В геометрії кривих вершина це точка в якої перша похідна кривини дорівнює нулю Як правило це локальний максимум або міні

В геометрії кривих, вершина — це точка, в якої перша похідна кривини дорівнює нулю. Як правило, це локальний максимум або мінімум кривини, і деякі автори визначають вершину як екстремальну точку кривини. Однак, тут можуть виникнути спеціальні випадки, наприклад, коли друга похідна теж дорівнює нулю або коли кривина постійна.

Еліпс (червоний) та його еволюта (синя). Точки є вершинами кривої та кожна з них відповідає вістрю еволюти.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Вершина.

Приклади

Гіпербола має дві вершини, на кожній гілці — одну. Ці вершини мають найменшу відстань поміж двома точками на гіперболі та лежать на головній осі. На параболі всього одна вершина, і вона лежить на осі симетрії. В еліпса чотири вершини, дві з них лежать на великій осі та дві на малій.

На колі, оскільки воно має сталу кривину, будь-яка точка є вершиною.

Точки перегину и дотику

Вершини — це точки, де крива має дотик порядку 3 зі стичним колом в цій точці. Звичайно точки на кривій мають зі стичним колом дотик другого порядку. Еволюта кривої звичайно має касп, якщо крива має вершину. Бувають й інші особливі точки в вершинах великого порядку, в яких порядок дотику зі стичним колом більше трьох. Хоча звичайно крива не має вершин високого порядку, у сімействах кривих дві звичайні вершини можуть злитися в вершину великого порядку, а потім зникнути.

^[en] кривої має кінці в каспах, що відповідають вершинам, а , підмножина множини симетрії, також має кінці в каспах.

Інші властивості

Згідно з теоремою про чотири вершини будь-яка проста замкнена пласка крива повинна мати щонайменше чотири вершини. Більш загальне твердження, що будь-яка проста замкнена крива у просторі розташована на опуклій поверхні, або обмежує локально опуклий диск, має чотири вершини.

Якщо крива дзеркально симетрична, вона має вершину в точці перетину осі симетрії з кривою. Таким чином, поняття вершини кривої тісно пов'язано з (оптичними точками), точками, в яких оптична вісь перетинає поверхню лінзи.

Примітки

Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 126.
Gibson, 2001, стор. 127.
Fuks та Tabachnikov, 2007, стор. 141.
Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 127.
Gibson, 2001, стор. 126.
Fuks та Tabachnikov, 2007, стр. 142.
Agoston, 2005, Теорема 9.3.9, стор. 570; Gibson, 2001, Section 9.3, «The Four Vertex Theorem», стор. 133–136; Fuks та Tabachnikov, 2007, Теорема 10.3, стор. 149.
Sedykh, V.D. (1994). Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (2): 177–180.
Ghomi, Mohammad (2015), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626

Посилання

Max K. Agoston «Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics»//Springer — 2005.

D. B. Fuks, Serge Tabachnikov «Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics»//American Mathematical Society — 2007.

C. G. Gibson «Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction»//Cambridge University Press — 2001.

[1] Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 126.

[g01-127-2] Gibson, 2001, стор. 127.

[3] Fuks та Tabachnikov, 2007, стор. 141.

[4] Agoston, 2005, стор. 570; Gibson, 2001, стор. 127.

[g01-126-5] Gibson, 2001, стор. 126.

[ft07-142-6] Fuks та Tabachnikov, 2007, стр. 142.

[7] Agoston, 2005, Теорема 9.3.9, стор. 570; Gibson, 2001, Section 9.3, «The Four Vertex Theorem», стор. 133–136; Fuks та Tabachnikov, 2007, Теорема 10.3, стор. 149.

[8] Sedykh, V.D. (1994). Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (2): 177–180.

[9] Ghomi, Mohammad (2015), Boundary torsion and convex caps of locally convex surfaces, arXiv:1501.07626