Гомотопічні групи — інваріант топологічних просторів, одне з основних понять алгебричної топології.
Неформально кажучи, вони класифікують відображення з багатовимірних сфер в заданий топологічний простір з точністю до неперервної деформації. Незважаючи на простоту означення, гомотопічні групи дуже складні в обчисленні, навіть для сфер. Це відрізняє їх від груп гомологій, які простіше обчислюються але складніше означаються. Найпростішим окремим випадком гомотопічних груп є фундаментальна група.
Фундаментальна група була введена Анрі Пуанкаре, вищі гомотопічні групи — Вітольдом Гуревичем. Незважаючи на простоту їх означення, обчислення конкретних груп (навіть для таких простих просторів, як багатовимірні сфери Sn) часто є дуже важким завданням, причому загальні методи були отримані тільки в середині XX століття з появою .
Означення
Нехай — топологічний простір, ; — одиничний куб, тобто , і — границя цього куба, тобто множина точок куба, для яких або 1 для деякого . Множина відносних гомотопічних класів неперервних відображень , для яких позначається (причому переходить в точку при всіх відображеннях і гомотопіях). Еквівалентно означення можна дати, як множину класів гомотопії відображень із n-сфери із виділеною точкою для яких і всі гомотопії є відносними щодо
На цій множині класів гомотопії можна визначити добуток елементів:
- ,
де
- , якщо
- , якщо
Оскільки на границі куба , то добуток є означеним коректно.
Еквівалентно в означенні добутку можна взяти будь-яку координату замість першої. Також еквівалентним є означення добутку на множині класів відносної гомотопії відображень для яких яке є дане у статті H-простір для асоціативних H'-просторів із оберненими елементами, тобто Дійсно коло є асоціативним H'-простором із оберненими елементами тому таким є і сфера , оскільки (редукована надбудова) асоціативного H'-простору із оберненими елементами теж є таким простором, а є гомеоморфною редукованій надбудові Далі оскільки кожна гіперсфера є гомеоморфною редукованій надбудові , то за індукцією всі є асоціативними H'-просторами із оберненими елементами і для них має зміст введене означення. Усі ці означення задають єдиний добуток на множині класів відносної гомотопії.
Легко перевірити, що залежить тільки від класу гомотопії і . Цей добуток задовольняє всім аксіомам групи. У випадку одержується композиція замкнутих шляхів, отже, є фундаментальною групою. При n > 1 називаються вищими гомотопічними групами.
Окрім того часто позначається множина класів гомотопії відображень тобто відображень із двохелементної множини у X. Множина є рівною множині лінійних компонент зв'язності простору X. На ній загалом не існує змістовної групової структури, тому не розглядається як гомотопічна група але вона має деякі спільні властивості із гомотопічними групами.
Неперервному відображенню просторів із виділеними точками відповідає гомоморфізм , причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп , а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм . Якщо відображення є гомотопним , то .
Залежність від початкової точки
На відміну від гомологічних груп , у визначенні гомотопічних груп важливою є виділена точка . Нехай і є двома точками, що належать одній компоненті лінійної зв'язності простору і є шляхом між цими двома точками. Тоді цей шлях породжує гомоморфізми із такими властивостями:
- Якщо два шляхи і є гомотопними відносно 0 і 1, то як гомоморфізми
- Якщо позначити — тотожний шлях (тобто , ) тоді є тотожним гомоморфізмом
- Якщо є ще однією точкою у тій же компоненті зв'язності і є шляхом від до , а позначає добуток шляхів (який є шляхом від до ), то
- Якщо є неперервним відображенням просторів для якого , і позначає породжені гомоморфізми гомотопічних груп у відповідних виділених точках, то як гомоморфізми із у
Зокрема, якщо то петлі із базовою точкою породжують автоморфізми на групах , тобто є групою автоморфізмів для всіх гомотопічних груп. Важливими є випадки коли всі такі автоморфізми для є тотожними. Іноді простір для якого це виконується для всіх точок називається -простим. У такому просторі всі групи незалежно від виділеної точки є ізоморфними. Для лінійно зв'язаного простору умову достатньо перевірити лише для однієї виділеної точки. Окрім того для лінійно зв'язаного -простого простору елементи групи є у бієктивній відповідності із класами гомотопії (не відносно виділених точок) відображень .
Прикладами лінійно зв'язаних просторів, що є -простими є однозв'язні простори і лінійно зв'язані H-простори (не обов'язково асоціативні чи з оберненими елементами). Відповідно для таких просторів всі гомотопічні групи для різних виділених точок є ізоморфними.
Властивості
- Тоді як фундаментальна група в загальному випадку є неабелевою, для всіх групи є абелевими, тобто .
- Якщо є проєкцією із накриття простору, то породжений гомоморфізм гомотопічних груп є ізоморфізмом для всіх
- Для для тензорних добутків виконується рівність
- Для для букету просторів виконується рівність де в останньому добутку є відносна гомотопічна група.
- Теорема Гуревича: Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа існує гомоморфізм груп який для у випадку, якщо є ізоморфізмом.
Приклади
- Для гомотопічні групи , для натомість Для гомотопічних груп із усі є скінченними групами за винятком груп виду які є прямими сумами і скінченних груп. Також для кожного числа існує таке, що для всіх групи є ізоморфними.
- Для просторів X, які мають стягуване універсальне накриття для Наприклад для тора (добутку n кіл) універсальним накриттям є тож для Натомість фундаментальна група є вільною абелевою групою рангу .
Відносні гомотопічні групи
Означення
Відносні гомотопічні групи визначаються для простору , його підпростору і виділеної точки . Нехай — одиничний куб (), — границя цього куба, a — грань куба, яка визначається рівнянням . Множина гомотопічних класів неперервних відображень , для яких і на інших гранях позначається (зокрема переходить в , а в точку при всіх відображеннях і гомотопіях).
При ця множина утворює групу — відносну гомотопічну групу порядку . Добуток, як і вище, задається як
- ,
де
- , якщо
- , якщо .
При усіх гомотопіях у цих означеннях, як і вище переходить в , а в точку . Еквівалентно можна дати означення із використанням усіх координат окрім
Властивості
Можна дати еквівалентне означення відносних гомотопічних груп розглянувши відображення вкладення і його простір шляхів відображення Цей простір є підпростором добутку де якщо . Тут позначає простір шляхів простору , тобто його елементами є неперервні відображення для яких (подібно до простору петель) із компактно-відкритою топологією. Виділеною точкою у є , де є тотожним відображенням із значенням . Тоді тобто відносна гомотопічна група є ізоморфною звичайній гомотопічній групі відповідного простору шляхів відображення із порядком на одиницю меншим. Також можна розглянути множину яка загалом не буде групою.
Неперервному відображенню пар просторів із виділеними точками відповідає гомоморфізм , причому це відповідність є функторіальною, тобто композиції неперервних відображень відповідає добуток гомоморфізмів гомотопічних груп , а тотожному відображенню відповідає тотожний гомоморфізм . Якщо відображення є гомотопним до , як відображення пар із виділеними точками, то .
Якщо то є абелевою групою.
Точна гомотопічна послідовність
Вкладення індукує гомоморфізм , а вкладення (тут слід розуміти як ), індукує гомоморфізм . Будь-який елемент визначається відображенням , яке, зокрема, переводить в , причому на f тотожно дорівнює , визначаючи елемент з . Таким чином ми отримуємо відображення , яке є гомоморфізмом. Ми маємо таку послідовність груп і гомоморфізмів:
Ця послідовність є точною, тобто образ будь-якого гомоморфізму збігається з ядром наступного гомоморфізму. Звідси в разі, коли для всіх , граничний гомоморфізм буде ізоморфізмом.
Див. також
Література
- Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN , архів оригіналу за 20 лютого 2012, процитовано 11 вересня 2020. Section 3.C
- Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN
- Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 61, Springer-Verlag, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gomotopichni grupi invariant topologichnih prostoriv odne z osnovnih ponyat algebrichnoyi topologiyi Neformalno kazhuchi voni klasifikuyut vidobrazhennya z bagatovimirnih sfer v zadanij topologichnij prostir z tochnistyu do neperervnoyi deformaciyi Nezvazhayuchi na prostotu oznachennya gomotopichni grupi duzhe skladni v obchislenni navit dlya sfer Ce vidriznyaye yih vid grup gomologij yaki prostishe obchislyuyutsya ale skladnishe oznachayutsya Najprostishim okremim vipadkom gomotopichnih grup ye fundamentalna grupa Fundamentalna grupa bula vvedena Anri Puankare vishi gomotopichni grupi Vitoldom Gurevichem Nezvazhayuchi na prostotu yih oznachennya obchislennya konkretnih grup navit dlya takih prostih prostoriv yak bagatovimirni sferi Sn chasto ye duzhe vazhkim zavdannyam prichomu zagalni metodi buli otrimani tilki v seredini XX stolittya z poyavoyu OznachennyaNehaj X displaystyle X topologichnij prostir x0 X displaystyle x 0 in X In Rn displaystyle I n subset mathbb R n odinichnij kub tobto In t1 t2 tn 0 ti 1 displaystyle I n t 1 t 2 ldots t n 0 leqslant t i leqslant 1 i In displaystyle partial I n granicya cogo kuba tobto mnozhina tochok kuba dlya yakih ti 0 displaystyle t i 0 abo 1 dlya deyakogo i displaystyle i Mnozhina vidnosnih gomotopichnih klasiv f displaystyle f neperervnih vidobrazhen f In X displaystyle f colon I n to X dlya yakih f In x0 X displaystyle f partial I n x 0 in X poznachayetsya pn X x0 displaystyle pi n X x 0 prichomu In displaystyle partial I n perehodit v tochku x0 displaystyle x 0 pri vsih vidobrazhennyah i gomotopiyah Ekvivalentno oznachennya mozhna dati yak mnozhinu klasiv gomotopiyi vidobrazhen f Sn X displaystyle f S n to X iz n sferi Sn displaystyle S n iz vidilenoyu tochkoyu s0 displaystyle s 0 dlya yakih f s0 x0 displaystyle f s 0 x 0 i vsi gomotopiyi ye vidnosnimi shodo s0 displaystyle s 0 Na cij mnozhini klasiv gomotopiyi mozhna viznachiti dobutok elementiv f g f g displaystyle f g f g de f g t1 t2 tn f 2t1 t2 tn displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n f 2t 1 t 2 ldots t n yaksho 0 t1 12 displaystyle 0 leqslant t 1 leqslant frac 1 2 f g t1 t2 tn g 2t1 1 t2 tn displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n g 2t 1 1 t 2 ldots t n yaksho 12 t1 1 displaystyle frac 1 2 leqslant t 1 leqslant 1 Oskilki na granici kuba f g x0 displaystyle f g x 0 to dobutok ye oznachenim korektno Ekvivalentno v oznachenni dobutku mozhna vzyati bud yaku koordinatu zamist pershoyi Takozh ekvivalentnim ye oznachennya dobutku na mnozhini klasiv vidnosnoyi gomotopiyi vidobrazhen f Sn X displaystyle f S n to X dlya yakih f s0 x0 displaystyle f s 0 x 0 yake ye dane u statti H prostir dlya asociativnih H prostoriv iz obernenimi elementami tobto f g f g m displaystyle f g nabla f vee g m Dijsno kolo S1 displaystyle S 1 ye asociativnim H prostorom iz obernenimi elementami tomu takim ye i sfera S2 displaystyle S 2 oskilki redukovana nadbudova asociativnogo H prostoru iz obernenimi elementami tezh ye takim prostorom a S2 displaystyle S 2 ye gomeomorfnoyu redukovanij nadbudovi S1 displaystyle S 1 Dali oskilki kozhna gipersfera Sn displaystyle S n ye gomeomorfnoyu redukovanij nadbudovi Sn 1 displaystyle S n 1 to za indukciyeyu vsi Sn displaystyle S n ye asociativnimi H prostorami iz obernenimi elementami i dlya nih maye zmist vvedene oznachennya Usi ci oznachennya zadayut yedinij dobutok na mnozhini klasiv vidnosnoyi gomotopiyi Legko pereviriti sho f g displaystyle f g zalezhit tilki vid klasu gomotopiyi f displaystyle f i g displaystyle g Cej dobutok zadovolnyaye vsim aksiomam grupi U vipadku n 1 displaystyle n 1 oderzhuyetsya kompoziciya zamknutih shlyahiv otzhe p1 X x0 displaystyle pi 1 X x 0 ye fundamentalnoyu grupoyu Pri n gt 1 pn X x0 displaystyle pi n X x 0 nazivayutsya vishimi gomotopichnimi grupami Okrim togo chasto p0 X x0 displaystyle pi 0 X x 0 poznachayetsya mnozhina klasiv gomotopiyi vidobrazhen f S0 X displaystyle f colon S 0 to X tobto vidobrazhen iz dvohelementnoyi mnozhini u X Mnozhina p0 X x0 displaystyle pi 0 X x 0 ye rivnoyu mnozhini linijnih komponent zv yaznosti prostoru X Na nij zagalom ne isnuye zmistovnoyi grupovoyi strukturi tomu p0 X x0 displaystyle pi 0 X x 0 ne rozglyadayetsya yak gomotopichna grupa ale vona maye deyaki spilni vlastivosti iz gomotopichnimi grupami Neperervnomu vidobrazhennyu prostoriv iz vidilenimi tochkami F X x0 Y y0 displaystyle F colon X x 0 to Y y 0 vidpovidaye gomomorfizm F pn X x0 pn Y y0 displaystyle F colon pi n X x 0 to pi n Y y 0 prichomu ce vidpovidnist ye funktorialnoyu tobto kompoziciyi neperervnih vidobrazhen vidpovidaye dobutok gomomorfizmiv gomotopichnih grup FG F G displaystyle FG F G a totozhnomu vidobrazhennyu vidpovidaye totozhnij gomomorfizm id id displaystyle id id Yaksho vidobrazhennya F displaystyle F ye gomotopnim G displaystyle G to F G displaystyle F G Zalezhnist vid pochatkovoyi tochkiNa vidminu vid gomologichnih grup Hn X displaystyle H n X u viznachenni gomotopichnih grup pn X x0 displaystyle pi n X x 0 vazhlivoyu ye vidilena tochka x0 displaystyle x 0 Nehaj x0 displaystyle x 0 i x1 displaystyle x 1 ye dvoma tochkami sho nalezhat odnij komponenti linijnoyi zv yaznosti prostoru X displaystyle X i g displaystyle gamma ye shlyahom mizh cimi dvoma tochkami Todi cej shlyah porodzhuye gomomorfizmi g pn X x0 pn X x1 displaystyle gamma colon pi n X x 0 to pi n X x 1 iz takimi vlastivostyami Yaksho dva shlyahi g displaystyle gamma i d displaystyle delta ye gomotopnimi vidnosno 0 i 1 to yak gomomorfizmi g d displaystyle gamma delta Yaksho poznachiti ix0 displaystyle i x 0 totozhnij shlyah tobto ix0 t x0 displaystyle i x 0 t x 0 0 t 1 displaystyle 0 leqslant t leqslant 1 todi ix0 displaystyle i x 0 ye totozhnim gomomorfizmom Yaksho x2 displaystyle x 2 ye she odniyeyu tochkoyu u tij zhe komponenti zv yaznosti i b displaystyle beta ye shlyahom vid x1 displaystyle x 1 do x2 displaystyle x 2 a g b displaystyle gamma cdot beta poznachaye dobutok shlyahiv yakij ye shlyahom vid x0 displaystyle x 0 do x2 displaystyle x 2 to g b b g displaystyle gamma cdot beta beta circ gamma Yaksho F X Y displaystyle F colon X to Y ye neperervnim vidobrazhennyam prostoriv dlya yakogo F x0 y0 displaystyle F x 0 y 0 F x1 y1 displaystyle F x 1 y 1 i F displaystyle F poznachaye porodzheni gomomorfizmi gomotopichnih grup u vidpovidnih vidilenih tochkah to F g F g F displaystyle F circ gamma F circ gamma circ F yak gomomorfizmi iz pn X x0 displaystyle pi n X x 0 u pn Y y0 displaystyle pi n Y y 0 Zokrema yaksho x0 x1 displaystyle x 0 x 1 to petli iz bazovoyu tochkoyu x0 displaystyle x 0 porodzhuyut avtomorfizmi na grupah pn X x0 displaystyle pi n X x 0 tobto p1 X x0 displaystyle pi 1 X x 0 ye grupoyu avtomorfizmiv dlya vsih gomotopichnih grup Vazhlivimi ye vipadki koli vsi taki avtomorfizmi dlya pn X x0 displaystyle pi n X x 0 ye totozhnimi Inodi prostir dlya yakogo ce vikonuyetsya dlya vsih tochok nazivayetsya n displaystyle n prostim U takomu prostori vsi grupi pn X x0 displaystyle pi n X x 0 nezalezhno vid vidilenoyi tochki ye izomorfnimi Dlya linijno zv yazanogo prostoru umovu dostatno pereviriti lishe dlya odniyeyi vidilenoyi tochki Okrim togo dlya linijno zv yazanogo n displaystyle n prostogo prostoru elementi grupi pn X x0 displaystyle pi n X x 0 ye u biyektivnij vidpovidnosti iz klasami gomotopiyi ne vidnosno vidilenih tochok vidobrazhen f Sn X displaystyle f colon S n to X Prikladami linijno zv yazanih prostoriv sho ye n displaystyle n prostimi ye odnozv yazni prostori i linijno zv yazani H prostori ne obov yazkovo asociativni chi z obernenimi elementami Vidpovidno dlya takih prostoriv vsi gomotopichni grupi dlya riznih vidilenih tochok ye izomorfnimi VlastivostiTodi yak fundamentalna grupa p1 X x0 displaystyle pi 1 X x 0 v zagalnomu vipadku ye neabelevoyu dlya vsih n gt 1 displaystyle n gt 1 grupi pn X x0 displaystyle pi n X x 0 ye abelevimi tobto f g g f displaystyle f g g f Yaksho p X x 0 X x0 displaystyle p colon tilde X tilde x 0 to X x 0 ye proyekciyeyu iz nakrittya prostoru to porodzhenij gomomorfizm gomotopichnih grup p pn X x 0 p X x0 displaystyle p colon pi n tilde X tilde x 0 to pi X x 0 ye izomorfizmom dlya vsih n 2 displaystyle n geqslant 2 Dlya n 1 displaystyle n geqslant 1 dlya tenzornih dobutkiv vikonuyetsya rivnist pn X Y pn X pn Y displaystyle pi n X times Y cong pi n X oplus pi n Y Dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 dlya buketu prostoriv vikonuyetsya rivnist pn X Y pn X pn Y pn 1 X Y X Y displaystyle pi n X wedge Y cong pi n X oplus pi n Y oplus pi n 1 X times Y X wedge Y de v ostannomu dobutku ye vidnosna gomotopichna grupa Teorema Gurevicha Dlya bud yakogo linijno zv yazanogo topologichnogo prostoru X i dodatnogo chisla n displaystyle n isnuye gomomorfizm grup h pn X Hn X displaystyle h colon pi n X to H n X yakij dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 u vipadku yaksho pi X 0 1 i n 1 displaystyle pi i X cong 0 quad 1 leq i leq n 1 ye izomorfizmom PrikladiDlya 0 lt k lt n displaystyle 0 lt k lt n gomotopichni grupi pk Sn 0 displaystyle pi k S n 0 dlya k n displaystyle k n natomist pn Sn Z displaystyle pi n S n cong mathbb Z Dlya gomotopichnih grup iz k gt n displaystyle k gt n usi pk Sn displaystyle pi k S n ye skinchennimi grupami za vinyatkom grup vidu p4k 1 S2k displaystyle pi 4k 1 S 2k yaki ye pryamimi sumami Z displaystyle mathbb Z i skinchennih grup Takozh dlya kozhnogo chisla k displaystyle k isnuye n0 displaystyle n 0 take sho dlya vsih n n0 displaystyle n geqslant n 0 grupi pn k Sn displaystyle pi n k S n ye izomorfnimi Dlya prostoriv X yaki mayut styaguvane universalne nakrittya pn X 0 displaystyle pi n X 0 dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 Napriklad dlya tora Tn displaystyle T n dobutku n kil universalnim nakrittyam ye Rn displaystyle mathbb R n tozh pn Tn 0 displaystyle pi n T n 0 dlya n 2 displaystyle n geqslant 2 Natomist fundamentalna grupa ye vilnoyu abelevoyu grupoyu rangu n displaystyle n Vidnosni gomotopichni grupiOznachennya Vidnosni gomotopichni grupi viznachayutsya dlya prostoru X displaystyle X jogo pidprostoru A X displaystyle A subset X i vidilenoyi tochki x0 A displaystyle x 0 in A Nehaj In Rn displaystyle I n subset mathbb R n odinichnij kub In t1 t2 tn 0 ti 1 displaystyle I n t 1 t 2 ldots t n colon 0 leqslant t i leqslant 1 In displaystyle partial I n granicya cogo kuba a In 1 In displaystyle I n 1 subset partial I n gran kuba yaka viznachayetsya rivnyannyam tn 0 displaystyle t n 0 Mnozhina gomotopichnih klasiv f displaystyle f neperervnih vidobrazhen f In X displaystyle f colon I n to X dlya yakih f In 1 A displaystyle f colon I n 1 to A i na inshih granyah f In Int In 1 x0 displaystyle f colon partial I n setminus operatorname Int I n 1 to x 0 poznachayetsya pn X A x0 displaystyle pi n X A x 0 zokrema In 1 displaystyle I n 1 perehodit v A displaystyle A a In Int In 1 displaystyle partial I n setminus operatorname Int I n 1 v tochku x0 displaystyle x 0 pri vsih vidobrazhennyah i gomotopiyah Pri n 2 displaystyle n geqslant 2 cya mnozhina utvoryuye grupu vidnosnu gomotopichnu grupu poryadku n displaystyle n Dobutok yak i vishe zadayetsya yak f g f g displaystyle f g f g de f g t1 t2 tn f 2t1 t2 tn displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n f 2t 1 t 2 ldots t n yaksho 0 t1 12 displaystyle 0 leqslant t 1 leqslant frac 1 2 f g t1 t2 tn g 2t1 1 t2 tn displaystyle f g t 1 t 2 ldots t n g 2t 1 1 t 2 ldots t n yaksho 12 t1 1 displaystyle frac 1 2 leqslant t 1 leqslant 1 Pri usih gomotopiyah u cih oznachennyah yak i vishe In 1 displaystyle I n 1 perehodit v A displaystyle A a In Int In 1 displaystyle partial I n setminus operatorname Int I n 1 v tochku x0 displaystyle x 0 Ekvivalentno mozhna dati oznachennya iz vikoristannyam usih koordinat okrim tn displaystyle t n Vlastivosti Mozhna dati ekvivalentne oznachennya vidnosnih gomotopichnih grup rozglyanuvshi vidobrazhennya vkladennya i A X displaystyle i colon A to X i jogo prostir shlyahiv vidobrazhennya Li displaystyle L i Cej prostir ye pidprostorom dobutku A LB displaystyle A times LB de a l Li displaystyle a times lambda in L i yaksho l 0 a displaystyle lambda 0 a Tut LB displaystyle LB poznachaye prostir shlyahiv prostoru X displaystyle X tobto jogo elementami ye neperervni vidobrazhennya l I B displaystyle lambda colon I to B dlya yakih l 1 x0 displaystyle lambda 1 x 0 podibno do prostoru petel iz kompaktno vidkritoyu topologiyeyu Vidilenoyu tochkoyu u Li displaystyle L i ye x0 l0 displaystyle x 0 times lambda 0 de l0 displaystyle lambda 0 ye totozhnim vidobrazhennyam iz znachennyam x0 displaystyle x 0 Todi pn X A x0 pn 1 Li x0 l0 displaystyle pi n X A x 0 pi n 1 L i x 0 lambda 0 tobto vidnosna gomotopichna grupa ye izomorfnoyu zvichajnij gomotopichnij grupi vidpovidnogo prostoru shlyahiv vidobrazhennya iz poryadkom na odinicyu menshim Takozh mozhna rozglyanuti mnozhinu p1 X A x0 p0 Li x0 l0 displaystyle pi 1 X A x 0 pi 0 L i x 0 lambda 0 yaka zagalom ne bude grupoyu Neperervnomu vidobrazhennyu par prostoriv iz vidilenimi tochkami F X A x0 Y B y0 displaystyle F colon X A x 0 to Y B y 0 vidpovidaye gomomorfizm F pn X A x0 pn Y B y0 displaystyle F colon pi n X A x 0 to pi n Y B y 0 prichomu ce vidpovidnist ye funktorialnoyu tobto kompoziciyi neperervnih vidobrazhen vidpovidaye dobutok gomomorfizmiv gomotopichnih grup FG F G displaystyle FG F G a totozhnomu vidobrazhennyu vidpovidaye totozhnij gomomorfizm id id displaystyle id id Yaksho vidobrazhennya F displaystyle F ye gomotopnim do G displaystyle G yak vidobrazhennya par iz vidilenimi tochkami to F G displaystyle F G Yaksho n 3 displaystyle n geqslant 3 to pn X A x0 displaystyle pi n X A x 0 ye abelevoyu grupoyu Tochna gomotopichna poslidovnist Vkladennya i A x0 X x0 displaystyle i colon A x 0 to X x 0 indukuye gomomorfizm i pn A x0 pn X x0 displaystyle i colon pi n A x 0 to pi n X x 0 a vkladennya j X x0 X A x0 displaystyle j colon X x 0 to X A x 0 tut X x0 displaystyle X x 0 slid rozumiti yak X x0 x0 displaystyle X x 0 x 0 indukuye gomomorfizm j pn X x0 pn X A x0 displaystyle j colon pi n X x 0 to pi n X A x 0 Bud yakij element f pn X A x0 displaystyle f in pi n X A x 0 viznachayetsya vidobrazhennyam f displaystyle f yake zokrema perevodit In 1 displaystyle I n 1 v A displaystyle A prichomu na In 1 displaystyle partial I n 1 f totozhno dorivnyuye x0 displaystyle x 0 viznachayuchi element z pn 1 A x0 displaystyle pi n 1 A x 0 Takim chinom mi otrimuyemo vidobrazhennya pn X A x0 pn 1 A x0 displaystyle partial pi n X A x 0 to pi n 1 A x 0 yake ye gomomorfizmom Mi mayemo taku poslidovnist grup i gomomorfizmiv pn A x0 i npn X x0 j npn X A x0 npn 1 A x0 displaystyle dots longrightarrow pi n A x 0 stackrel i n longrightarrow pi n X x 0 stackrel j n longrightarrow pi n X A x 0 stackrel partial n longrightarrow pi n 1 A x 0 longrightarrow dots Cya poslidovnist ye tochnoyu tobto obraz bud yakogo gomomorfizmu zbigayetsya z yadrom nastupnogo gomomorfizmu Zvidsi v razi koli pn X x0 0 displaystyle pi n X x 0 0 dlya vsih n 1 displaystyle n geqslant 1 granichnij gomomorfizm pn 1 X A x0 pn A x0 displaystyle partial colon pi n 1 X A x 0 to pi n A x 0 bude izomorfizmom Div takozhGomotopiya Teorema Gurevicha Fundamentalna grupaLiteraturaHatcher Allen 2002 Algebraic Topology Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 79540 0 arhiv originalu za 20 lyutogo 2012 procitovano 11 veresnya 2020 Section 3 C Maunder Charles Richard Francis 1980 Algebraic topology Cambridge University Press ISBN 9780521231619 Whitehead George W 1978 Elements of Homotopy Theory Graduate Texts in Mathematics t 61 Springer Verlag ISBN 978 0 387 90336 1