Шарування

Шарування — геометрична конструкція у топології: кажуть, що на многовиді задано шарування розмірності ${\displaystyle p}$, якщо многовид «нарізано» (узгодженим чином в околі кожної точки) на «шари» розмірності ${\displaystyle p}$.

Найбільш дослідженими є 1-вимірні шарування, породжені траєкторіями неособливих векторних полів на многовиди, і шарування корозмірності 1.

Поняття шарування природним чином виникає, у тому числі, у теорії динамичних систем: так, для існують та .

Формальне означення

Кажуть, що на ${\displaystyle n}$-вимірному многовиді ${\displaystyle M}$ задано ${\displaystyle p}$-вимірне шарування, якщо многовид покрито картами ${\displaystyle U_{i}}$ з відповідними координатними відображеннями

${\displaystyle \varphi _{i}=(x_{i},\;t_{i})\colon U_{i}\to D^{p}\times D^{n-p},}$

такими, що відображення переклейки мають вигляд

${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(x,\;t)=(F_{ij}(x,\;t),\;T_{ij}(t)).}$

Іншими словами, при переклійці друга («трансверсальна») координата визначається лише другою координатою.

У цьому випадку, розглядається відношення еквівалентності, породжене відношенням ${\displaystyle p\sim p'}$, якщо в одній з карт другі координаті точок ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle p'}$ збігаються. Клас еквівалентності точки ${\displaystyle p}$ називається тоді прошарком, що проходить через точку ${\displaystyle p}$.

Також, якщо яка-небудь (зазвичай, скінченна, і завжди корозмірності, не меншої 2) множина точок обраними картами не покривається, кажуть, що задано осбливе шарування (або шарування з особливостями), а ці точки називають особливими точками шарування.

Приклади

• Розбиття многовиду на траєкторії неособливого векторного поля визначає на ньому одновимірне шарування.
• Будь-яке (локально тривіальне) розшарування автоматично є шаруванням.
• Якщо задано дію фундаментальної групи многовиду ${\displaystyle M}$ на многовиді ${\displaystyle N}$,

${\displaystyle h\colon \pi _{1}(M)\to \mathrm {Diff} (N),}$

то за ним будується — шарування , динаміка відображень голономії котрого моделює цю дію. А саме, декартовий добуток над ${\displaystyle M}$ та ${\displaystyle N}$, — многовид ${\displaystyle {\tilde {M}}\times N}$ — з «горизонтальним» шаруванням на ньому факторизується за «діагональною» дією фундаментальної групи:

${\displaystyle \gamma (x,\;y)=(\gamma .x,\;h(\gamma )(y)).}$

Так як ця дія зберігає горизонтальне шарування, це шарування опускається на фактор, визначаючи шукану надбудову.

• ${\displaystyle p}$-, яка у кожній точці многовиду задовольняє критерію Фробеніуса інтегровності поля площин, задає ${\displaystyle p}$-вимірне шарування цього многовиду;
• поліноміальне векторне поле у ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ задає особливе двовимірне шарування.

Дотичне та нормальне розшарування шарування

Дотичні розшарування тотального многовиду шарування мають підрозшаруванням, вектори котрого дотикаються шарів, — це дотичне розшарування розшарування. Відповідне називається нормальним шаруванням розшарування.

Розшарування називається орієнтованим, якщо орієнтовано його нормальне розшарування. Відзначимо, що ні тотальний многовид, ні прошарки орієнтованого розшарування не зобов'язані бути хоча б орієнтованими.

Розшарування називається оснащеним, якщо його нормальне розшарування тривіальне та наділене визначеною .

Властивості

• стверджує, що у довільного двовимірного розшарування тривимірної сфери є компактний прошарок.
• показує, що для довільного некомпактного прошарку розшарування корозмірності 1 на компактному многовиді знайдеться перетинаюча цей прошарок трансверсальна до розшарування околу.

Див. також

• Шарування Ріба
• Критерій Фробеніуса інтегровності поля площин.
• Розподіл, який визначає розшарування.

Література

• Тамура И. Топология слоений. — М: Мир, 1979.
• Фукс Д. Б. Слоения // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Foliation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Фукс Д. Б. Характеристические классы слоений. — УМН, 28:2 (170) (1973), с. 3—17.