Одиничне коло

Одиничне коло — це коло з радіусом 1 та центром в початку координат. Поняття одиничного кола можна легко узагальнити до n-вимірного простору (${\displaystyle n>2}$). У такому випадку використовується термін «Одинична сфера».

Для координат всіх точок на колі, за теоремою Піфагора, виконується рівність ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Не плутайте терміни «коло» і «круг»!

• Коло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається «центром кола», є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.
• Круг — геометрична фігура обмежена колом. Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центр круга) не перевищує заданої відстані (радіуса). Коло є межею круга.

Одиничне коло є основою в принципі роботи координатного транспортиру.

Тригонометричні функції

Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Синус та косинус можуть бути описані наступним чином: об'єднавши будь-яку точку ${\displaystyle (x,y)}$ на одиничному колі з початком координат ${\displaystyle (0,0)}$, ми отримаємо відрізок, що знаходиться під кутом ${\displaystyle \alpha }$ відносно додатного напрямку осі абсцис. Тоді:

Косинусом кута називається відношення абсциси точки ${\displaystyle P_{\alpha }(x;y)}$ кола до його радіуса:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x}{R}}={\frac {x}{1}}=x}$

Синусом кута називається відношення ординати точки ${\displaystyle P_{\alpha }(x;y)}$ кола до його радіуса:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y}{R}}={\frac {y}{1}}=y}$

Тангенсом кута називається відношення ординати точки ${\displaystyle P_{\alpha }(x;y)}$ кола до її абсциси:

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {y}{x}}}$

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки ${\displaystyle P_{\alpha }(x;y)}$ кола до її ординати:

${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {x}{y}}}$,

де ${\displaystyle R}$ це радіус одиничного кола.

Підставивши ці значення в раніше наведене рівняння ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, ми отримуємо:

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$

Зверніть увагу на загальновживане написання ${\displaystyle \cos ^{2}x=(\cos x)^{2}}$.

Також тут наочно описується періодичність тригонометричниих функцій, так як кут відрізка не залежить від кількості «повних обертів»:

${\displaystyle \sin(\alpha +2\pi k)=\sin \alpha }$

${\displaystyle \cos(\alpha +2\pi k)=\cos \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha +\pi k)=\operatorname {tg} \alpha }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha +\pi k)=\operatorname {ctg} \alpha }$

для всіх цілих чисел ${\displaystyle k}$, тобто для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$

Нехай точка ${\displaystyle P_{0}}$- правий кінець горизонтального діаметра. Кожному дійсному числу ${\displaystyle \alpha }$ можна поставити у відповідність точку кола ${\displaystyle P_{\alpha }}$ одиничного кола за такими правилами:

1. Якщо ${\displaystyle \alpha >0}$ , то, рухаючись по колу із точки ${\displaystyle P_{0}}$ в напрямі проти годинникової стрілки (додатній напрям обходу кола), описати по колу слід довжину ${\displaystyle \alpha }$ , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою ${\displaystyle P_{\alpha }}$.
2. Якщо ${\displaystyle \alpha <0}$ , то, рухаючись по колу із точки ${\displaystyle P_{0}}$ в напрямі за годинниковою стрілкою, описати по колу слід довжину ${\displaystyle \left\vert \alpha \right\vert }$ , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою ${\displaystyle P_{\alpha }}$.
3. Якщо ${\displaystyle \alpha =0}$ , то, то у відповідність ставиться точка ${\displaystyle P_{0}}$.
4. Якщо ${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}+2\pi k}$, де ${\displaystyle k}$ - ціле число, то при повороті на кут ${\displaystyle \alpha }$ одержають одну й ту ж точку, що й при повороті на кут ${\displaystyle \alpha _{0}}$.
5. Якщо точка ${\displaystyle P}$ відповідає числу ${\displaystyle \alpha }$, то вона і відповідає всім числам ${\displaystyle \alpha =\alpha +2\pi k}$, де${\displaystyle 2\pi }$ - довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а ${\displaystyle k}$ - ціле число, що показує кількість повних обертів по колу в ту чи іншу сторону.

Комплексна площина

В комплексній площині одиничне коло — це множина ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$:

${\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}$

Множина ${\displaystyle G}$ є підгрупою групи комплексних чисел по множенню, її нейтральним елементом є ${\displaystyle e^{i0}=1}$).

Посилання

Одиничне коло в тригонометрії: основи та застосування.