Зовнішня похідна

Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції, що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном.

Зовнішня похідна d має властивість, що d² = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на (сингулярні когомології) гладких многовидів. Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом.

Визначення

Аксіоматичне визначення

Нехай ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$ — множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M. Лінійне відображення ${\displaystyle \mathrm {d} :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для ${\displaystyle p=0}$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. ${\displaystyle \ \mathrm {d} (\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(\mathrm {d} \omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (\mathrm {d} \omega ^{p})}$
3. Для будь-якої форми виконується рівність ${\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} \omega )=0}$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним.

Визначення за допомогою локальних координат

Для довільної точки ${\displaystyle p\in M}$ існує окіл цієї точки і координатні функції ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ такі що довільну диференціальну k-форму можна записати як

${\displaystyle \omega ^{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}},}$ для деяких гладких функцій ${\displaystyle f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$визначених в цьому околі. Тоді зовнішня похідна в цій точці рівна

${\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{k}|_{p}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {\partial f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}\right|_{p}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}$

Інваріантна формула

Якщо ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}}$ — гладкі векторні поля на многовиді, тоді зовнішня похідна визначається за формулою:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})&=&\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}}$

де символ ^ у виразі ${\displaystyle {\hat {X}}_{i}}$ означає, що вказане векторне поле не є аргументом відповідної диференціальної форми, а ${\displaystyle [.,.]}$ позначає дужки Лі векторних полів.

Якщо ${\displaystyle \nabla }$ є афінною зв'язністю із нульовим крученням на многовиді, тобто ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$ то зовнішню похідну можна також записати за допомогою оператора коваріантної похідної:

${\displaystyle \mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}D_{X_{i}}\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}$

Ця рівність є справедливою, зокрема для зв'язності Леві-Чивіти у рімановій геометрії.

Приклади

1

Нехай σ = u dx₁∧dx₂ у базисі 1-форм dx₁,...,dx_n. Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:

${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}}$

${\displaystyle =\sum _{i=3}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}.}$

2

Для 1-форми σ = u dx + v dy визначеної у R² з використанням попереднього одержується:

${\displaystyle {\text{d}}\sigma =\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\text{d}}x_{i}\wedge {\text{d}}x\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}{\text{d}}x_{i}\wedge {\text{d}}y\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}x+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}{\text{d}}y\wedge {\text{d}}x\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}{\text{d}}y\wedge {\text{d}}y\right)}$

${\displaystyle =0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+0}$

${\displaystyle =\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right){\text{d}}x\wedge {\text{d}}y.}$

Властивості

Якщо ƒ: M → N — гладке відображення і Ω^k — гладкий контраваріантний функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k-форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:

тобто d(ƒ*ω) = ƒ*dω, де ƒ* позначає (зворотне відображення) від ƒ. Отже, d є природним відображенням з Ω^k на Ω^k+1.

Література

• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы / Пер. з франц. Б. К. Калякина, А. Н. Тюріна. Под ред. Б. А. Фукса. — М.: Мир, 1971. — 392 с. (рос.)
• Isadore Singer, John A. Thorpe Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry [ 21 травня 2022 у Wayback Machine.]. — Springer-Verlag, 1967. — . (англ.)