H-простір

У математиці, H-простором, або топологічною одиничною магмою називається топологічний простір на якому задане неперервне множення із одиничним елементом. В різних розділах топології можуть використовуватися різні означення H-простору, зокрема в означенні одиничного елемента рівність може бути лише з точністю до гомотопій.

Означення

Топологічний простір X називається H-простором якщо на ньому задано неперервне відображення μ : X × X → X і одиничний елемент e для якого μ(e, x) = μ(x, e) = x для всіх x із X. При розгляді просторів із виділеною точкою одиничний елемент вважається виділеною точкою простору X. Кожна топологічна група є H-простором. Натомість у H-просторах множення може не бути асоціативним і не для всіх елементів можуть існувати обернені.

У теорії гомотопій переважно вимагається лише щоб відображення μ(e, x) і μ(x, e) були гомотопними одиничному відображенню (у цьому випадку e називається гомотопною одиницею). Якщо розглядаєть простори із виділеними точками, то вимагається гомотопію стосовно виділеної точки.

Усі означення вище є еквівалентними, наприклад, для CW комплексів.

У теорії гомотопій асоціативність і обернені елементи розглядаються теж, як правило, із точністю до гомотопії. Тобто H-простір називається асоціативним, якщо відображення ${\displaystyle \mu (\mu \times 1)}$ і ${\displaystyle \mu (1\times \mu )}$ є гомотопними, а відображення ${\displaystyle i:X\to X}$ називається відображенням обернених елементів, якщо ${\displaystyle \mu (1\times i)\Delta _{X}}$ і ${\displaystyle \mu (i\times 1)\Delta _{X}}$ є гомотопними відображеннями.

При таких означеннях H-простір може бути асоціативним і мати усі обернені елементи але не бути топологічною групою. Асоціативні H-простори із оберненими елементами є важливими у теорії гомотопій.

Пов'язаним є означення H'-простору. Топологічний простір X називається H'-простором якщо існує неперервне відображення ${\displaystyle m:X\to X\vee X}$ для якого відображення p₁ m і p₂ m є гомотопними одиничному. Тут p₁ і p₂ є обмеженнями проєкцій із X × X на букет просторів ${\displaystyle X\vee X,}$ що розглядається як підпростір добутку. Цей простір додатково називається асоціативним, якщо ${\displaystyle (m\times 1)m}$ і ${\displaystyle (1\times m)m}$ є гомотопними. Відображення ${\displaystyle i:X\to X}$ називається відображенням обернених елементів, якщо ${\displaystyle \nabla (1\times i)m}$ і ${\displaystyle \nabla (i\times 1)m}$ є гомотопними. Тут також використано позначення відображення ${\displaystyle \nabla :X\vee X\to X,}$ яке задається так: кожна точка простору ${\displaystyle X\vee X}$ належить якійсь із двох копій простору X (виділена точка належить відразу обом із подальшою ідентифікацією). Образом такої точки при дії ${\displaystyle \nabla }$ є відповідна точка простору X.

Приклади

• Кожна топологічна група є H-простором.
• Теорема Адамса стверджує, що S⁰, S¹, S³ і S⁷ є єдиними сферами, що також є H-просторами. У кожному з цих випадків структуру H-простору можна задати розглядаючи відповідний простір як підмножину з нормою 1 множини дійсних, комплексних чисел, кватерніонів або октоніонів і взявши за операцію множення відповідні операції у цих алгебрах. Простори S⁰, S¹, і S³ при цьому є групами Лі. Натомість S⁷ із цим множенням не є групою оскільки множення октоніонів не є асоціативним. На просторі S⁷ не можна задати неперервне множення для якого цей простір був би групою.
• Смеш-добуток ${\displaystyle X\wedge Y}$ є асоціативним H'-простором з оберненими елементами, якщо такі властивості задовольняє хоча б один із просторів X або Y.
• Якщо X є гаусдорфовим простором, а Y — топологічним простором і додатково або X є асоціативним H'-простором з оберненими елементами або X є асоціативним H-простором з оберненими елементами, то простір неперервних відображень із X у Y із компактно-відкритою топологією є асоціативним H-простором з оберненими елементами.
• Оскільки S¹ є асоціативним H-простором і H'-простором з оберненими елементами, то з попередніх властивостей випливає, що (редукована надбудова) ${\displaystyle \Sigma X=S^{1}\wedge X}$ для будь-якого простору є асоціативним H'-простором з оберненими елементами, а простір петель ${\displaystyle \Omega X}$ є для будь-якого простору є асоціативним H-простором з оберненими елементами.

Властивості

• Мультиплікативна структура H-простору додає структуру його гомологічним і когомологічним групам. Наприклад, когомологічне кільце H-простору із скінченнопородженими і вільними гомологічними групами є алгеброю Хопфа. Також на гомологічних групах H-просторів можна ввести добуток Понтрягіна.

• Фундаментальна група H-просторів є комутативною. Справді, нехай X є H-простором з одиницею e і f з g є петлями відносно точки e. Також можна розглянути відображення F: [0,1]×[0,1] → X задане як F(a,b) = f(a)g(b). Тоді F(a,0) = F(a,1) = f(a)e є гомотопною f, і F(0,b) = F(1,b) = eg(b) є гомотопною g. Звідси можна одержати гомотопію між [f][g] і [g][f].

У теорії гомотопій

• Якщо X є топологічним простором, а Y — H-простором, обидва із виділеними точками то на множині класів гомотопії [X, Y] неперервних відображень із збереженням виділених точок із X у Y можна ввести натуральну операцію множення. А саме, якщо f і g є двома такими відображеннями і [f] і [g] — їх класи гомотопій , то можна задати множення як ${\displaystyle [f]\cdot [g]=[\mu (f\times g)\Delta _{X}].}$ Це означення є коректним (не залежить від представників класів гомотопій) і клас гомотопії тотожного відображення, що переводить X у виділену точку простору Y (цей клас гомотопії є виділеною точкою у [X, Y] ) є двостороннім нейтральним елементом для цього множення. Натуральність тут означає, що якщо X' є ще одним топологічним простором із збереженням виділених точок і f: X' → X — неперервне відображення із збереженням виділених точок, то відображення [X, Y] → [X', Y] для якого [g] → [g ∘ f] є гомоморфізмом.
• Навпаки, якщо для топологічного простору із виділеною точкою Y для всіх просторів X можна ввести операцію множення, що буде натуральною, як і вище і для якої клас гомотопії тотожного відображення, що переводить X у виділену точку простору Y завжди буде двосторонньою одиницею, то Y є H-простором. Клас гомотопії множення [μ] = [p₁].[p₂] як елемент [Y × Y, Y], де множники є класами гомотопії проєкцій на перший і другий множник у Y × Y.
• Введений добуток [X, Y] де Y є H-простором буде асоціативним тоді і тільки тоді коли Y буде асоціативним H-простором і [X, Y] буде групою тоді і тільки тоді, коли додатково у Y є відображення обернених елементів.
• Двоїсто, якщо X є H'-простором, а Y — топологічним простором, то на множині класів гомотопії [X, Y] неперервних відображень із збереженням виділених точок із X у Y можна ввести структуру групи за допомогою множення ${\displaystyle [f]\cdot [g]=\nabla (f\vee g)m.}$ Як і вище клас гомотопії тотожного відображення, що переводить X у виділену точку простору Y є двосторонньою одиницею цього відображення і множення є натуральним, тобто будь-яке неперервне відображення f: Y → Y' із збереженням виділених точок породжує гомоморфізм [X, Y] → [X, Y']. Також якщо для простору X для усіх Y можна ввести множення на [X, Y], що буде натуральним і всі відповідні тотожні відображення будуть двосторонніми нейтральними елементами, то X є H'-простором. Множення буде асоціативним, якщо X є асоціативним H'-простором і всі [X, Y] будуть групами якщо додатково на X є відображення обернених елементів. Для відображення m клас гомотопії [m] = [j₁].[j₂] як елемент [X , X × X], де множники є класами гомотопії включень X у букет просторів X × X.

Див. також

• Топологічна група
• Алгебра Хопфа

Примітки

1. Назву H-простір запропонував Жан-Пєр Серр на честь Гайнца Хопфа (див. J. R. Hubbuck. "A Short History of H-spaces", History of topology, 1999, pages 747–755).

Література

• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN , архів оригіналу за 20 лютого 2012, процитовано 27 травня 2020. Section 3.C
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 
• Renzo A. Piccinini (1992), Lectures on Homotopy Theory, North-Holland Mathematics Studies, т. 171, North Holland, ISBN 
• Stasheff, James D. (1963), Homotopy associativity of H-spaces. I, II, Transactions of the American Mathematical Society, 108: 275—292, 293—312, doi:10.2307/1993609, MR 0158400 {{}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= ().
• Stasheff, James D. (2006), H-spaces from a Homotopy Point of View, Berlin: Springer.
• Whitehead, George W. (1978), Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics, т. 61, Springer-Verlag, ISBN