Банахова алгебра — це топологічна алгебра над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.
Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням
За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо тому норму в можна замінити на еквівалентну, що задовольняє
Банахова алгебра називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент такий, що Якщо не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру з одиницею і нормою що містить алгебру як замкнуту підалгебру. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.
Приклади
1) Нехай — компактний топологічний простір,
— сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на
. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою
2) Простір послідовностей
для яких
з нормою
звичайним додаванням і добутком за формулою
3) Множина всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі
утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі
.
4) Групова алгебра локально компактної топологічної групи
де добуток — це згортка функцій на
Спектри
- Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри — непорожній компакт. Для будь-якого компакта
спектр
на
збігається з
, тобто інших обмежень немає.
- Спектральним радіусом
елемента
називається
Для нього існує формула спектрального радіуса
- Якщо
-унітальний (переводить одиницю
в одиницю
) гомоморфізм, то для будь-якого
виконане
. Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
- Якщо
— многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді
. Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.
Алгебри з інволюцією та алгебри
У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення до себе,
Елемент називається:
- нормальним, якщо
- ермітовим, якщо
- унітарним, якщо
Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.
Алгебра обмежених операторів на гільбертовому просторі
являє собою банахову алгебру з інволюцією, де
— це спряжений до оператора
. Виникає природне питання, чи можна реалізувати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру
Це питання було повністю розв'язано І. М. Гельфандом і М. А. Наймарком.
Банахова алгебра з інволюцією називається
алгеброю, якщо виконується тотожність
для всіх
Неважко побачити, що в алгебрі це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка
алгебра
допускає точне *-зображення у
Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в .
І. М. Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна алгебра з одиницею має вигляд
(див. Приклад 1). Компактний топологічний простір
можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри
, або її максимальні ідеали,
А.Конна розглядає довільну (некомутативну)
алгебру
як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі
.
Теорія алгебр використовується в (теорії зображень) і сучасний топології, зокрема і теорії шаруваннь.
Див. також
- (Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха)
Література
- Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — 664 с.
- Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М. : МЦНМО, 2004. — .
- Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М. : Наука, 1989. — .
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет