Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.
Означення
Нехай є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай
є простором усіх неперервних функцій
, із компактно-відкритою топологією. Простором петель
називається підпростір
Еквівалентно можна розглянути одиничне коло із деякою виділеною точкою
і тоді задати
Елементами простору є замкнуті контури
із початковою та кінцевою точкою
.
Простір петель є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю
для всіх
.
Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із
у
із компактно-відкритою топологією.
Простір петель як функтор
Якщо і
є топологічними просторами із виділеними точками і
є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель
.
Якщо є третім топологічним простором із виділеною точкою і
є неперервним відображенням то
.
Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.
Гомотопії та фундаментальні групи
Гомотопією між двома петлями називається неперервне відображення
, для якого
для всіх
для всіх
для всіх
Можна уявити, що петлі і
за допомогою відображення
постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі
також є петлями з виділеною точкою
. Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.
Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на позначається
. Клас еквівалентності петлі
позначається
і називається класом гомотопії.
Якщо задано дві петлі , для них можна дати означення добутку
, як петлі, яка спочатку пробігає петлю
, а потім
. Точніше
.
Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині класів гомотопії:
. Разом із цим добутком
є групою, яка називається фундаментальною групою для
Нейтральним елементом цієї групи є
, клас гомотопії постійної петлі.
Зв'язок із редукованою надбудовою
За означенням (редукована надбудова) топологічного простору із виділеною точкою
є фактор-простором
.
Нехай позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору
є виділеною точкою у
. Якщо
є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення
одержується неперервне відображення
і також неперервне відображення
.
Оскільки образами і
при відображенні
є виділена точка у
і
є відображенням просторів із виділеною точкою, то
, тобто
є елементом простору петель
.
Таким чином існує бієктивне відображення
.
у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори і
є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.
Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором .
Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій і
можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.
Важливим частковим випадком є коли тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням
є гомотопічною групою
, а редукована надбудова
є гомеоморфною гіперсфері
. Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою
ізоморфізм:
.
Примітки
- Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), , Розділ 4.4: Loop Space
Див. також
Література
- Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN
- Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008),
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Prostir petel konstrukciya u topologiyi osoblivo vazhliva u teoriyi gomotopiyi OznachennyaNehaj X x 0 displaystyle X x 0 ye topologichnim prostorom iz vidilenoyu tochkoyu Nehaj C 0 1 X displaystyle C 0 1 X ye prostorom usih neperervnih funkcij w 0 1 X displaystyle w 0 1 rightarrow X iz kompaktno vidkritoyu topologiyeyu Prostorom petel X x 0 displaystyle X x 0 nazivayetsya pidprostir W X x 0 w C 0 1 X w 0 w 1 x 0 displaystyle Omega X x 0 w in C 0 1 X mid w 0 w 1 x 0 z topologiyeyu pidprostoru Ekvivalentno mozhna rozglyanuti odinichne kolo S 1 displaystyle S 1 iz deyakoyu vidilenoyu tochkoyu s 0 displaystyle s 0 i todi zadati W X x 0 w C S 1 X w s 0 x 0 displaystyle Omega X x 0 w in C S 1 X mid w s 0 x 0 Elementami prostoru W X x 0 displaystyle Omega X x 0 ye zamknuti konturi w displaystyle w iz pochatkovoyu ta kincevoyu tochkoyu x 0 displaystyle x 0 Prostir petel W X x 0 displaystyle Omega X x 0 ye topologichnim prostorom iz vidilenoyu tochkoyu za yaku mozhna vzyati petlyu k S 1 X k t x 0 displaystyle k S 1 rightarrow X k t x 0 dlya vsih t S 1 displaystyle t in S 1 Inodi takozh rozglyadayetsya vilnij prostir petel yakij ye analogom dlya prostoriv bez vidilenoyi tochki Takij prostir chasto poznachayetsya L X displaystyle mathcal L X i za oznachennyam ye mnozhinoyu usih neperervnih vidobrazhen iz S 1 displaystyle S 1 u X displaystyle X iz kompaktno vidkritoyu topologiyeyu Prostir petel yak funktorYaksho X x 0 displaystyle X x 0 i Y y 0 displaystyle Y y 0 ye topologichnimi prostorami iz vidilenimi tochkami i f X x 0 Y y 0 displaystyle f X x 0 rightarrow Y y 0 ye neperervnim vidobrazhennyam vono porodzhuye neperervne vidobrazhennya mizh prostorami petel W f W X x 0 W Y y 0 w f w displaystyle Omega f Omega X x 0 rightarrow Omega Y y 0 w mapsto f circ w Yaksho Z z 0 displaystyle Z z 0 ye tretim topologichnim prostorom iz vidilenoyu tochkoyu i g Y y 0 Z z 0 displaystyle g Y y 0 rightarrow Z z 0 ye neperervnim vidobrazhennyam to W g f W g W f displaystyle Omega g circ f Omega g circ Omega f Takim chinom oderzhuyetsya funktor na kategoriyi topologichnih prostoriv iz vidilenoyu tochkoyu Gomotopiyi ta fundamentalni grupiGomotopiyeyu mizh dvoma petlyami v w W X x 0 displaystyle v w in Omega X x 0 nazivayetsya neperervne vidobrazhennya H 0 1 0 1 X displaystyle H 0 1 times 0 1 rightarrow X dlya yakogo H s 0 v s displaystyle H s 0 v s dlya vsih s 0 1 displaystyle s in 0 1 H s 1 w s displaystyle H s 1 w s dlya vsih s 0 1 displaystyle s in 0 1 H 0 t H 1 t x 0 displaystyle H 0 t H 1 t x 0 dlya vsih t 0 1 displaystyle t in 0 1 Mozhna uyaviti sho petli v H 0 displaystyle v H cdot 0 i w H 1 displaystyle w H cdot 1 za dopomogoyu vidobrazhennya H t displaystyle H cdot t postijno deformuyutsya odna v inshu Ostannya z vishezaznachenih umov zabezpechuye sho vsi H t displaystyle H cdot t takozh ye petlyami z vidilenoyu tochkoyu x 0 displaystyle x 0 Taki gomotopiyi yaki fiksuyut vidilenu tochku topologichnogo prostoru nazivayutsya takozh tochkovimi gomotopiyami Gomotopiya mizh petlyami vidnoshennya ekvivalentnosti mnozhina klasiv ekvivalentnosti na W X x 0 displaystyle Omega X x 0 poznachayetsya p 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 Klas ekvivalentnosti petli w displaystyle w poznachayetsya w displaystyle w i nazivayetsya klasom gomotopiyi Yaksho zadano dvi petli v w W X x 0 displaystyle v w in Omega X x 0 dlya nih mozhna dati oznachennya dobutku v w displaystyle v w yak petli yaka spochatku probigaye petlyu v displaystyle v a potim w displaystyle w Tochnishe v w t v 2 t t 0 1 2 w 2 t 1 t 1 2 1 displaystyle v w t begin cases v 2t amp t in 0 textstyle frac 1 2 w 2t 1 amp t in textstyle frac 1 2 1 end cases Cej dobutok sumisnij z gomotopiyeyu petel indukuye dobutok na mnozhini p 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 klasiv gomotopiyi v w v w displaystyle v w v w Razom iz cim dobutkom p 1 X x 0 displaystyle pi 1 X x 0 ye grupoyu yaka nazivayetsya fundamentalnoyu grupoyu dlya X x 0 displaystyle X x 0 Nejtralnim elementom ciyeyi grupi ye k displaystyle k klas gomotopiyi postijnoyi petli Zv yazok iz redukovanoyu nadbudovoyuZa oznachennyam redukovana nadbudova S X x 0 displaystyle Sigma X x 0 topologichnogo prostoru iz vidilenoyu tochkoyu X x 0 displaystyle X x 0 ye faktor prostorom S X x 0 X 0 1 X 0 X 1 x 0 0 1 displaystyle Sigma X x 0 X times 0 1 X times 0 cup X times 1 cup x 0 times 0 1 Nehaj q X 0 1 S X x 0 displaystyle q X times 0 1 rightarrow Sigma X x 0 poznachaye vidobrazhennya na faktor prostir i obraz pidprostoru X 0 X 1 x 0 0 1 displaystyle X times 0 cup X times 1 cup x 0 times 0 1 ye vidilenoyu tochkoyu u S X x 0 displaystyle Sigma X x 0 Yaksho Y y 0 displaystyle Y y 0 ye she odnim topologichnim prostorom iz vidilenoyu tochkoyu to dlya neperervnogo vidobrazhennya f S X x 0 Y y 0 displaystyle f Sigma X x 0 rightarrow Y y 0 oderzhuyetsya neperervne vidobrazhennya f q X 0 1 Y displaystyle f circ q X times 0 1 rightarrow Y i takozh neperervne vidobrazhennya f X x 0 W Y y 0 f x t f q x t x X t 0 1 displaystyle tilde f X x 0 rightarrow Omega Y y 0 tilde f x t f circ q x t quad x in X t in 0 1 Oskilki obrazami x 0 displaystyle x 0 i x 1 displaystyle x 1 pri vidobrazhenni q displaystyle q ye vidilena tochka u S X x 0 displaystyle Sigma X x 0 i f displaystyle f ye vidobrazhennyam prostoriv iz vidilenoyu tochkoyu to f q x 0 f q x 1 y 0 displaystyle f circ q x 0 f circ q x 1 y 0 tobto f x displaystyle tilde f x ye elementom prostoru petel W Y y 0 displaystyle Omega Y y 0 Takim chinom isnuye biyektivne vidobrazhennya C S X x 0 Y y 0 C X x 0 W Y y 0 f f displaystyle C Sigma X x 0 Y y 0 rightarrow C X x 0 Omega Y y 0 f mapsto tilde f u kategoriyi topologichnih prostoriv iz vidilenoyu tochkoyu ce vidobrazhennya ye sumisnim iz tochkovimi gomotopiyami i tomu indukuye biyekciyu mizh mnozhinami klasiv gomotopiyi U comu sensi funktori W displaystyle Omega i S displaystyle Sigma ye spryazhenimi Cej zv yazok mizh funktorami prostoru petel i redukovanoyi nadbudovi chasto nazivayut dvoyististyu Ekmana Hiltona Analogichno funktor vilnogo prostoru petel ye pravim spryazhenim do funktora dobutku topologichnogo prostoru iz prostorom S 1 displaystyle S 1 Dodatkovo takozh oskilki redukovana nadbudova zavzhdi ye asociativnim H prostorom iz obernenimi elementami v sensi gomotopiyi a prostir petel ye asociativnim H prostorom iz obernenimi elementami v sensi gomotopiyi to na klasah gomotopij S X x 0 Y y 0 displaystyle left Sigma X x 0 Y y 0 right i X x 0 W Y y 0 displaystyle X x 0 Omega Y y 0 mozhna zadati standartni grupovi strukturi i todi porodzhena biyekciya mizh cimi mnozhinami takozh ye izomorfizmom grup Vazhlivim chastkovim vipadkom ye koli X x 0 S n s 0 displaystyle X x 0 S n s 0 tobto ye n gipersferoyu iz vidilenoyu tochkoyu Todi za oznachennyam S X x 0 Y y 0 displaystyle left Sigma X x 0 Y y 0 right ye gomotopichnoyu grupoyu p n Y y 0 displaystyle pi n Y y 0 a redukovana nadbudova S S n s 0 displaystyle Sigma S n s 0 ye gomeomorfnoyu gipersferi S n 1 s 0 displaystyle S n 1 s 0 Tomu iz poperednogo viplivaye dlya bud yakogo prostoru iz vidilenoyu tochkoyu Y y 0 displaystyle Y y 0 izomorfizm p n Y y 0 p n 1 W Y y 0 displaystyle pi n Y y 0 simeq pi n 1 Omega Y y 0 PrimitkiTammo tom Dieck Algebraic Topology European Mathematical Society 2008 ISBN 978 3 03719 048 7 Rozdil 4 4 Loop SpaceDiv takozhKompaktno vidkrita topologiya Nadbudova topologiya Smesh dobutok Fundamentalna grupa Petlya topologiya LiteraturaMaunder Charles Richard Francis 1980 Algebraic topology Cambridge University Press ISBN 9780521231619 Tammo tom Dieck Algebraic Topology European Mathematical Society 2008 ISBN 978 3 03719 048 7