Векторне розшарування

Векторним розшаруванням називається певна геометрична конструкція, котра складається з сімейства векторних просторів, параметризованих іншим простором ${\displaystyle X}$ (наприклад, ${\displaystyle X}$ може бути топологічним простором, многовидом або алгебраїчною структурою): кожній точці ${\displaystyle x}$ простору ${\displaystyle X}$ зіставляється векторний простір ${\displaystyle V_{x}}$ так, що їхнє об'єднання утворює простір такого ж типу, як і ${\displaystyle X}$ (топологічний простір, многовид або алгебраїчну структуру тощо), зване простором векторного розшарування над ${\displaystyle X}$.

Векторне розшарування є особливим типом локально тривіальних розшарувань, які в свою чергу є особливим типом розшарувань.

Зазвичай розглядають векторні простори над дійсними або комплексними числами. У такому випадку векторні розшарування називаються відповідно дійсними або комплексними. Комплексні векторні розшарування можна розглядати як дійсні з додатково введеною структурою.

Приклади

• Найпростіший приклад — , яке має вигляд прямого добутку ${\displaystyle X\times V}$, де ${\displaystyle X}$ — топологічний простір, база розшарування, а ${\displaystyle V}$ векторний простір.
• Складніший приклад — це дотичне розшарування гладкого многовиду: кожній точці на многовиді зіставляється дотичний простір до многовиду в цій точці. Дотичні розшарування в загальному випадку не тривіальні.

Визначення

Векторне розшарування — це локально тривіальне розшарування, у якого шар ${\displaystyle V}$ є векторним простором, зі структурною групою оборотних лінійних перетворень ${\displaystyle V}$.

Пов'язані визначення

Підрозшаруванням ${\displaystyle U}$ векторного розшарування ${\displaystyle V}$ на топологічному просторі ${\displaystyle X}$ називається така сукупність лінійних підпросторів ${\displaystyle U_{x}\subset V_{x}}$, ${\displaystyle x\in X}$, яка сама має структуру векторного розшарування.

Морфізми

Морфізм з векторного розшарування ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1}}$ у векторне розшарування ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2}}$ задається парою безперервних відображень ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ та ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2}}$, таких що

• ${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$
• для будь-якого ${\displaystyle x\in X_{1}}$, відображення ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),}$, індуковане ${\displaystyle f}$, — лінійне відображення векторних просторів.

Зауважимо, що ${\displaystyle g}$ визначається ${\displaystyle f}$ (бо ${\displaystyle \pi _{1}}$ — сюр'єкція), у такому випадку говорять, що ${\displaystyle f}$ покриває ${\displaystyle g}$.

Клас всіх векторних розшарувань разом з морфізмами розшарувань утворює категорію. Обмежуючись векторними розшаруваннями, які є гладкими многовидами, і гладкими морфізмами розшарувань, ми отримаємо категорію гладких векторних розшарувань. Морфізми векторних розшарувань — окремий випадок між локально тривіальними розшаруваннями, їх часто називають гомоморфізмом (векторних) розшарувань.

Гомоморфізм розшарувань з ${\displaystyle E_{1}}$ у ${\displaystyle E_{2}}$, разом із зворотним гомоморфізмом, називається ізоморфізмом (векторних) розшарувань. У такому разі розшарування ${\displaystyle E_{1}}$ і ${\displaystyle E_{2}}$ називають ізоморфними. Ізоморфізм векторного розшарування (рангу ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle X}$ на тривіальне розшарування (рангу ${\displaystyle k}$ над ${\displaystyle X}$) називається тривіалізацією ${\displaystyle E}$, при цьому ${\displaystyle E}$ називають тривіальним (або трівіалізуємим). З визначення векторного розшарування видно, що будь-яке векторне розшарування локально тривіально.

Операції над розшаруваннями

Більшість операцій над векторними просторами можуть бути продовжені на векторні розшарування, виконуючись поточечно.

Наприклад, якщо ${\displaystyle E}$ — векторне розшарування на ${\displaystyle X}$, то існує розшарування ${\displaystyle E^{*}}$ на ${\displaystyle X}$, зване , шар якого в точці ${\displaystyle x\in X}$ — це спряжений векторний простір ${\displaystyle (E_{x})^{*}}$. Формально ${\displaystyle (E_{x})^{*}}$ можна визначити як множину пар ${\displaystyle (x,\varphi )}$, де ${\displaystyle x\in X}$ і ${\displaystyle \varphi \in E_{x}^{*}}$. Спряжене розшарування локально тривіально.

Існує багато функторіальних операцій, виконуваних над парами векторних просторів (над одним полем). Вони безпосередньо продовжуються на пари векторних розшарувань ${\displaystyle E,F}$ на ${\displaystyle X}$ (над заданим полем). Ось кілька прикладів.

• , або розшарування прямої суми ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle F}$ — це векторне розшарування ${\displaystyle E\oplus F}$ на ${\displaystyle X}$, шар якого в точці ${\displaystyle x}$ є прямою сумою ${\displaystyle E_{x}\oplus F_{x}}$ векторних просторів ${\displaystyle E_{x}}$ і ${\displaystyle F_{x}}$.
• Розшарування тензорного добутку ${\displaystyle E\otimes F}$ визначається аналогічно, використовуючи поточечний тензорний добуток векторних просторів.
• Розшарування гомоморфізмів (англ. hom-bundle) ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E,F)}$ — це векторне розшарування, шар якого в точці ${\displaystyle x}$ — простір лінійних відображень з ${\displaystyle E_{x}}$ в ${\displaystyle F_{x}}$ (часто позначається ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})}$ або ${\displaystyle L(E_{x},F_{x})}$). Це розшарування корисно, тому що існує бієкція між гомоморфізми векторних розшарувань з ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle X}$ і частинами ${\displaystyle \operatorname {Hom} \,(E,F)}$ на ${\displaystyle X}$.

Посилання

• Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1984. — 208 с.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis — (2002) , Berlinб — See section 1.5.
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, — (1978) Benjamin-Cummings, Londonб — See section 1.5.