В геометрії вершина — особливий вид точки, яка описує кут або перетин геометричних фігур.
Визначення
Як кута
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2ZFdzdmRHaDFiV0l2WXk5alpDOGxSREFsT1RJbFJEQWxRalVsUkRFbE9EQWxSREVsT0RnbFJEQWxRamdsUkRBbFFrUWxSREFsUWpCZkpVUXdKVUpCSlVReEpUZ3pKVVF4SlRneUpVUXdKVUl3TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMwbFJEQWxPVElsUkRBbFFqVWxSREVsT0RBbFJERWxPRGdsUkRBbFFqZ2xSREFsUWtRbFJEQWxRakJmSlVRd0pVSkJKVVF4SlRnekpVUXhKVGd5SlVRd0pVSXdMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
Вершиною кута є точка, з якої два промені або відрізки починаються, в якій зустрічаються або перетинаються (перетин).
Як багатогранника
Вершина — кутова точка багатокутника, багатогранника, або іншого багатовимірного політопа, утвореного перетином ребер або граней об'єкта.
У багатокутника вершина називається «опуклою», якщо багатокутника, тобто кут, утворений двома ребрами при вершині, з багатокутником всередині кута, менше, ніж (π) радіан (180°, два прямих кути); в іншому випадку вершина називається «увігнутою» або «рефлексом». В цілому, вершина багатогранника або політопу опукла, якщо перетин багатогранника або політопу з досить малою сферою з центром у вершині опуклий, та увігнута в протилежному випадку.
Вершини багатогранника пов'язані з вершинами графів так, що 1-кістяк багатогранника є граф, вершини якого відповідають вершинам багатогранника, і тому граф можна розглядати як одновимірний симпліційний комплекс, вершини якого є вершинами графу. Однак у теорії графів вершини можуть мати менше два інцидентних ребра, що, як правило, не дозволено для геометричних вершин. Існує також зв'язок між геометричними вершинами і вершинами кривої, її точок екстремальної кривини: в якомусь сенсі вершини багатокутника є точками нескінченної кривини, і якщо багатокутник наближається до гладкої кривої, вершиною буде точка екстремальної кривини поблизу кожного багатокутника. Однак гладка крива, наближена до багатокутника, буде також мати додаткові вершини в точках, де кривина мінімальна.
Як плоскої плитки
Вершиною плоскої плитки або мозаїки є точка, де три або більше плиток стикаються; в цілому, але не завжди, плитки теселяції є багатокутниками та вершинами мозаїки є також вершини її плиток. В цілому, теселяції можна розглядати як свого роду топологічний клітинний комплекс, так само як грані багатогранника або політопа; вершинами інших видів комплексів, таких як симпліційні комплекси, є його нуль-вимірні грані.
Головна вершина
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkkyTDFCdmJIbG5iMjVmYlc5MWRHaHpYMkZ1WkY5bFlYSnpMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRYjJ4NVoyOXVYMjF2ZFhSb2MxOWhibVJmWldGeWN5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Вершина xi простого багатокутника Р є головною вершиною багатокутника, якщо діагональ [x(i−1),x(i+1)] перетинає границю Р тільки в точках x(i−1) та x(i+1). Існують два типи головних вершин: вухо і рот.
Вухо
Кажуть, що головна вершина xi простого багатокутника P — вухо, якщо діагональ [x(i−1),x(i+1)], що відсікає xi, цілком лежить в P. (див. також опуклий многокутник) (Теорема про два вуха) стверджує, що кожен простий багатокутник має два вуха.
Рот
Кажуть, що головна вершина xi простого багатокутника P — рот, якщо діагональ [x(i−1),x(i+1)] лежить зовні Р.
Кількість вершин багатогранника
Поверхня будь-якого опуклого багатогранника має ейлерову характеристику
де V — число вершин, E — число ребер, і F — число граней. Це рівняння відоме як формула Ейлера для багатогранника. Таким чином, число вершин на дві більше, ніж перевищення кількості ребер над числом граней. Наприклад, куб має 12 ребер, 6 граней і, отже, 8 вершин.
Вершини в комп'ютерній графіці
У комп'ютерній графіці об'єкти часто подаються як триангульовані багатогранники, в яких [en] є пов'язаним не тільки з трьома просторовими координатами, але і з іншою графічною інформацією, необхідною для коректного відображення об'єкта, такою як кольори, властивості відображення, текстури і [en]; ці властивості використовуються при поданні вершинних шейдерів та [en].
Див. також
Посилання
- (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (вид. 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]). New York: Dover Publications.
- (3 vols.): (vol. 1), (vol. 2), (vol. 3). Heath's authoritative translation of Euclid's Elements plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
- Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.
- , Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. (Page 29)
- Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, , (2008). Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. ISBN .
- M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) , Academic Press, 1989.
- ; (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN .
- Meisters, G. H. (1975), Polygons have ears, The American Mathematical Monthly, 82: 648—651, doi:10.2307/2319703, MR 0367792.
- Christen, Martin. . Khronos Group. Архів оригіналу за 12 квітня 2019.
Зовнішні зв'язки
- Weisstein, Eric W. Polygon Vertex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Polyhedron Vertex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Principal Vertex(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет