Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.
Властивості
- Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал кільця максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце є (простим кільцем).
- Дійсно, якщо кільце має власний ідеал , то буде власним ідеалом кільця , що суперечить максимальності ідеалу .
Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею
- (Теорема Круля): Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу кільця існує максимальний ідеал кільця , який його містить.
- Якщо елемент кільця не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.
- Якщо всі необоротні елементи кільця утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце називається локальним.
- Для комутативного кільця ідеал є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.
- Якщо кільце має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел , фактор-кільце по максимальному ідеалу ізоморфне . В цьому випадку ідеал визначає гомоморфізм кільця в полі , ядром якого є ідеал .
Для кожного a існує єдина , таке що (e - одиниця алгебри R). Відповідність і є той самий гомоморфізм.
- З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є (простим).
- Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел ідеал є максимальним, проте хоч
Приклади
- У кільці цілих чисел максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
- У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебрично замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд .
- Кільце (формальних степеневих рядів) над полем k — локальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
- У кільці R = C[a, b] неперервних функцій із значеннями у множині дійсних чисел на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.
- Якщо позначити для деякої точки то Ix є ідеалом і фактор-кільце є ізоморфним полю дійсних чисел, тож Ix є максимальним ідеалом.
- Навпаки, якщо I є власним ідеалом кільця R = C[a, b], то множина є непустою, тобто існує точка для якої для всіх Справді якщо Z(I) є пустою множиною, то є відкритим покриттям [a, b] і через компактність відрізка можна вибрати скінченне підпокриття, наприклад для функцій Тоді функція належить I і в усіх точках [a, b] має ненульові значення. Оскільки то і I = R. Це суперечить припущенню, що I є власним ідеалом. Тому існує для якої для всіх Тоді I є підідеалом ідеалу який і є максимальним.
Кільця без максимальних ідеалів
(Теорема Круля) гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: : де і дійсні числа для яких .
Для ненульового такого ряду можна вважати Для де і визначимо . Очевидно і R є областю цілісності без одиниці.
Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай і . Визначимо . Тоді J є ідеалом R. Оскільки то .
Отже J є власним ідеалом в R. Також оскільки . Нехай . Якщо f = 0, тоді очевидно . Розглянемо тепер . Припустимо . Тоді і звідси , що суперечить визначенню g. Тому і звідси . Отже . Відповідно , що суперечить максимальності ідеалу .
Література
- Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Іншими мовами
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет