Диференціальна форма

Диференціальна форма порядку ${\displaystyle k}$ або ${\displaystyle k}$-форма — кососиметричне тензорне поле типу ${\displaystyle (0,\;k)}$ на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір ${\displaystyle k}$-форм на многовиді ${\displaystyle M}$ звичайно позначають ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$.

Визначення

Інваріантне

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня ${\displaystyle k}$ — це гладкий перетин ${\displaystyle k}$-го зовнішнього степеня многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, T_pM — дотичний простір многовиду M в точці p, T^*_pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначмо ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}$ — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

${\displaystyle \beta \colon T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

Тоді диференціальна k-форма ${\displaystyle \omega }$ — це відображення:

${\displaystyle \omega \colon p\to \Lambda ^{k}(T_{p}^{*}M)}$

в довільній точці p∈M, при чому

${\displaystyle \omega (p)(V_{1}(p),\ldots ,V_{k}(p))\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} ),}$

де ${\displaystyle V_{1}(p),\ldots ,V_{k}(p)}$ — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови, називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти

Якщо ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}$ — локальна система координат в області ${\displaystyle U\in M}$, то форми ${\displaystyle dx_{1},...,dx_{n}}$ утворюють базис у кодотичному просторі ${\displaystyle T_{X}^{*}M}$. Тому будь-яка зовнішня k-форма записується в U у вигляді

${\displaystyle \omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$

де ${\displaystyle f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ — гладкі функції ${\displaystyle dx^{i}}$ — диференціал ${\displaystyle i}$-ї координати ${\displaystyle x^{i}}$ (функція від вектора, що визначає його координату з номером ${\displaystyle i}$ ), а ${\displaystyle \wedge }$ — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, k-форми може бути визначено як форми на картах, які узгоджено на склеюваннях.

Пов'язані визначення

Зовнішня похідна

Докладніше: Зовнішня похідна

Лінійне відображення ${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для ${\displaystyle p=0}$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. ${\displaystyle \ d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (d\omega ^{p})}$
3. Для будь-якої форми виконується рівність ${\displaystyle d(d\omega )=0}$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал форми ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$можна записати за допомогою формули:

• ${\displaystyle d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}\sum _{1\leqslant j\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}{\partial x^{j}}}(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{k}}}$

• Диференціальна форма називається замкненою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
• k-форма називається точною, якщо її можливо представити як диференціал деякої (k-1)-форми.
• Факторгрупа ${\displaystyle H_{dR}^{k}={\bar {\Omega }}_{k}/d\Omega _{k-1}}$ замкнених k-форм по точних k-формах називається ${\displaystyle k}$-мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі .
• Внутрішньою похідною форми ${\displaystyle \omega }$ по векторному полю ${\displaystyle \mathbf {v} }$ називається форма

${\displaystyle i_{\mathbf {v} }\omega (u_{1},\dots u_{n-1})=\omega (\mathbf {v} ,u_{1},\dots ,u_{n-1})}$

Властивості

• Для диференціалів диференціальних форм ${\displaystyle \omega _{F}}$ векторного поля ${\displaystyle F}$ справедливо:

${\displaystyle \ d(d\omega _{F})=0}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{0})=\omega _{\nabla F}^{1}}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{rotF}^{2}}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{divF}^{3}}$

${\displaystyle d(\omega _{F}^{3})=\omega _{L2F}^{4}}$

• Диференціальну форму можна розглядати як поле кососиметричних функцій від ${\displaystyle k}$ векторів.

• Внутрішнє диференціювання є лінійним і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:

  ${\displaystyle di_{\mathbf {v} }+i_{\mathbf {v} }d=L_{\mathbf {v} }}$

Алгебраїчні операції

Диференціальні форми порядку ${\displaystyle k}$, задані у диференціальному многовиді ${\displaystyle M}$, утворюють модуль ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ над кільцем ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$. Зокрема для диференціальних форм порядку ${\displaystyle k}$ визначено додавання і множення на функцію :

${\displaystyle (\alpha +\beta )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})+\beta _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})}$ ; ${\displaystyle (f\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=f(x)\cdot \alpha _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})}$.

Зовнішній добуток

Зовнішній добуток форм ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ порядків ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle q}$ визначається за допомогою наступної формули :

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k+q})={\frac {1}{k!q!}}\sum \varepsilon (\sigma )\cdot \alpha _{x}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})\cdot \beta _{x}(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+q)})}$,

де ${\displaystyle \varepsilon (\sigma )}$ позначає знак перестановки ${\displaystyle \sigma }$ і сума береться по всіх перестановках ${\displaystyle \sigma }$ чисел ${\displaystyle [1,k+q]}$. Результатом добутку є диференціальна форма порядку ${\displaystyle k+q}$.

З визначеними алгебраїчними операціями множина ${\displaystyle \Omega (M)=\oplus \Omega ^{k}(M)}$, є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ порядків ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle q}$, Виконується

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kq}\beta \wedge \alpha }$.

Зворотний образ

Якщо відображення ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ є гладким, ${\displaystyle \alpha }$ — диференціальна форма порядку ${\displaystyle k}$ на многовиді ${\displaystyle N}$, тоді можна визначити диференціальну форму ${\displaystyle f^{*}\alpha }$ порядку ${\displaystyle k}$ визначену на ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle (f^{*}\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{f(x)}(\mathrm {d} f_{x}(v_{1}),\dots ,\mathrm {d} f_{x}(v_{k}))}$.

Дане відображення задовольняє рівностям:

• ${\displaystyle f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )\,}$
• ${\displaystyle f^{*}(g\cdot \alpha )=(g\circ f)\cdot f^{*}(\alpha )}$
• ${\displaystyle f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )}$

де ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже, відображення ${\displaystyle f^{*}:\Omega (N)\rightarrow \Omega (M)}$ визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x₁, …, x_m — координати на M, that y₁, …, y_n — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями y_i = f_i(x₁, …, x_m) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}dy_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy_{i_{k}},}$

де для довільного вибору i₁, …, i_k, ${\displaystyle \omega _{i_{1}\cdots i_{k}}}$ — дійсна функція змінних y₁, …, y_n. З властивостей зворотного образу одержується формула для f^*ω :

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{n}}.}$

Кожну зовнішню похідну df_i може бути записано в термінах dx₁, …, dx_m. Відповідну k-форму може бути записано за допомогою матриці Якобі:

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x_{j_{1}},\ldots ,x_{j_{k}})}}dx_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{j_{k}}.}$

Інтегрування

Нехай

${\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\dots ,x_{n}({\mathbf {u} }))}$. Тоді можна визначити інтеграл:

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\dots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}\,du_{1}\ldots du_{k}}$

де

${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\dots ,u_{k})}}}$ — визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо ${\displaystyle \omega }$ — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\oint _{\partial M}\omega .\!\,}$

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Диференціальні форми в електромагнетизмі

Докладніше: Диференціальні форми в електромагнетизмі

Максвеллівська електродинаміка вельми елегантно формулюється мовою диференціальних форм в 4-вимірному просторі-часі. Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{ab}\,{\mathrm {d} }x^{a}\wedge {\mathrm {d} }x^{b}.}$

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого може бути описано класичну електродинаміку та калібрувальну теорію. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

${\displaystyle {\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{abcd}\,{\mathrm {d} }x^{b}\wedge {\mathrm {d} }x^{c}\wedge {\mathrm {d} }x^{d}.}$

У цих позначеннях рівняння Максвелла може бути дуже компактно записано як

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\textbf {F}}={\textbf {0}}}$,

${\displaystyle \mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}}$,

де ${\displaystyle *}$ — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описано геометрію загальної калібрувальної теорії.

2-форма ${\displaystyle *\mathbf {F} }$ також називається 2-формою Максвелла.

Приклади

• З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторне поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці ${\displaystyle p}$ многовиду ${\displaystyle M}$ і що відображає елементи дотичного простору ${\displaystyle T_{p}(M)}$ у множину дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$:

  ${\displaystyle \omega (p):T_{p}(M)\rightarrow \mathbb {R} }$

• Форма об'єму — приклад ${\displaystyle n}$-форми на ${\displaystyle n}$-мірному многовиді.
• Симплектична форма — замкнена 2-форма ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle 2n}$-многовиді, така що ${\displaystyle \omega ^{n}\not =0}$.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Зовнішній добуток
• Когомологія де Рама
• Тангенціальнозначна форма

Джерела

• Математический анализ. — 9-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 2. — 676 с. — .(рос.)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
• У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications,
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS,
• Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc.