Промінь (геометрія)

Про́мінь (в геометрії), або півпряма́ — частина прямої, обмежена лише з однієї сторони, тобто промінь є частиною прямої, яка виходить із заданої точки й прямує до нескінченності в даному напрямку.

Проведемо якусь лінію та позначимо на ній точку ${\textstyle A}$. Точка ${\textstyle A}$ поділяє цю лінію на дві частини. Кожна з частин називається променем (або півпрямою), а точка ${\textstyle A}$ називається початковою точкою. Вважається, що точка ${\textstyle A}$ є частиною променя. Промінь складається з точки ${\textstyle A}$ й усіх точок, що знаходяться на цій прямій в одному напрямі до нескінченності. Але щоб використовувати це поняття в доказах, потрібне точніше означення.

Візьмемо відмінні точки ${\textstyle A}$ та ${\textstyle B}$, що визначають певний промінь із початковою точкою ${\textstyle A}$. Цей промінь складається зі всіх точок між ${\textstyle A}$ і ${\textstyle B}$ (включно з ${\textstyle A}$ та ${\textstyle B}$) й усіх точок ${\textstyle C}$ на цій самій лінії таким чином, що ${\textstyle B}$ знаходиться між ${\textstyle A}$ і ${\textstyle C}$. Часом це також виражається як набір всіх точок ${\textstyle C}$ таким чином, що ${\textstyle A}$ не знаходиться між ${\textstyle B}$ і ${\textstyle C}$. Точка ${\textstyle D}$ знаходиться на тій самій лінії, що й ${\textstyle A}$ та ${\textstyle B}$, але не на промені від ${\textstyle A}$ в напрямку ${\textstyle B}$. Таким чином утворюється промінь ${\textstyle AD}$, який називається протилежним до ${\textstyle AB}$.

Промінь

Отже, можна сказати, що ${\textstyle A}$ та ${\textstyle B}$ визначають лінію і її поділ на два диз'юнктні об'єднання відкритого сегменту ${\textstyle A}$, ${\textstyle B}$, на два промені ${\textstyle BC}$ і ${\textstyle AD}$ (точка ${\textstyle D}$ не зображена на діаграмі, але знаходиться зліва від ${\textstyle A}$). Ці два промені вже не є протилежними, оскільки вони мають різні початкові точки.

Визначення променя ґрунтується на понятті проміжності для точок на лінії, а, отже, промені можуть існувати тільки в тих геометріях, де це поняття існує. Вони існують в евклідовій геометрії і афінній геометрії через впорядковане поле. Промені не існують в проєктивній геометрії та геометріях з невпорядкованими полями типу комплексних чисел або поля Галуа.

У топології промінь в просторі ${\displaystyle X}$ є образом відображення ${\displaystyle R}$⁺${\textstyle \longrightarrow X}$. Він використовується для того, щоб визначити важливе поняття простору.

Примітки

1. Довідник з елементарної математики під редакцією П. Ф. Фільчакова. «Наукова думка», Київ.
2. Часом ми можемо розглядати промінь без початкової точки, який називається відкритим, в даному випадку він є закритим.
3. Wylie, Jr., 1964, pg. 59, Definition 3
4. Pedoe, 1988, pg. 2

Бібліографія

• Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. New York: Marcel Dekker. .
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover,
• Wylie, Jr., C. R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill,