Раціональна функція однієї змінної — це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд
При цьому коефіцієнти многочленів належать деякому заздалегідь визначеному полю, наприклад, множині дійсних або комплексних чисел. Причому коефіцієнти зовсім не обов'язково мають бути раціональними числами.
Степенем раціональної функції називається максимум з степенів многочленів P та Q. Раціональні функції степеня 1 називаються перетворенням Мебіуса.
Раціональна функція визначена для всіх значень змінних, крім тих, при яких знаменник перетворюється в нуль.
Функції, які неможливо представити у вигляді відношення двох многочленів, називають ірраціональними функціями.
На раціональні функції поширюються арифметичні дії (додавання, множення, віднімання і ділення). Сукупність усіх раціональних функцій сама утворює поле, так зване поле раціональних функцій. Раціональні функції належать до ширшого класу елементарних функцій.
Так само визначаються раціональні функції кількох змінних
Властивості
- Будь-який вираз, який можна отримати зі змінних
за допомогою чотирьох арифметичних дій, є раціональною функцією.
- Множина раціональних функцій замкнута щодо арифметичних дій і операції композиції.
- Будь-яка раціональна функція може бути представлена у вигляді суми найпростіших дробів (див. Метод невизначених коефіцієнтів), це застосовується при аналітичному інтегруванні.
Приклади
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk0zTDFKaGRHbHZibUZzUkdWbmNtVmxNbUo1V0dWa2FTNXpkbWN2TXpBd2NIZ3RVbUYwYVc5dVlXeEVaV2R5WldVeVlubFlaV1JwTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemczTDFKaGRHbHZibUZzUkdWbmNtVmxNeTV6ZG1jdk16QXdjSGd0VW1GMGFXOXVZV3hFWldkeVpXVXpMbk4yWnk1d2JtYz0ucG5n.png)
- Раціональна функція
не визначена при
.
- Раціональна функція
визначена на всіх дійсних числах, але не на всіх комплексних числах. Невизначеність виникає коли x є квадратним коренем з
(т.з.
- уявна одиниця або
), коли виникає ділення на нуль:
.
- Раціональна функція
, при x що прямує до нескінченності, прямує до
.
- Функція-константа, наприклад f(x) = π є раціональною функцією тому що константа є многочленом (виродженим). Зауваження. Функція є раціональною навіть коли f(x) є ірраціональним числом при всіх x.
- Раціональна функція
дорівнює 1 для всіх x крім 0, що є усувною особливою точкою.
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Дивись також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Racionalna funkciya odniyeyi zminnoyi ce algebrayichnij viraz sho ye vidnoshennyam dvoh mnogochleniv tobto maye viglyad P x Q x a n x n a 1 x a 0 b m x m b 1 x b 0 displaystyle frac P x Q x frac a n x n ldots a 1 x a 0 b m x m ldots b 1 x b 0 Pri comu koeficiyenti mnogochleniv nalezhat deyakomu zazdalegid viznachenomu polyu napriklad mnozhini dijsnih abo kompleksnih chisel Prichomu koeficiyenti zovsim ne obov yazkovo mayut buti racionalnimi chislami Stepenem racionalnoyi funkciyi nazivayetsya maksimum z stepeniv mnogochleniv P ta Q Racionalni funkciyi stepenya 1 nazivayutsya peretvorennyam Mebiusa Racionalna funkciya viznachena dlya vsih znachen zminnih krim tih pri yakih znamennik peretvoryuyetsya v nul Funkciyi yaki nemozhlivo predstaviti u viglyadi vidnoshennya dvoh mnogochleniv nazivayut irracionalnimi funkciyami Na racionalni funkciyi poshiryuyutsya arifmetichni diyi dodavannya mnozhennya vidnimannya i dilennya Sukupnist usih racionalnih funkcij sama utvoryuye pole tak zvane pole racionalnih funkcij Racionalni funkciyi nalezhat do shirshogo klasu elementarnih funkcij Tak samo viznachayutsya racionalni funkciyi kilkoh zminnih R x P n x 1 x n Q m x 1 x m displaystyle R x frac P n x 1 dots x n Q m x 1 dots x m dd VlastivostiBud yakij viraz yakij mozhna otrimati zi zminnih x 1 x n displaystyle x 1 dots x n za dopomogoyu chotiroh arifmetichnih dij ye racionalnoyu funkciyeyu Mnozhina racionalnih funkcij zamknuta shodo arifmetichnih dij i operaciyi kompoziciyi Bud yaka racionalna funkciya mozhe buti predstavlena u viglyadi sumi najprostishih drobiv div Metod neviznachenih koeficiyentiv ce zastosovuyetsya pri analitichnomu integruvanni PrikladiPrikladi racionalnih funkcijRacionalna funkciya stepenya 2 y x 2 3 x 2 x 2 4 displaystyle y frac x 2 3x 2 x 2 4 Racionalna funkciya stepenya 3 y x 3 2 x 2 x 2 5 displaystyle y frac x 3 2x 2 x 2 5 Racionalna funkciya f x x 3 2 x 2 x 2 5 displaystyle f x frac x 3 2x 2 x 2 5 ne viznachena pri x 2 5 x 5 displaystyle x 2 5 Leftrightarrow x pm sqrt 5 Racionalna funkciya f x x 2 2 x 2 1 displaystyle f x frac x 2 2 x 2 1 viznachena na vsih dijsnih chislah ale ne na vsih kompleksnih chislah Neviznachenist vinikaye koli x ye kvadratnim korenem z 1 displaystyle 1 t z i displaystyle i uyavna odinicya abo i displaystyle i koli vinikaye dilennya na nul f i i 2 2 i 2 1 1 2 1 1 1 0 displaystyle f i frac i 2 2 i 2 1 frac 1 2 1 1 frac 1 0 Racionalna funkciya f x x 3 2 x 2 x 2 5 displaystyle f x frac x 3 2x 2 x 2 5 pri x sho pryamuye do neskinchennosti pryamuye do x 2 displaystyle frac x 2 Funkciya konstanta napriklad f x p ye racionalnoyu funkciyeyu tomu sho konstanta ye mnogochlenom virodzhenim Zauvazhennya Funkciya ye racionalnoyu navit koli f x ye irracionalnim chislom pri vsih x Racionalna funkciya f x x x displaystyle f x frac x x dorivnyuye 1 dlya vsih x krim 0 sho ye usuvnoyu osoblivoyu tochkoyu LiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr Divis takozhAlgebrayichni funkciyi