Шарування Ріба

Шарування Ріба — шарування на тривимірній сфері, сконструйоване французьким математиком Жоржем Рібом (1920—1992).

Означення

Компонента Ріба являє собою повноторій ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$ із шаруванням, що влаштовано наступним чином: границя повноторія ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ є шаром, а всі інші шари дифеоморфні площині ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$; їх можна подати як образ графіка функції ${\displaystyle f\colon \mathbb {D} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-|x|^{2}}}}$

для накриття ${\displaystyle \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {R} \to \mathbb {D} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$.

Шарування Ріба на сфері ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ отримується при склеюванні цієї сфери із двох компонент Ріба.

Властивості

• Шарування Ріба є гладким, проте не аналітичним.

Зауважимо, що на сфері ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ взагалі не буває аналітичних шарувань корозмірності 1.

• Шарування Ріба кобордантно нулю.

Зображення

Шарування Ріба в перетині центральною площиною

Тривимірна модель шарування Ріба для одного повноторія

Література

• G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuillétées, Actualités Sci. Indust. 1183, Hermann, Paris, 1952.

Примітки

1. Haefliger A. Sur les feuilletages analytiques. — C. r. Acad. sci. 1956, 242, N25, p.2908—2910
2. Sergeraert F. Feuilletages et diffeomorphismes infinitement tangent a l'identite.' — Invent. Math., 1977, v.39, N3, p. 253—275