Геометри́чне мі́сце то́чок (ГМТ) — мовне означення в математиці, вживане для визначення геометричної фігури як множини точок, що володіють деякою властивістю.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlUxTDB4dlkzVnpYME4xY25abExuTjJaeTh6TURCd2VDMU1iMk4xYzE5RGRYSjJaUzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Історія та філософія
До початку 20-го сторіччя геометричну форму (наприклад, криву) не розглядали як нескінчену множину точок; скоріше її розглядали як об'єкт, на якому може бути розташована точка, або на якому ця точка переміщується. Таким чином коло в Евклідовій площині було визначене як геометричне місце точки, яка знаходиться на заданій відстані фіксованої точки, центрі кола. У сучасній математиці подібні поняття частіш повторно формулюються в описанні форми як наборів; наприклад, хтось говорить, що коло — множина точок, які знаходяться на заданій відстані від центра. На відміну від теоретико — множинного уявлення, старе формулювання уникає розглядання нескінченних наборів, оскільки уникання фактичної нескінченності було важливим філософським положенням більш ранніх математиків.
Як тільки теорія множин стала універсальним фундаментом, на якому була збудована ціла математика, термін геометричного місця точок став досить старомодним. Проте, слово все ще широко використовується, в основному для короткого формулювання, наприклад:
- Критичне місце точок, набір критичних точок для функції, що диференціюється
- Виключне місце точок, набір особливих точок алгебраїчного многовиду
- [en], підмножина набору параметра сімейства раціональних функцій, для яких підключена множина функцій Жюліа.
В останній час методи, такі як теорія схем і використання теорії категорії замість теорії множин, для надання основ математики, повернулися до понять більш схожих на оригінальне визначення геометричного місця точок, як самого по собі, ніж як множини точок.
Формальне визначення
У загальному випадку, геометричне місце точок формулюється предикатом, аргументом якого є точка даного лінійного простору. Параметри предиката можуть носити різний тип. Предикат називається детермінантою геометричного місця точок. Параметри предиката називаються диференціалами геометричного місця точок (не плутати з диференціалом в аналізі).
Роль диференціалів полягає у введенні видових відмінностей у фігуру. Кількість диференціалів може бути будь-якою; диференціалів може й зовсім не бути.
Якщо задані детермінант , де
— точка,
— диференціали, то шукану фігуру
задають у вигляді: «
— геометричне місце точок
, таких, що
». Далі звичайно вказується роль диференціалів, їм даються назви щодо даної конкретної фігури. Під власне фігурою розуміють сукупність (множину) точок
, для яких для кожного конкретного набору значень
висловлювання
перетворюється в тотожність. Кожен конкретний набір значень диференціалів визначає окрему фігуру, кожну з яких і всіх їх у сукупності іменують назвою фігури, яка задається через геометричне місце точок.
У словесному формулюванні предикативне висловлювання озвучують літературно, тобто із залученням різного роду зворотів з метою милозвучності. Іноді, у випадку простих детермінантів, взагалі обходяться без буквених позначень.
Приклад: параболу задамо як множину всіх таких точок , що відстань від
до точки
дорівнює відстані від
до прямої
. Тоді диференціали параболи —
і
; детермінант — предикат
, де
— відстань між двома точками (метрика),
— відстань від точки до прямої. І кажуть: «Парабола — геометричне місце точок
, рівновіддалених від точки
і прямої
. Точку
називають фокусом параболи, а пряму
— директрисою».
Приклади на геометричній площині
Приклади на геометричній площині включають:
- Множина точок, рівновіддалена від двох точок, є серединним перпендикуляром до відрізку, що з'єднує дві точки.
- Множина точок, рівновіддалена від двох прямих, що перетинаються — бісектриса.
- Парабола: множина точок, рівновіддалене від єдиної точки (фокус) і прямої (директриса).
- Коло: множина точок, для якого відстань від єдиної точки постійна (радіус). Множина точок, для кожної з яких відношення відстаней до двох даних фокусів — додатня константа (яка не дорівнює 1) згадується як [en].
- Гіпербола: множина точок, для кожної з яких абсолютна величина різниці між відстанями до двох даними фокусів — константа.
- Еліпс: множина точок, для кожної з яких сума відстаней до двох даних фокусів — константа. Коло — особливий випадок, в якому ці два фокуси збігаються один з одним.
Інші приклади ГМТ з'являються в різноманітних галузях математики. Наприклад, у [en], множина Мандельброта є підмножиною комплексної площини, яка може бути охарактеризована як місце точок зв'язності сімейства поліномних карт.
Доведення ГМТ
Щоб довести що геометрична фігура — правильне ГМТ для даного набору умов, зазвичай ділять доказ на два етапи:
- Довести, що всі точки, які задовольняють умови, знаходяться на даній фігурі.
- Довести, що всі точки на цій фігурі задовольняють умови.
Приклади
Перший приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemRqTDB4dlkzVnpYMkZ3YjJ4c2IyNXBkWE11YzNabkx6SXlNSEI0TFV4dlkzVnpYMkZ3YjJ4c2IyNXBkWE11YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Знаходимо ГМТ точок P, які мають задане відношення відстаней k = d1/d2 для двох заданих точок.
У цьому прикладі обрано за фіксовані точки k= 3, A(-1,0) and B(0,2).
- P(x, y) це точка ГМТ
Це рівняння представляє коло з центром (1/8, 9/4) та радіусом . Це — [en] визначене значеннями k, A, B.
Другий приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5oTDB4dlkzVnpNMkV1YzNabkx6SXlNSEI0TFV4dlkzVnpNMkV1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
У трикутника ABC є фіксована сторона [AB] з довжиною c. Ми визначаємо ГМТ третьої вершини C таким чином, що медіани від A і C ортогональні.
Ми обираємо ортонормовану систему координат, таким чином що A (-c / 2,0), B (c / 2,0). C (x, y) — змінна третя вершина. Центр [BC] є M ((2x + c) / 4, y / 2). У медіани від C має нахил y / x. Медіана AM має нахил 2y / (2x + 3c).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemhoTDB4dlkzVnpNeTV6ZG1jdk1qSXdjSGd0VEc5amRYTXpMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
- C(x, y) — точка ГМТ
Медіани A та C ортогональні
Третій приклад
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekV6TDBkbFlYTnpiMk5wWldWeVpHVmZjbVZqYUhSbGJpNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RSMlZoYzNOdlkybGxaWEprWlY5eVpXTm9kR1Z1TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
ГМТ може також бути визначено двома пов'язаними кривими в залежності від одного загального параметра. Якщо параметр вар'юється, точки перетину пов'язаних кривих описують ГМТ.
У фігурі, точки K і L — фіксовані точки на даній прямій m. Пряма k є рухомою прямою, яка проходить через K. Пряма l проходить через L перпендикулярно прямій k. Кут між k і m є параметром. K і l — пов'язані прямі в залежності від спільного параметра. Точка S — точка перетину k і l описує коло. Це коло — ГМТ точки перетину двох пов'язаних прямих.
Четвертий приклад
ГМТ точок не повинне бути одновимірним (як коло, пряма тощо). Наприклад, ГМТ нерівності є частиною площини, яка під прямою
.
Див. також
Посилання
- Cooke, Roger L. (2012), 38.3 Topology, (вид. 3rd), John Wiley & Sons, ISBN , архів оригіналу за 12 серпня 2020, процитовано 28 березня 2016,
The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints, although, since the introduction of set theory, a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection.
- (2013), , переклад: J. Meldrum, Springer, с. 26, ISBN , архів оригіналу за 12 серпня 2020, процитовано 28 березня 2016,
the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the 'actual infinity'
. - Borovik, Alexandre (2010), 6.2.4 Can one live without actual infinity?, , American Mathematical Society, с. 124, ISBN , архів оригіналу за 29 липня 2020, процитовано 28 березня 2016.
- Mayberry, John P. (2000), , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, т. 82, Cambridge University Press, с. 7, ISBN , архів оригіналу за 29 липня 2020, процитовано 28 березня 2016,
set theory provides the foundations for all mathematics
. - Ledermann, Walter; Vajda, S. (1985), Combinatorics and Geometry, Part 1, Handbook of Applicable Mathematics, т. 5, Wiley, с. 32, ISBN ,
We begin by explaining a slightly old-fashioned term
. - George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975
- G.P. West, The new geometry: form 1
- James, Robert Clarke; James, Glenn (1992), , Springer, с. 255, ISBN , архів оригіналу за 29 липня 2020, процитовано 28 березня 2016
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Geometri chne mi sce to chok GMT movne oznachennya v matematici vzhivane dlya viznachennya geometrichnoyi figuri yak mnozhini tochok sho volodiyut deyakoyu vlastivistyu Kozhna kriva na comu malyunku ye geometrichnim miscem tochok sho viznachayutsya yak konhoyidoyu tochki P i pryamoyi l V comu prikladi P znahoditsya v 8 sm vid l Istoriya ta filosofiyaDo pochatku 20 go storichchya geometrichnu formu napriklad krivu ne rozglyadali yak neskinchenu mnozhinu tochok skorishe yiyi rozglyadali yak ob yekt na yakomu mozhe buti roztashovana tochka abo na yakomu cya tochka peremishuyetsya Takim chinom kolo v Evklidovij ploshini bulo viznachene yak geometrichne misce tochki yaka znahoditsya na zadanij vidstani fiksovanoyi tochki centri kola U suchasnij matematici podibni ponyattya chastish povtorno formulyuyutsya v opisanni formi yak naboriv napriklad htos govorit sho kolo mnozhina tochok yaki znahodyatsya na zadanij vidstani vid centra Na vidminu vid teoretiko mnozhinnogo uyavlennya stare formulyuvannya unikaye rozglyadannya neskinchennih naboriv oskilki unikannya faktichnoyi neskinchennosti bulo vazhlivim filosofskim polozhennyam bilsh rannih matematikiv Yak tilki teoriya mnozhin stala universalnim fundamentom na yakomu bula zbudovana cila matematika termin geometrichnogo miscya tochok stav dosit staromodnim Prote slovo vse she shiroko vikoristovuyetsya v osnovnomu dlya korotkogo formulyuvannya napriklad Kritichne misce tochok nabir kritichnih tochok dlya funkciyi sho diferenciyuyetsya Viklyuchne misce tochok nabir osoblivih tochok algebrayichnogo mnogovidu en pidmnozhina naboru parametra simejstva racionalnih funkcij dlya yakih pidklyuchena mnozhina funkcij Zhyulia V ostannij chas metodi taki yak teoriya shem i vikoristannya teoriyi kategoriyi zamist teoriyi mnozhin dlya nadannya osnov matematiki povernulisya do ponyat bilsh shozhih na originalne viznachennya geometrichnogo miscya tochok yak samogo po sobi nizh yak mnozhini tochok Formalne viznachennyaU zagalnomu vipadku geometrichne misce tochok formulyuyetsya predikatom argumentom yakogo ye tochka danogo linijnogo prostoru Parametri predikata mozhut nositi riznij tip Predikat nazivayetsya determinantoyu geometrichnogo miscya tochok Parametri predikata nazivayutsya diferencialami geometrichnogo miscya tochok ne plutati z diferencialom v analizi Rol diferencialiv polyagaye u vvedenni vidovih vidminnostej u figuru Kilkist diferencialiv mozhe buti bud yakoyu diferencialiv mozhe j zovsim ne buti Yaksho zadani determinant P M a b c displaystyle P M a b c ldots de M displaystyle M tochka a b c displaystyle a b c ldots diferenciali to shukanu figuru A displaystyle A zadayut u viglyadi A displaystyle A geometrichne misce tochok M displaystyle M takih sho P M a b c displaystyle P M a b c ldots Dali zvichajno vkazuyetsya rol diferencialiv yim dayutsya nazvi shodo danoyi konkretnoyi figuri Pid vlasne figuroyu rozumiyut sukupnist mnozhinu tochok M displaystyle M dlya yakih dlya kozhnogo konkretnogo naboru znachen a b c displaystyle a b c ldots vislovlyuvannya P M a b c displaystyle P M a b c ldots peretvoryuyetsya v totozhnist Kozhen konkretnij nabir znachen diferencialiv viznachaye okremu figuru kozhnu z yakih i vsih yih u sukupnosti imenuyut nazvoyu figuri yaka zadayetsya cherez geometrichne misce tochok U slovesnomu formulyuvanni predikativne vislovlyuvannya ozvuchuyut literaturno tobto iz zaluchennyam riznogo rodu zvorotiv z metoyu milozvuchnosti Inodi u vipadku prostih determinantiv vzagali obhodyatsya bez bukvenih poznachen Priklad parabolu zadamo yak mnozhinu vsih takih tochok M displaystyle M sho vidstan vid M displaystyle M do tochki F displaystyle F dorivnyuye vidstani vid M displaystyle M do pryamoyi l displaystyle l Todi diferenciali paraboli F displaystyle F i l displaystyle l determinant predikat P M F l r M F rl M l displaystyle P M F l rho M F rho l M l de r displaystyle rho vidstan mizh dvoma tochkami metrika rl displaystyle rho l vidstan vid tochki do pryamoyi I kazhut Parabola geometrichne misce tochok M displaystyle M rivnoviddalenih vid tochki F displaystyle F i pryamoyi l displaystyle l Tochku F displaystyle F nazivayut fokusom paraboli a pryamu l displaystyle l direktrisoyu Prikladi na geometrichnij ploshiniPrikladi na geometrichnij ploshini vklyuchayut Mnozhina tochok rivnoviddalena vid dvoh tochok ye seredinnim perpendikulyarom do vidrizku sho z yednuye dvi tochki Mnozhina tochok rivnoviddalena vid dvoh pryamih sho peretinayutsya bisektrisa Parabola mnozhina tochok rivnoviddalene vid yedinoyi tochki fokus i pryamoyi direktrisa Kolo mnozhina tochok dlya yakogo vidstan vid yedinoyi tochki postijna radius Mnozhina tochok dlya kozhnoyi z yakih vidnoshennya vidstanej do dvoh danih fokusiv dodatnya konstanta yaka ne dorivnyuye 1 zgaduyetsya yak en Giperbola mnozhina tochok dlya kozhnoyi z yakih absolyutna velichina riznici mizh vidstanyami do dvoh danimi fokusiv konstanta Elips mnozhina tochok dlya kozhnoyi z yakih suma vidstanej do dvoh danih fokusiv konstanta Kolo osoblivij vipadok v yakomu ci dva fokusi zbigayutsya odin z odnim Inshi prikladi GMT z yavlyayutsya v riznomanitnih galuzyah matematiki Napriklad u en mnozhina Mandelbrota ye pidmnozhinoyu kompleksnoyi ploshini yaka mozhe buti oharakterizovana yak misce tochok zv yaznosti simejstva polinomnih kart Dovedennya GMTShob dovesti sho geometrichna figura pravilne GMT dlya danogo naboru umov zazvichaj dilyat dokaz na dva etapi Dovesti sho vsi tochki yaki zadovolnyayut umovi znahodyatsya na danij figuri Dovesti sho vsi tochki na cij figuri zadovolnyayut umovi PrikladiPershij priklad vidstan PA 3 vidstan PB Znahodimo GMT tochok P yaki mayut zadane vidnoshennya vidstanej k d1 d2 dlya dvoh zadanih tochok U comu prikladi obrano za fiksovani tochki k 3 A 1 0 and B 0 2 P x y ce tochka GMT dd PA 3 PB displaystyle Leftrightarrow PA 3 PB PA 2 9 PB 2 displaystyle Leftrightarrow PA 2 9 PB 2 x 1 2 y 0 2 9 x 0 2 9 y 2 2 displaystyle Leftrightarrow x 1 2 y 0 2 9 x 0 2 9 y 2 2 8 x2 y2 2x 36y 35 0 displaystyle Leftrightarrow 8 x 2 y 2 2x 36y 35 0 x 18 2 y 94 2 4564 displaystyle Leftrightarrow left x frac 1 8 right 2 left y frac 9 4 right 2 frac 45 64 Ce rivnyannya predstavlyaye kolo z centrom 1 8 9 4 ta radiusom 385 displaystyle frac 3 8 sqrt 5 Ce en viznachene znachennyami k A B Drugij priklad GMT u tochci C U trikutnika ABC ye fiksovana storona AB z dovzhinoyu c Mi viznachayemo GMT tretoyi vershini C takim chinom sho mediani vid A i C ortogonalni Mi obirayemo ortonormovanu sistemu koordinat takim chinom sho A c 2 0 B c 2 0 C x y zminna tretya vershina Centr BC ye M 2x c 4 y 2 U mediani vid C maye nahil y x Mediana AM maye nahil 2y 2x 3c Geometrichne misce tochok koloC x y tochka GMT dd displaystyle Leftrightarrow Mediani A ta C ortogonalni yx 2y2x 3c 1 displaystyle Leftrightarrow frac y x cdot frac 2y 2x 3c 1 2y2 2x2 3cx 0 displaystyle Leftrightarrow 2y 2 2x 2 3cx 0 x2 y2 3c 2 x 0 displaystyle Leftrightarrow x 2 y 2 3c 2 x 0 x 3c 4 2 y2 9c2 16 displaystyle Leftrightarrow x 3c 4 2 y 2 9c 2 16 Tretij priklad Tochka peretinu zv yazanih linij k and l sho opisuyut kolo GMT mozhe takozh buti viznacheno dvoma pov yazanimi krivimi v zalezhnosti vid odnogo zagalnogo parametra Yaksho parametr var yuyetsya tochki peretinu pov yazanih krivih opisuyut GMT U figuri tochki K i L fiksovani tochki na danij pryamij m Pryama k ye ruhomoyu pryamoyu yaka prohodit cherez K Pryama l prohodit cherez L perpendikulyarno pryamij k Kut a displaystyle alpha mizh k i m ye parametrom K i l pov yazani pryami v zalezhnosti vid spilnogo parametra Tochka S tochka peretinu k i l opisuye kolo Ce kolo GMT tochki peretinu dvoh pov yazanih pryamih Chetvertij priklad GMT tochok ne povinne buti odnovimirnim yak kolo pryama tosho Napriklad GMT nerivnosti 2x 3y 6 lt 0 displaystyle 2x 3y 6 lt 0 ye chastinoyu ploshini yaka pid pryamoyu 2x 3y 6 0 displaystyle 2x 3y 6 0 Div takozhGeometrichnij centr Centr mas ProstirPosilannyaCooke Roger L 2012 38 3 Topology vid 3rd John Wiley amp Sons ISBN 9781118460290 arhiv originalu za 12 serpnya 2020 procitovano 28 bereznya 2016 The word locus is one that we still use today to denote the path followed by a point moving subject to stated constraints although since the introduction of set theory a locus is more often thought of statically as the set of points satisfying a given collection 2013 pereklad J Meldrum Springer s 26 ISBN 9783642616938 arhiv originalu za 12 serpnya 2020 procitovano 28 bereznya 2016 the classical mathematicians carefully avoided introducing into their reasoning the actual infinity Borovik Alexandre 2010 6 2 4 Can one live without actual infinity American Mathematical Society s 124 ISBN 9780821847619 arhiv originalu za 29 lipnya 2020 procitovano 28 bereznya 2016 Mayberry John P 2000 Encyclopedia of Mathematics and its Applications t 82 Cambridge University Press s 7 ISBN 9780521770347 arhiv originalu za 29 lipnya 2020 procitovano 28 bereznya 2016 set theory provides the foundations for all mathematics Ledermann Walter Vajda S 1985 Combinatorics and Geometry Part 1 Handbook of Applicable Mathematics t 5 Wiley s 32 ISBN 9780471900238 We begin by explaining a slightly old fashioned term George E Martin The Foundations of Geometry and the Non Euclidean Plane Springer Verlag 1975 G P West The new geometry form 1 James Robert Clarke James Glenn 1992 Springer s 255 ISBN 978 0 412 99041 0 arhiv originalu za 29 lipnya 2020 procitovano 28 bereznya 2016