У математиці, орієнтовність — це властивість поверхні у евклідовому просторі, що визначає чи можливо зробити цілісний вибір вектора нормалі поверхні у кожній точці. Вибір нормалі поверхні дає можливість використовувати правило правої руки для визначення орієнтації за годинниковою стрілкою для петлі на поверхні, як це вимагається, наприклад, теоремою Стокса. Загальніше, орієнтовність абстрактної поверхні або многовида визначає чи можна узгоджено обрати орієнтацію за годинниковою стрілкою для всіх петель на многовиді. Тотожно, поверхня є орієнтовною якщо двовимірну фігуру таку як не можна рухати по поверхні, так щоб вона знов опинилась у стартовій позиції і при цьому виглядала як її дзеркальне відображення
.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekUzTDFSdmNuVnpMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFVYjNKMWN5NXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlUzTDAxdlltbDFjMU4wY21sd0xUQXhMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFOYjJKcGRYTlRkSEpwY0Mwd01TNXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlZoTDFOMFpXbHVaWElsTWpkelgxSnZiV0Z1WDFOMWNtWmhZMlV1WjJsbUx6SXlNSEI0TFZOMFpXbHVaWElsTWpkelgxSnZiV0Z1WDFOMWNtWmhZMlV1WjJsbS5naWY=.gif)
Поняття орієнтовності можна узагальнити на многовиди більшої вимірності. Многовид є орієнтовним якщо існує узгоджений вибір орієнтації, і зв'язаний орієнтовний многовид має саме дві відмінні можливі орієнтації. У цих умовах, можна дати різноманітні тотожні формулювання орієнтовності, залежно від бажаного застосування і рівня узагальнення. Формулювання застосовні для загальних топологічних многовидів часто використовують теорію гомології, тоді як для диференційовних многовидів, які мають багатшу структуру, ми можемо використати формулювання у термінах диференціальних форм. Важливим узагальненням орієнтовності простору є орієнтовність сім'ї просторів параметризованих якимсь іншим простором (локально тривіальне розшарування) для якого орієнтацію потрібно вибрати для кожного з просторів які змінюються неперервно відповідно до зміни значення параметра.
Орієнтовні поверхні
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekUwTDFOMWNtWmhZMlZmYjNKcFpXNTBZWFJwYjI0dVoybG1Mek13TUhCNExWTjFjbVpoWTJWZmIzSnBaVzUwWVhScGIyNHVaMmxtLmdpZg==.gif)
Поверхня S у евклідовому просторі R3 орієнтовна, якщо цією поверхнею неможливо пересувати двовимірну фігуру (наприклад, ) так, що по повернені у початкову точку, вона виглядатиме як власне дзеркальне відображення (
). Інакше, поверхня неорієнтовна. Абстрактна поверхня (тобто, двовимірний многовид) орієнтовна, якщо на поверхні неперервним чином можна визначити цілісну концепцію обертання за годинниковою стрілкою. Тобто, не можна змінити орієнтацію петлі на поверхні за допомогою неперервної деформації (без самоперетину) на протилежну. Виявляється, що це тотожно до питання наявності підмножини, яка гомеоморфна стрічці Мебіуса. Отже, для поверхні, стрічку Мебіуса можна розглядати як джерело усієї неорієнтовності.
Для орієнтовної поверхні, цілісний вибір напрямку за годинниковою стрілкою називається орієнтацією, і поверхня називається орієнтованою. Для поверхонь вбудованих у евклідів простір, орієнтація визначається через неперервно змінювану нормаль поверхні n у кожній точці. Якщо така нормаль існує, тоді є всього два варіанти її вибору: n або −n. Загальніше орієнтовна поверхня дозволяє саме дві орієнтації, і відмінність між орієнтованою поверхнею і орієнтовною поверхнею тонка і розмита. Орієнтовна поверхня — це абстрактна поверхня, яка дозволяє орієнтацію, тоді як орієнтована поверхня — поверхня, що абстрактно орієнтовна і має додаткову характеристику вибору однієї з двох можливих орієнтацій.
- Приклади
Більшість поверхонь які ми зустрічаємо у фізичному світі орієнтовні. Наприклад, сфери, і тори є орієнтовними. Але стрічки Мебіуса, дійсні проективні площини і пляшки Клейна — неорієнтовні. Вони, візуалізовані у трьох вимірах, всі мають один бік. Дійсні проективні площини і пляшки Клейна неможливо вбудувати в R3, лише занурити, тобто вони матимуть самоперетини.
Зауважте, що локально вбудована поверхня завжди має два боки, отже короткозорий мураха повзаючи на по поверхні вважатиме, що існує «інший бік». Суть однобічності поверхні полягає в тому, що цей мураха може переповзти з одного боку на «інший» без проникання крізь поверхню або переповзання через край, йому достатньо лише проповзти достатньо далеко.
Взагалі, властивість орієнтовності не тотожна двобічності; однак, це так коли навколишній світ (такий як R3) є орієнтовним. Наприклад, тор вбудований у
може бути однобічним і пляшка Клейна у тому ж просторі можу бути двобічною; тут позначає пляшку Клейна.
- Орієнтація через тріангуляцію
Будь-яка поверхня має : розбиття на трикутники, таке що кожне ребро трикутника склеюється з не більш ніж одним іншим ребром, тобто ребром іншого трикутника. Кожен трикутник орієнтований через вибір напрямку навколо його периметра. Якщо це зроблено таким чином, що після склеювання їх разом, сусідні ребра вказують у протилежні боки, тоді це визначає орієнтацію поверхні. Цей вибір можна зробити лише якщо поверхня орієнтовна і тоді існує лише дві можливі орієнтації.
Якщо фігуру можна узгоджено позиціонувати в усіх точках поверхні без перетворення на її дзеркальне відображення, тоді це вводить орієнтацію у щойно наведеному сенсі трикутників тріангуляції через вибір напрямку кожного трикутника в порядку червоного-зеленого-синього кольорів будь-якої фігури всередині трикутника.
Цей підхід узагальнюється до будь-якого n-многовида, що має тріангуляцію. Однак, деякі 4-многовиди не мають тріангуляції і, загалом, для n > 4 деякі n-многовиди мають не тотожні тріангуляції.
Коорієнтований підмноговид
Коорієнтація лінійного підпростору корозмірності
у лінійному просторі
— це орієнтація
вимірного фактор-простору
Коорієнтацію простору
можна задати, зафіксувавши у просторі
форму, рівну зовнішньому добуткові
незалежних ковекторів, ортогональних простору
. Ця форма індукується при гомоморфізмі факторизації із форми старшого степеня, орієнтуючої фактор-простір
Нехай - коорієнтований підмноговид корозмірності
у многовиді
та
- відображення у многовид
вимірного орієнтованого многовиду із краєм
Якщо образ краю
не перетинається із підмноговидом
, то визначений індекс перетину параметризованої плівки
із підмноговидом
. Якщо відображення
є трансверсальним підмноговиду
, то індекс перетину це пораховане із врахуванням знаку число точок у многовиді із краєм
образ яких за відображення
потрапляє на підмноговид
.
Коорієнтований підмноговид корозмірності
у многовиді
визначає елемент групи
-вимірних когомологій многовиду
: значення цього елемента на гладкому параметризованому
-вимірному циклі (тобто на образі орієнтованого компактного
-вимірного многовиду) визначається як індекс перетину цього циклу із підмноговидом
.
Індексом зачеплення коорієнтованого підмноговиду із орієнтованим циклом
називається індекс перетину цьго підмноговиду із плівкою
, яка затягує цикл, де
- орієнтований многовид, границя якого збігається із многовидом
та
- відображення, обмеження якого збігається із відображенням
.
Примітки
- Хованский А.Г. - Малочлены.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici oriyentovnist ce vlastivist poverhni u evklidovomu prostori sho viznachaye chi mozhlivo zrobiti cilisnij vibir vektora normali poverhni u kozhnij tochci Vibir normali poverhni daye mozhlivist vikoristovuvati pravilo pravoyi ruki dlya viznachennya oriyentaciyi za godinnikovoyu strilkoyu dlya petli na poverhni yak ce vimagayetsya napriklad teoremoyu Stoksa Zagalnishe oriyentovnist abstraktnoyi poverhni abo mnogovida viznachaye chi mozhna uzgodzheno obrati oriyentaciyu za godinnikovoyu strilkoyu dlya vsih petel na mnogovidi Totozhno poverhnya ye oriyentovnoyu yaksho dvovimirnu figuru taku yak ne mozhna ruhati po poverhni tak shob vona znov opinilas u startovij poziciyi i pri comu viglyadala yak yiyi dzerkalne vidobrazhennya Tor ye oriyentovnoyu poverhneyu Strichka Mebiusa neoriyentovna poverhnya neoriyentovna Ponyattya oriyentovnosti mozhna uzagalniti na mnogovidi bilshoyi vimirnosti Mnogovid ye oriyentovnim yaksho isnuye uzgodzhenij vibir oriyentaciyi i zv yazanij oriyentovnij mnogovid maye same dvi vidminni mozhlivi oriyentaciyi U cih umovah mozhna dati riznomanitni totozhni formulyuvannya oriyentovnosti zalezhno vid bazhanogo zastosuvannya i rivnya uzagalnennya Formulyuvannya zastosovni dlya zagalnih topologichnih mnogovidiv chasto vikoristovuyut teoriyu gomologiyi todi yak dlya diferencijovnih mnogovidiv yaki mayut bagatshu strukturu mi mozhemo vikoristati formulyuvannya u terminah diferencialnih form Vazhlivim uzagalnennyam oriyentovnosti prostoru ye oriyentovnist sim yi prostoriv parametrizovanih yakims inshim prostorom lokalno trivialne rozsharuvannya dlya yakogo oriyentaciyu potribno vibrati dlya kozhnogo z prostoriv yaki zminyuyutsya neperervno vidpovidno do zmini znachennya parametra Oriyentovni poverhniU cij animaciyi vikoristana prosta analogiya iz vikoristannyam zubchastogo kolesa yake obertayetsya na normali poverhni vidpovidno do pravila pravoyi ruki Oriyentaciya krivih zadanih granicyami zadayetsya napryamkom u yakomu tochki ruhayutsya po miri togo yak yih shtovhaye zubchaste koleso Na neoriyentovnih poverhnyah yak ot strichka Mebiusa granicya mala b ruhatis v oboh napryamkah odnochasno sho nemozhlivo Poverhnya S u evklidovomu prostori R3 oriyentovna yaksho ciyeyu poverhneyu nemozhlivo peresuvati dvovimirnu figuru napriklad tak sho po poverneni u pochatkovu tochku vona viglyadatime yak vlasne dzerkalne vidobrazhennya Inakshe poverhnya neoriyentovna Abstraktna poverhnya tobto dvovimirnij mnogovid oriyentovna yaksho na poverhni neperervnim chinom mozhna viznachiti cilisnu koncepciyu obertannya za godinnikovoyu strilkoyu Tobto ne mozhna zminiti oriyentaciyu petli na poverhni za dopomogoyu neperervnoyi deformaciyi bez samoperetinu na protilezhnu Viyavlyayetsya sho ce totozhno do pitannya nayavnosti pidmnozhini yaka gomeomorfna strichci Mebiusa Otzhe dlya poverhni strichku Mebiusa mozhna rozglyadati yak dzherelo usiyeyi neoriyentovnosti Dlya oriyentovnoyi poverhni cilisnij vibir napryamku za godinnikovoyu strilkoyu nazivayetsya oriyentaciyeyu i poverhnya nazivayetsya oriyentovanoyu Dlya poverhon vbudovanih u evklidiv prostir oriyentaciya viznachayetsya cherez neperervno zminyuvanu normal poverhni n u kozhnij tochci Yaksho taka normal isnuye todi ye vsogo dva varianti yiyi viboru n abo n Zagalnishe oriyentovna poverhnya dozvolyaye same dvi oriyentaciyi i vidminnist mizh oriyentovanoyu poverhneyu i oriyentovnoyu poverhneyu tonka i rozmita Oriyentovna poverhnya ce abstraktna poverhnya yaka dozvolyaye oriyentaciyu todi yak oriyentovana poverhnya poverhnya sho abstraktno oriyentovna i maye dodatkovu harakteristiku viboru odniyeyi z dvoh mozhlivih oriyentacij Prikladi Bilshist poverhon yaki mi zustrichayemo u fizichnomu sviti oriyentovni Napriklad sferi i tori ye oriyentovnimi Ale strichki Mebiusa dijsni proektivni ploshini i plyashki Klejna neoriyentovni Voni vizualizovani u troh vimirah vsi mayut odin bik Dijsni proektivni ploshini i plyashki Klejna nemozhlivo vbuduvati v R3 lishe zanuriti tobto voni matimut samoperetini Zauvazhte sho lokalno vbudovana poverhnya zavzhdi maye dva boki otzhe korotkozorij muraha povzayuchi na po poverhni vvazhatime sho isnuye inshij bik Sut odnobichnosti poverhni polyagaye v tomu sho cej muraha mozhe perepovzti z odnogo boku na inshij bez pronikannya kriz poverhnyu abo perepovzannya cherez kraj jomu dostatno lishe propovzti dostatno daleko Vzagali vlastivist oriyentovnosti ne totozhna dvobichnosti odnak ce tak koli navkolishnij svit takij yak R3 ye oriyentovnim Napriklad tor vbudovanij u K 2 S 1 displaystyle K 2 times S 1 mozhe buti odnobichnim i plyashka Klejna u tomu zh prostori mozhu buti dvobichnoyu tut K 2 displaystyle K 2 poznachaye plyashku Klejna Oriyentaciya cherez triangulyaciyu Bud yaka poverhnya maye rozbittya na trikutniki take sho kozhne rebro trikutnika skleyuyetsya z ne bilsh nizh odnim inshim rebrom tobto rebrom inshogo trikutnika Kozhen trikutnik oriyentovanij cherez vibir napryamku navkolo jogo perimetra Yaksho ce zrobleno takim chinom sho pislya skleyuvannya yih razom susidni rebra vkazuyut u protilezhni boki todi ce viznachaye oriyentaciyu poverhni Cej vibir mozhna zrobiti lishe yaksho poverhnya oriyentovna i todi isnuye lishe dvi mozhlivi oriyentaciyi Yaksho figuru mozhna uzgodzheno pozicionuvati v usih tochkah poverhni bez peretvorennya na yiyi dzerkalne vidobrazhennya todi ce vvodit oriyentaciyu u shojno navedenomu sensi trikutnikiv triangulyaciyi cherez vibir napryamku kozhnogo trikutnika v poryadku chervonogo zelenogo sinogo koloriv bud yakoyi figuri vseredini trikutnika Cej pidhid uzagalnyuyetsya do bud yakogo n mnogovida sho maye triangulyaciyu Odnak deyaki 4 mnogovidi ne mayut triangulyaciyi i zagalom dlya n gt 4 deyaki n mnogovidi mayut ne totozhni triangulyaciyi Kooriyentovanij pidmnogovidKooriyentaciya linijnogo pidprostoru L k displaystyle L k korozmirnosti k displaystyle k u linijnomu prostori L displaystyle L ce oriyentaciya k displaystyle k vimirnogo faktor prostoru L L k displaystyle L L k Kooriyentaciyu prostoru L k displaystyle L k mozhna zadati zafiksuvavshi u prostori L displaystyle L k displaystyle k formu rivnu zovnishnomu dobutkovi k displaystyle k nezalezhnih kovektoriv ortogonalnih prostoru L k displaystyle L k Cya forma indukuyetsya pri gomomorfizmi faktorizaciyi iz formi starshogo stepenya oriyentuyuchoyi faktor prostir L L k displaystyle L L k Nehaj G k displaystyle Gamma k kooriyentovanij pidmnogovid korozmirnosti k displaystyle k u mnogovidi M displaystyle M ta p M k M displaystyle pi M k rightarrow M vidobrazhennya u mnogovid M displaystyle M k displaystyle k vimirnogo oriyentovanogo mnogovidu iz krayem M k displaystyle M k Yaksho obraz krayu p M k displaystyle pi partial M k ne peretinayetsya iz pidmnogovidom G k displaystyle Gamma k to viznachenij indeks peretinu parametrizovanoyi plivki p M k displaystyle pi M k iz pidmnogovidom G k displaystyle Gamma k Yaksho vidobrazhennya p displaystyle pi ye transversalnim pidmnogovidu G k displaystyle Gamma k to indeks peretinu ce porahovane iz vrahuvannyam znaku chislo tochok u mnogovidi iz krayem M k displaystyle M k obraz yakih za vidobrazhennya p displaystyle pi potraplyaye na pidmnogovid G k displaystyle Gamma k Kooriyentovanij pidmnogovid G k displaystyle Gamma k korozmirnosti k displaystyle k u mnogovidi M displaystyle M viznachaye element grupi k displaystyle k vimirnih kogomologij mnogovidu M displaystyle M znachennya cogo elementa na gladkomu parametrizovanomu k displaystyle k vimirnomu cikli tobto na obrazi oriyentovanogo kompaktnogo k displaystyle k vimirnogo mnogovidu viznachayetsya yak indeks peretinu cogo ciklu iz pidmnogovidom G k displaystyle Gamma k Indeksom zacheplennya kooriyentovanogo pidmnogovidu G k displaystyle Gamma k iz oriyentovanim ciklom p M k 1 displaystyle pi M k 1 nazivayetsya indeks peretinu cgo pidmnogovidu iz plivkoyu p M k displaystyle bar pi M k yaka zatyaguye cikl de M k displaystyle M k oriyentovanij mnogovid granicya yakogo zbigayetsya iz mnogovidom M k 1 displaystyle M k 1 ta p displaystyle bar pi vidobrazhennya obmezhennya yakogo zbigayetsya iz vidobrazhennyam p displaystyle bar pi PrimitkiHovanskij A G Malochleny