо:
тобто
є коренем многочлена
що й доводить твердження.
- Для
достатньо зазначити, що всі степені
в
є парними і що
.
Мінімальний многочлен
Якщо — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких
є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним
. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа
.
- Степінь мінімального многочлена
називається степенем алгебраїчного числа
.
- Інші корені мінімального многочлена
називаються спряженими до
.
- Висотою алгебраїчного числа
називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і (примітивному многочлені) з цілими коефіцієнтами, для якого
є коренем.
Мінімальний многолен числа має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли
— ціле алгебраїчне число.
Приклади
- Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
- Уявна одиниця
так само як
є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно
та
.
- При будь-якому натуральному
,
є алгебраїчним числом
-го степеня.
Поле алгебраїчних чисел
Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо і
— алгебраїчні числа то їх обернені елементи
і
, а також сума
і добуток
також є алгебраїчними числами.
Доведення
- Спершу доведемо алгебраїчність
. Якщо
— многочлен з цілими коефіцієнтами для якого
є коренем, то
буде коренем многочлена
. Тобто
— алгебраїчне число.
- Якщо
— корінь многочлена
, то
є коренем многочлена
, отже
теж є алгебраїчним числом.
- Доведемо тепер алгебраїчність
. Припустимо α є коренем многочлена
і
є коренем многочлена
. Нехай
— всі корені
(враховуючи їх кратність, так що степінь
рівний
) і нехай
— всі корені
. Розглянемо многочлен:
.
- Множина
є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти
є симетричними многочленами від чисел
. Тому якщо,
— елементарні симетричні многочлени від
і
— деякий коефіцієнт (при
) многочлена
, тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що
для деякого многочлена
з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти
також є симетричними многочленами від чисел
. Нехай
і
— елементарні симетричні многочлени від
тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени
для деякого многочлена
з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі
є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт
. Тому
і оскільки
є коренем
це число є алгебраїчним.
- Алгебраїчність числа
доводиться аналогічно до випадку
, розглядаючи многочлен:
.
Властивості
- Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
- Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
- Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
- Для довільного алгебраїчного числа
існує таке натуральне
, що
— ціле алгебраїчне число.
- Алгебраїчне число
степеня
має
різних спряжених чисел (включаючи саме число
).
і
спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля
, що переводить
у
.
- В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
- (Теорема Ліувіля): якщо
є коренем многочлена
степінь якого рівний
, тоді існує число
залежне від
, що
- (Теорема Ліувіля): якщо
, для довільного раціонального числа
.
- (Теорема Туе — Зігеля — Рота): якщо
є алгебраїчним числом, тоді для довільного
існує лише скінченна кількість пар цілих чисел
де
для яких:
- (Теорема Туе — Зігеля — Рота): якщо
Див. також
Посилання
- Нестеренко Ю.В. Лекции об алгебраических числах[недоступне посилання з лютого 2019] // Конспект курсу лекцій.
- M. Filaseta
Література
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
- Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
- Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. Теория чисел. — М., 1985.
- Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. — М., 1947.
- Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.:Л., 1940.
- Дринфельд Г.И. Трансцендентность чисел пи и е, — Харків, — 1952
- Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966.
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет