Дифеоморфізм

Дифеоморфі́зм — взаємно однозначне і неперервно диференційовне відображення ${\displaystyle f:M\to N}$ гладкого многовиду ${\displaystyle M}$ в гладкий многовид ${\displaystyle N}$, обернене до якого теж є неперервно диференційовним. Зазвичай під гладкістю розуміють ${\displaystyle \ C^{\infty }}$ — гладкість, проте таким же чином можуть бути визначені дифеоморфізми з іншим типом гладкості, наприклад ${\displaystyle \ C^{k}}$ при будь-кому ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$.

Пов'язані визначення

Якщо для ${\displaystyle M}$ та ${\displaystyle N}$ існує дифеоморфізм, то говорять, що ${\displaystyle M}$ й ${\displaystyle N}$ дифеоморфні. Множина дифеоморфізмів многовиду ${\displaystyle M}$ у собі утворює групу, що позначається ${\displaystyle \operatorname {Diff} M}$.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle \ f(x,y)=(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3})}$. Матриця Якобі цього відображення дорівнює:

${\displaystyle J_{f}=\left({\begin{array}{cc}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{array}}\right).}$

Її визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle xy=0}$. Тобто f є дифеоморфізмом за межами x-осі і y-осі.

Література

• Пришляк О.О.. Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2004. – 68 с.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — Москва: Мир, 1972. — 280 с.
• Ф.Уорнер Основы теории гладких многообразий и групп — Москва: Мир, 1987. — 302 с.