Гомотопія (з дав.-гр. ὁμός homós "сам, подібний" та τόπος tópos "місце") — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.
Формальне визначення
Нехай та
— топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору
в простір
. Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення
таке, що
і
для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.
Пов'язані визначення
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekkyTDAxMVoxOWhibVJmVkc5eWRYTmZiVzl5Y0dndVoybG1Mekl5TUhCNExVMTFaMTloYm1SZlZHOXlkWE5mYlc5eWNHZ3VaMmxtLmdpZg==.gif)
- Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
- Якщо на деякій підмножині
для всіх
при
, то
називається гомотопією відносно
, а
і
гомотопними відносно
.
- Ізотопія — гомотопія топологічного простору
по топологічному простору
тобто
, в якій при будь-кому
відображення
є гомеоморфізмом
на
.
Гомотопічна еквівалентність
- Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів
і
— пара неперервних відображень
і
така, що
і
, тут
позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що
і
гомотопно еквівалентні, або
з
мають один гомотопний тип.
Гомотопічна група
Гомотопічна група простору є групою гомотопічних класів неперервних відображень
переводячи відзначену точку сфери у точку
із декотрою операцією. Сферу
можна неперервно й бієктивно відобразити у
де
Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень
які переводять границю у відзначену точку
Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:
Властивості
- Гомотопія задає відношення еквівалентності на множині неперервних відображень
- Рефлексивність. Якщо
— деяке неперервне відображення, тоді функція
визначена
буде гомотопією між f і f.
- Симетричність. Нехай відображення
гомотопне відображенню
і
— відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією
.
- Транзитивність. Нехай відображення
гомотопне відображенню
і
— відповідна гомотопія. Нехай також відображення
гомотопне відображенню
і
— відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:
- Рефлексивність. Якщо
- Усі відображення
є неперервними.
- Якщо
— неперервні відображення, і
— гомотопія між
і
, то
є гомотопією між
і
.
Приклади
- Якщо
, то функції
і
є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається:
- Множини
є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
- Одиничне коло
гомотопно еквівалентне простору
.
де
- апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу
Тут ми маємо відображення
Отримуємо бієкцію
- Нехай
- гомотопічні простори із відзначеною точкою, де
- скінченне й у ньому виконується
Нехай відображення
є неперервними та
виконується
Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію
із наступними властивостями:
- Щоб показати неперервність відображеження
потрібно показати, що
є замкненим для будь-якої точки
Якщо
, то й
Це дає
Тоді
А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.
Посилання
- С. Максименко, Інститут математики НАН України, Вступ до теорії гомотопій на YouTube.
Література
- Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. —
- Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gomotopiya z dav gr ὁmos homos sam podibnij ta topos topos misce v matematici ponyattya algebrichnoyi topologiyi sho formalizuye ponyattya neperervnoyi deformaciyi odnogo ob yekta v inshij Za dopomogoyu gomotopiyi viznachayutsya gomotopichni grupi sho ye vazhlivimi invariantami v algebrichnij topologiyi Formalne viznachennyaNehaj X displaystyle X ta Y displaystyle Y topologichni prostori i f ta g dva neperervnih vidobrazhennya z prostoru X displaystyle X v prostir Y displaystyle Y Todi vidobrazhennya f nazivayetsya gomotopnim vidobrazhennyu g yaksho isnuye neperervne vidobrazhennya H X 0 1 Y displaystyle H colon X times 0 1 to Y take sho f x H x 0 displaystyle f x H x 0 i g x H x 1 displaystyle g x H x 1 dlya x X Dane neperervne vidobrazhennya nazivayetsya gomotopiyeyu Pov yazani viznachennyaGomotopichna ekvivalentnist bublika i chashki Gomotopichnij invariant ce harakteristika prostoru yaka zberigayetsya pri gomotopichnij ekvivalentnosti topologichnih prostoriv Tobto yaksho dva prostori gomotopno ekvivalenti to voni mayut odnakovu harakteristiku Napriklad zv yaznist fundamentalna grupa ejlerova harakteristika Yaksho na deyakij pidmnozhini A X F t a f a displaystyle A subset X F t a f a dlya vsih t displaystyle t pri a A displaystyle a in A to F displaystyle F nazivayetsya gomotopiyeyu vidnosno A displaystyle A a f displaystyle f i g displaystyle g gomotopnimi vidnosno A displaystyle A Izotopiya gomotopiya topologichnogo prostoru X displaystyle X po topologichnomu prostoru Y displaystyle Y tobto f t X Y t 0 1 displaystyle f t colon X to Y t in 0 1 v yakij pri bud komu t displaystyle t vidobrazhennya f t displaystyle f t ye gomeomorfizmom X displaystyle X na f X Y displaystyle f X subset Y Gomotopichna ekvivalentnistGomotopichna ekvivalentnist topologichnih prostoriv X displaystyle X i Y displaystyle Y para neperervnih vidobrazhen f X Y displaystyle f colon X to Y i g Y X displaystyle g colon Y to X taka sho f g id Y displaystyle f circ g sim operatorname id Y i g f id X displaystyle g circ f sim operatorname id X tut displaystyle sim poznachaye gomotopichnu ekvivalentnist vidobrazhen V comu vipadku govoryat sho X displaystyle X i Y displaystyle Y gomotopno ekvivalentni abo X displaystyle X z Y displaystyle Y mayut odin gomotopnij tip Gomotopichna grupaGomotopichna grupa prostoru PS p n PS ps 0 displaystyle Psi pi n Psi psi 0 ye grupoyu gomotopichnih klasiv neperervnih vidobrazhen f S n PS displaystyle f S n rightarrow Psi perevodyachi vidznachenu tochku sferi u tochku ps 0 displaystyle psi 0 iz dekotroyu operaciyeyu Sferu S n displaystyle S n mozhna neperervno j biyektivno vidobraziti u I n displaystyle I n de I 0 1 displaystyle I 0 1 Takim chinom gomotopichnu grupu mozhna viznachiti yak grupu gomotopichnih klasiv neperervnih vidobrazhen g I n PS displaystyle g I n rightarrow Psi yaki perevodyat granicyu u vidznachenu tochku g I n ps 0 displaystyle g partial I n psi 0 Operaciyu takih vidobrazhen mozhna viznachiti nastupnim chinom g 1 g 2 t 1 t n g 1 2 t 1 t 2 t n t 1 0 0 5 g 2 2 t 1 1 t 2 t n t 1 0 5 1 displaystyle g 1 g 2 t 1 t n begin cases g 1 2t 1 t 2 t n amp t 1 in 0 0 5 g 2 2t 1 1 t 2 t n amp t 1 in 0 5 1 end cases VlastivostiGomotopiya zadaye vidnoshennya ekvivalentnosti na mnozhini neperervnih vidobrazhen X Y displaystyle X to Y Refleksivnist Yaksho f X Y displaystyle f colon X to Y deyake neperervne vidobrazhennya todi funkciya H X I Y displaystyle H colon X times I to Y viznachena H x t f x displaystyle H x t f x bude gomotopiyeyu mizh f i f Simetrichnist Nehaj vidobrazhennya f X Y displaystyle f colon X to Y gomotopne vidobrazhennyu g X Y displaystyle g colon X to Y i H X I Y displaystyle H colon X times I to Y vidpovidna gomotopiya Todi g ye gomotopnim f z gomotopiyeyu H x t H x 1 t displaystyle H x t H x 1 t Tranzitivnist Nehaj vidobrazhennya f X Y displaystyle f colon X to Y gomotopne vidobrazhennyu g X Y displaystyle g colon X to Y i H X I Y displaystyle H colon X times I to Y vidpovidna gomotopiya Nehaj takozh vidobrazhennya g X Y displaystyle g colon X to Y gomotopne vidobrazhennyu h X Y displaystyle h colon X to Y i F X I Y displaystyle F colon X times I to Y vidpovidna gomotopiya Todi Todi f ye gomotopnim h z gomotopiyeyu dd G x t H x 2 t t 0 0 5 H x 2 t 1 t 0 5 1 displaystyle G x t begin cases H x 2t amp t in 0 0 5 H x 2t 1 amp t in 0 5 1 end cases dd dd Usi vidobrazhennya h t x H x t displaystyle h t x H x t ye neperervnimi Yaksho f f X Y g Y B h A X displaystyle f f colon X to Y g colon Y to B h colon A to X neperervni vidobrazhennya i H X I Y displaystyle H colon X times I to Y gomotopiya mizh f displaystyle f i f displaystyle f to g H h I displaystyle g circ H circ h times I ye gomotopiyeyu mizh g f h displaystyle g circ f circ h i g f h displaystyle g circ f circ h PrikladiYaksho Y R m displaystyle Y mathbb R m to funkciyi f displaystyle f i g displaystyle g ye zavzhdi ye gomotopnimi Gomotopiya viznachayetsya H x t f x t g x f x displaystyle H x t f x t left g x f x right Mnozhini X 0 1 Y 0 1 displaystyle X 0 1 Y 0 1 ye ekvivalentnimi gomotopichno ale ne gomeomorfnimi Odinichne kolo S 1 displaystyle mathcal S 1 gomotopno ekvivalentne prostoru R 2 0 displaystyle mathbb R 2 setminus 0 M N p t lim N k f M f p t displaystyle M N pt cong lim rightarrow N k f M f pt de N k f displaystyle N k f aproksimuyuchi skinchenni modeli CW komplesu N displaystyle N Tut mi mayemo vidobrazhennya N k f M f p t N M f p t N M f p t k displaystyle N k f M f pt rightarrow N M f pt cong N M f pt forall k Otrimuyemo biyekciyu f lim N k f M f p t N M f displaystyle varphi lim rightarrow N k f M f pt rightarrow N M f Nehaj U G displaystyle U G gomotopichni prostori iz vidznachenoyu tochkoyu de G displaystyle G skinchenne j u nomu vikonuyetsya T 0 displaystyle T 0 Nehaj vidobrazhennya f g U G displaystyle f g U rightarrow G ye neperervnimi ta u U displaystyle forall u in U vikonuyetsya f x g x displaystyle f x in overline g x Todi voni ye gomotopnimi Dijsno mozhna pobuduvati gomotopiyu H U I G displaystyle H U times I rightarrow G iz nastupnimi vlastivostyami H u 0 f x displaystyle H u 0 f x H u t v u t 0 1 displaystyle H u t v u t in 0 1 Shob pokazati neperervnist vidobrazhezhennya H displaystyle H potribno pokazati sho H 1 p displaystyle H 1 bar p ye zamknenim dlya bud yakoyi tochki p f U v U displaystyle p in f U cup v U Yaksho v u p displaystyle v u in bar p to j f u p displaystyle f u in bar p Ce daye v 1 p 0 1 f 1 p 0 v 1 p 0 1 displaystyle v 1 bar p times 0 1 subseteq f 1 bar p times 0 cup v 1 bar p times 0 1 Todi H 1 p f 1 p 0 v 1 p 0 1 f 1 p 0 v 1 p 0 1 displaystyle H 1 bar p f 1 bar p times 0 cup v 1 bar p times 0 1 f 1 bar p times 0 cup v 1 bar p times 0 1 A vidtak vin ye zamknenim yak ob yednannya zamknenih mnozhin PosilannyaS Maksimenko Institut matematiki NAN Ukrayini Vstup do teoriyi gomotopij na YouTube LiteraturaVasilev V A Vvedenie v topologiyu M FAZIS 1997 132 s ISBN 5 7036 0036 7 Rohlin V A Fuks D B Nachalnyj kurs topologii Geometricheskie glavy M Nauka 1977 Spener E Algebraicheskaya topologiya M Mir 1971