Ізотопія

Ізото́пія — це така гомотопія ${\displaystyle f_{t}:X\to Y,t\in [0,1]}$ , в якій за будь-якого ${\displaystyle t}$ відображення ${\displaystyle f_{t}}$ є гомеоморфізмом ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle f(X)\subset Y}$.

Пов'язані означення

• ^[ru] для ізотопії ${\displaystyle f_{t}:X\to Y}$ називається ізотопія простору ${\displaystyle F_{t}:Y\to Y}$ така, що ${\displaystyle F_{t}|_{X}\equiv f_{t}}$.
• Два вкладення ${\displaystyle f_{0},f_{1}:X\to Y}$ называються ізотопними, якщо існує накривна ізотопія ${\displaystyle F_{t}:Y\to Y}$, для якої ${\displaystyle F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)}$.
• Простори ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ називають ізотопічно еквівалентними або просторами одного й того ж ізотопічного типу, якщо існують вкладення ${\displaystyle f:X\to Y,\ g:Y\to X}$ такі, що композиції ${\displaystyle g\circ f:X\to X}$ и ${\displaystyle f\circ g:Y\to Y}$ ізотопні тотожним відображенням.
  • Якщо простори гомеоморфні, то вони ізотопічно еквівалентні, проте є негомеоморфні простори одного ізотопічного типу, наприклад, ${\displaystyle n}$-вимірна куля і така ж куля з приклеєним до її поверхні (одним своїм кінцем) відрізком.
  • Будь-який гомотопічний інваріант є ізотопічним інваріантом, але існують ізотопічні інваріанти, наприклад, , які не є гомотопічними.

Властивості

• Гладка ізотопія завжди подовжується до гладкої накривної ізотопії.
• Існують дифеоморфізми сфери ${\displaystyle S^{n}}$ на себе, неізотопні тотожному, цей факт пов'язаний з існуванням нетривіальних диференціальних структур на сферах розмірності ${\displaystyle n+1}$.

Джерела

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Isotopy (in topology), Математична енциклопедія, , ISBN