Диференційовний многовид — локально евклідовий простір, наділений . Диференціальні многовиди є природною базою для побудови диференціальної геометрії. Там на диференціальних многовидах вводяться додаткові нескінченно малі структури — орієнтація, метрика, зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи дифеоморфізмів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовиду, наділеного лінійною зв'язністю.
Визначення
Нехай X — гаусдорфів топологічний простір. Якщо для кожної точки знайдеться її окіл U гомеоморфний відкритій множині простору , то X називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності n. Пара , де — вказаний гомеоморфізм, називається локальною картою X в точці х. Таким чином, кожній точці відповідає набір n дійсних чисел , що називаються координатами в карті . Множина карт називається n-вимірним -атласом многовиду X, якщо:
- сукупність всіх покриває X,
- для будь-яких таких, що , відображення:
є диференційовним класу ; є відображенням, з відмінним від нуля якобіаном і називається перетворенням координат точки х з карти в карту
Два -атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є -атласом. Сукупність -атласів розбивається на класи еквівалентності, які називаються -структурами, при — диференціальними (або гладкими) структурами, при k = a — аналітичними структурами. Топологічний многовид X, наділений -структурою називається -многовидом, або диференційовним многовидом класу .
Комплексні многовиди
Задачі аналітичної і алгебраїчної геометрії приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору загальніших просторів або навіть , де K — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку відповідна -структура, , неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовид — комплексним многовидом. При цьому на будь-якому такому многовиді є і природна дійсна аналітична структура.
Сумісні структури
На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею -структура, і на -многовиді, , — -структура, якщо . Навпаки, будь-який паракомпактний -многовид, , можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що -многовид не можна наділити -структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) -неізоморфних -структур на n-вимірній сфері рівно:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
θ(n) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 28 | 2 | 8 | 6 | 992 | 1 |
Відображення
Нехай — неперервне відображення -многовидів X, Y; воно називається -морфізмом (або -відображенням, , або відображенням класу ) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт на X і на Y такої, що і відображення:
належить класу . Бієктивне відображення f таке, що воно і f-1 є -відображеннями, називається -ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку X і Y і їх -структури називаються -ізоморфними.
Підмноговиди і вкладення
Підпростір Y n-вимірного -многовиду X називається - підмноговидом розмірності m у X, якщо для довільної точки існують її окіл і карта -структури X такі, що і індукує гомеоморфізм V на перетин з (замкнутим) підпростором ; іншими словами, існує карта з координатами така, що визначається співвідношеннями .
Відображення називається -вкладенням якщо f(X) є -підмноговидом в Y, а — -дифеоморфізм. Будь-який n-вимірний -многовид допускає вкладення в і навіть в Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидів, як підмноговидів евклідового простору дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.
Див. також
Посилання
- О.Пришляк Диференціальна геометрія : Курс лекцій. [ 14 квітня 2010 у Wayback Machine.] – К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2004. – 68 с.
Література
- Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
- Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975;
- де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
- Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
- Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
- Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
- Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
- Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
- Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diferencijovnij mnogovid lokalno evklidovij prostir nadilenij Diferencialni mnogovidi ye prirodnoyu bazoyu dlya pobudovi diferencialnoyi geometriyi Tam na diferencialnih mnogovidah vvodyatsya dodatkovi neskinchenno mali strukturi oriyentaciya metrika zv yaznist i t d i vivchayutsya ti vlastivosti pov yazani z cimi ob yektami sho ye invariantnimi shodo grupi difeomorfizmiv zberigayuchih dodatkovu strukturu Z drugogo boku vikoristannya tiyeyi abo inshoyi strukturi dozvolyaye doslidzhuvati budovu samogo diferencialnogo mnogovidu Prostij priklad viraz harakteristichnih klasiv cherez krivinu diferencialnogo mnogovidu nadilenogo linijnoyu zv yaznistyu ViznachennyaNehaj X gausdorfiv topologichnij prostir Yaksho dlya kozhnoyi tochki x X displaystyle x in X znajdetsya yiyi okil U gomeomorfnij vidkritij mnozhini prostoru Rn displaystyle mathbb R n to X nazivayetsya lokalno evklidovim prostorom abo topologichnim mnogovidom rozmirnosti n Para U ϕ displaystyle U phi de ϕ displaystyle phi vkazanij gomeomorfizm nazivayetsya lokalnoyu kartoyu X v tochci h Takim chinom kozhnij tochci vidpovidaye nabir n dijsnih chisel x1 xn displaystyle x 1 ldots x n sho nazivayutsya koordinatami v karti U ϕ displaystyle U phi Mnozhina kart Ua ϕa a A displaystyle U alpha phi alpha alpha in A nazivayetsya n vimirnim Ck displaystyle C k atlasom 0 k a displaystyle 0 leqslant k leqslant infty a mnogovidu X yaksho sukupnist vsih Ua displaystyle U alpha pokrivaye X X a AUa displaystyle X cup alpha in A U alpha dlya bud yakih a b A displaystyle alpha beta in A takih sho Ua Ub displaystyle U alpha cap U beta neq varnothing vidobrazhennya ϕab ϕb ϕa 1 ϕa Ua Ub ϕb Ua Ub displaystyle phi alpha beta phi beta circ phi alpha 1 phi alpha U alpha cap U beta to phi beta U alpha cap U beta ye diferencijovnim klasu Ck displaystyle C k ϕ displaystyle phi ye vidobrazhennyam z vidminnim vid nulya yakobianom i nazivayetsya peretvorennyam koordinat tochki h z karti Ua ϕa displaystyle U alpha phi alpha v kartu Ub ϕb displaystyle U beta phi beta Dva Ck displaystyle C k atlasi nazivayutsya ekvivalentnimi yaksho yih ob yednannya znovu ye Ck displaystyle C k atlasom Sukupnist Ck displaystyle C k atlasiv rozbivayetsya na klasi ekvivalentnosti yaki nazivayutsya Ck displaystyle C k strukturami pri 1 k displaystyle 1 leqslant k leqslant infty diferencialnimi abo gladkimi strukturami pri k a analitichnimi strukturami Topologichnij mnogovid X nadilenij Ck displaystyle C k strukturoyu nazivayetsya Ck displaystyle C k mnogovidom abo diferencijovnim mnogovidom klasu Ck displaystyle C k Kompleksni mnogovidi Zadachi analitichnoyi i algebrayichnoyi geometriyi privodyat do neobhidnosti rozglyadu u viznachenni diferencialnoyi strukturi zamist prostoru Rn displaystyle mathbb R n zagalnishih prostoriv Cn displaystyle mathbb C n abo navit Kn displaystyle K n de K povne nediskretne normovane pole Tak u vipadku K C displaystyle K mathbb C vidpovidna Ck displaystyle C k struktura k 1 displaystyle k geqslant 1 neodminno viyavlyayetsya analitichnoyu strukturoyu vona nazivayetsya kompleksno analitichnoyu abo prosto kompleksnoyu a vidpovidnij diferencijovnij mnogovid kompleksnim mnogovidom Pri comu na bud yakomu takomu mnogovidi ye i prirodna dijsna analitichna struktura Sumisni strukturi Na bud yakomu analitichnomu mnogovidi isnuye uzgodzhena z neyu C displaystyle C infty struktura i na Ck displaystyle C k mnogovidi 0 k displaystyle 0 leqslant k leqslant infty Cr displaystyle C r struktura yaksho 0 r k displaystyle 0 leqslant r leqslant k Navpaki bud yakij parakompaktnij Cr displaystyle C r mnogovid r 1 displaystyle r geqslant 1 mozhna nadiliti analitichnoyu strukturoyu sumisnoyu iz zadanoyu prichomu cya struktura z tochnistyu do izomorfizmu yedina Mozhe prote trapitisya sho C0 displaystyle C 0 mnogovid ne mozhna nadiliti C1 displaystyle C 1 strukturoyu a yaksho ce vdayetsya to taka struktura mozhe buti ne yedinoyu Napriklad chislo 8 n C1 displaystyle C 1 neizomorfnih C displaystyle C infty struktur na n vimirnij sferi rivno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 128 n 1 1 1 1 1 28 2 8 6 992 1Vidobrazhennya Nehaj f X Y displaystyle f X to Y neperervne vidobrazhennya Cr displaystyle C r mnogovidiv X Y vono nazivayetsya Ck displaystyle C k morfizmom abo Ck displaystyle C k vidobrazhennyam k r displaystyle k leqslant r abo vidobrazhennyam klasu Ck displaystyle C k diferencijovnih mnogovidiv yaksho dlya bud yakoyi pari kart Ua ϕa displaystyle U alpha phi alpha na X i Vb psb displaystyle V beta psi beta na Y takoyi sho f Ua Vb displaystyle f U alpha subset V beta i vidobrazhennya psb f ϕa 1 ϕa Ua psb Vb displaystyle psi beta circ f circ phi alpha 1 phi alpha U alpha to psi beta V beta nalezhit klasu Ck displaystyle C k Biyektivne vidobrazhennya f take sho vono i f 1 ye Ck displaystyle C k vidobrazhennyami nazivayetsya Ck displaystyle C k izomorfizmom abo difeomorfizmom V comu vipadku X i Y i yih Cr displaystyle C r strukturi nazivayutsya Ck displaystyle C k izomorfnimi Pidmnogovidi i vkladennyaPidprostir Y n vimirnogo Ck displaystyle C k mnogovidu X nazivayetsya Ck displaystyle C k pidmnogovidom rozmirnosti m u X yaksho dlya dovilnoyi tochki y Y displaystyle y in Y isnuyut yiyi okil V Y displaystyle V subset Y i karta U ϕ displaystyle U phi Ck displaystyle C k strukturi X taki sho V Y displaystyle V subset Y i ϕ displaystyle phi indukuye gomeomorfizm V na peretin ϕ U Y displaystyle phi U cap Y z zamknutim pidprostorom Rm Rn displaystyle mathbb R m subset mathbb R n inshimi slovami isnuye karta z koordinatami x1 xn displaystyle x 1 ldots x n taka sho U Y displaystyle U cap Y viznachayetsya spivvidnoshennyami xm 1 xn 0 displaystyle x m 1 ldots x n 0 Vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y nazivayetsya Ck displaystyle C k vkladennyam yaksho f X ye Ck displaystyle C k pidmnogovidom v Y a X f X displaystyle X to f X Ck displaystyle C k difeomorfizm Bud yakij n vimirnij Ck displaystyle C k mnogovid dopuskaye vkladennya v R2n 1 displaystyle mathbb R 2n 1 i navit v R2n displaystyle mathbb R 2n Bilsh togo mnozhina takih vkladen ye vsyudi shilnoyu u prostori vidobrazhen Ck X R2n 1 displaystyle C k X mathbb R 2n 1 shodo kompaktno vidkritoyi topologiyi Tim samim rozglyad diferencijovnih mnogovidiv yak pidmnogovidiv evklidovogo prostoru daye odin iz sposobiv vivchennya yih teoriyi cim shlyahom vstanovlyuyutsya napriklad vkazani vishe teoremi pro analitichni strukturi Div takozhMnogovid Atlas matematika Difeomorfizm Grassmanian Invariantnij mnogovidPosilannyaO Prishlyak Diferencialna geometriya Kurs lekcij 14 kvitnya 2010 u Wayback Machine K Vidavnicho poligrafichnij centr Kiyivskij universitet 2004 68 s LiteraturaPontryagin L S Gladkie mnogoobraziya i ih primeneniya v teorii gomotopij 2 izd M 1976 Burbaki N Differenciruemye i analiticheskie mnogoobraziya Svodka rezultatov per s franc M 1975 de Ram Zh Differenciruemye mnogoobraziya per s franc M 1956 Leng S Vvedenie v teoriyu differenciruemyh mnogoobrazij per s angl M 1967 Rohlin V A Fuks D B Nachalnyj kurs topologii Geometricheskie glavy M 1977 Uitni X Geometricheskaya teoriya integrirovaniya per s angl M 1960 Postnikov M M Vvedenie v teoriyu Morsa M 1971 Narasimhan R Analiz na dejstvitelnyh i kompleksnyh mnogoobraziyah per s angl M 1971 Uells R Differencialnoe ischislenie na kompleksnyh mnogoobraziyah per s angl M 1976