Метод невизначених коефіцієнтів — підхід для віднайдення частинного розв'язку для певних неоднорідних звичайних диференціальних рівнянь і Рекурентне співвідношення рекурентних співвідношень. Для знаходження найкращого можливого частинного розв'язку , робиться припущення в підхожій формі, яке потім тестується диференціюванням рівняння. Для складних рівнянь, метод Лагранжа потребує менше часу.
Невизначені коефіцієнти не настільки загальний метод як метод Лагранжа, оскільки вони працюють лише для диференціальних рівнянь певного виду.
Опис методу
Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння виду
Метод полягає у знаходженні загального однорідного розв'язку для відповідного однорідного диференціального рівняння.
і окремого розв'язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння. тоді загальний розв'язок неоднорідного звичайного диференціального рівняння буде
Якщо є сумою двох функцій і ми кажемо, що це розв'язок базований на і розв'язок базований . Тоді, використання принципу суперпозиції дає нам окремий розв'язок :
Типові форми окремих розв'язків
Задля віднайдення окремого розв'язку, ми маємо вгадати його форму, з деякими коефіцієнтами як змінними, які ми повинні знайти. Таблиця деяких типових функцій і здогадок до них:
Функція від x | Форма y |
Якщо вираз окремого розв'язку зустрічається в однорідному розв'язку, необхідно помножити його на достатньо великий степінь x для отримання незалежних розв'язків. Якщо функція від x це сума термів з наведеної таблиці, окремий інтеграл можна вгадати як суму відповідних термів для y.
Резонанс і невизначені коефіцієнти
Розглянемо рівняння
однорідний розв'язок тобто якщо частота вхідної функції (власна частота) також 4, тоді ми повинні помножити пробний розв'язок на Отже пробний розв'язок такий:
Таким чином, ми спостерігаємо резонанс коли
Приклад
Добуток праворуч
Тут - це добуток многочлена третього степеня, експоненційної функції і косинуса. Важливо пам'ятити, що кількість невизначених коефіцієнтів в дорівнює кількості відмінних доданків (після спрощення виразу).
- Правильно:
- Неправильно:
Складніший приклад
Спочатку запишемо однорідний розв'язок:
Тут нам потрібно знайти і . Маємо:
Зауважте, що нам довелось домножити на , щоб він не мав спільних доданків із однорідним розв'язком.
Примітки
- Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. .
- Dennis G. Zill (2001). A first course in differential equations - The classic 5th edition. Brooks/Cole. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Metod neviznachenih koeficiyentiv pidhid dlya vidnajdennya chastinnogo rozv yazku dlya pevnih neodnoridnih zvichajnih diferencialnih rivnyan i Rekurentne spivvidnoshennya rekurentnih spivvidnoshen Dlya znahodzhennya najkrashogo mozhlivogo chastinnogo rozv yazku robitsya pripushennya v pidhozhij formi yake potim testuyetsya diferenciyuvannyam rivnyannya Dlya skladnih rivnyan metod Lagranzha potrebuye menshe chasu Neviznacheni koeficiyenti ne nastilki zagalnij metod yak metod Lagranzha oskilki voni pracyuyut lishe dlya diferencialnih rivnyan pevnogo vidu Opis metoduRozglyanemo linijne neodnoridne diferencialne rivnyannya vidu a n y n a n 1 y n 1 a 1 y a 0 y g x displaystyle a n y n a n 1 y n 1 a 1 y a 0 y g x Metod polyagaye u znahodzhenni zagalnogo odnoridnogo rozv yazku y c displaystyle y c dlya vidpovidnogo odnoridnogo diferencialnogo rivnyannya a n y n a n 1 y n 1 a 1 y a 0 y 0 displaystyle a n y n a n 1 y n 1 a 1 y a 0 y 0 i okremogo rozv yazku y p displaystyle y p linijnogo neodnoridnogo diferencialnogo rivnyannya todi zagalnij rozv yazok y displaystyle y neodnoridnogo zvichajnogo diferencialnogo rivnyannya bude y y c y p displaystyle y y c y p Yaksho g x displaystyle g x ye sumoyu dvoh funkcij h x w x displaystyle h x w x i mi kazhemo sho y p 1 displaystyle y p 1 ce rozv yazok bazovanij na h x displaystyle h x i y p 2 displaystyle y p 2 rozv yazok bazovanij w x displaystyle w x Todi vikoristannya principu superpoziciyi daye nam okremij rozv yazok y p displaystyle y p y p y p 1 y p 2 displaystyle y p y p 1 y p 2 Tipovi formi okremih rozv yazkivZadlya vidnajdennya okremogo rozv yazku mi mayemo vgadati jogo formu z deyakimi koeficiyentami yak zminnimi yaki mi povinni znajti Tablicya deyakih tipovih funkcij i zdogadok do nih Funkciya vid x Forma y k e a x displaystyle ke ax C e a x displaystyle Ce ax k x n n 0 1 2 displaystyle kx n mathrm n 0 1 2 cdots K n x n K n 1 x n 1 K 1 x K 0 displaystyle K n x n K n 1 x n 1 cdots K 1 x K 0 k cos a x o r k sin a x displaystyle k cos ax mathrm or k sin ax K cos a x M sin a x displaystyle K cos ax M sin ax k e a x cos b x o r k e a x sin b x displaystyle ke ax cos bx mathrm or ke ax sin bx e a x K cos b x M sin b x displaystyle e ax K cos bx M sin bx i 1 n k i x i e a x cos b x o r i 1 n k i x i e a x sin b x displaystyle left sum i 1 n k i x i right e ax cos bx mathrm or left sum i 1 n k i x i right e ax sin bx e a x i 1 n Q i x i cos b x i 1 n R i x i sin b x displaystyle e ax left left sum i 1 n Q i x i right cos bx left sum i 1 n R i x i right sin bx right Yaksho viraz okremogo rozv yazku zustrichayetsya v odnoridnomu rozv yazku neobhidno pomnozhiti jogo na dostatno velikij stepin x dlya otrimannya nezalezhnih rozv yazkiv Yaksho funkciya vid x ce suma termiv z navedenoyi tablici okremij integral mozhna vgadati yak sumu vidpovidnih termiv dlya y Rezonans i neviznacheni koeficiyentiRozglyanemo rivnyannya x t 16 x t 8 cos w t displaystyle x t 16x t 8 cos omega t odnoridnij rozv yazok x h c 1 cos 4 t c 2 sin 4 t displaystyle x h c 1 cos 4t c 2 sin 4t tobto w 0 4 displaystyle omega 0 4 yaksho chastota vhidnoyi funkciyi vlasna chastota takozh 4 todi mi povinni pomnozhiti probnij rozv yazok na t displaystyle t Otzhe probnij rozv yazok takij x t d 1 cos w t d 2 sin w t if w 4 t d 1 cos w t d 2 sin w t if w 4 displaystyle x t begin cases d 1 cos omega t d 2 sin omega t amp mbox if omega neq 4 t d 1 cos omega t d 2 sin omega t amp mbox if omega 4 end cases Takim chinom mi sposterigayemo rezonans koli w 0 w displaystyle omega 0 omega PrikladDobutok pravoruch y 2 y 3 y x 3 e 5 x cos 3 x displaystyle y 2y 3y x 3 e 5x cos 3x Tut g x displaystyle g x ce dobutok mnogochlena tretogo stepenya eksponencijnoyi funkciyi i kosinusa Vazhlivo pam yatiti sho kilkist neviznachenih koeficiyentiv v y displaystyle y dorivnyuye kilkosti vidminnih dodankiv pislya sproshennya virazu Pravilno y A x 3 B x 2 C x D e 5 x cos 3 x E x 3 F x 2 G x H e 5 x cos 3 x displaystyle y Ax 3 Bx 2 Cx D e 5x cos 3x Ex 3 Fx 2 Gx H e 5x cos 3x Nepravilno y A x 3 B x 2 C x D E e 5 x F cos 3 x G sin 3 x displaystyle y Ax 3 Bx 2 Cx D Ee 5x F cos 3x G sin 3x Skladnishij priklad y 25 y 4 x 3 sin 5 x 2 e 3 t cos 5 t displaystyle y 25y 4x 3 sin 5x 2e 3t cos 5t Spochatku zapishemo odnoridnij rozv yazok y c C 1 cos 5 x C 2 sin 5 t displaystyle y c C 1 cos 5x C 2 sin 5t Tut nam potribno znajti y p 1 displaystyle y p1 i y p 2 displaystyle y p2 Mayemo y p 1 x A x 3 B x 2 C x D cos 5 x x E x 3 F x 2 G x H sin 5 x displaystyle y p1 x Ax 3 Bx 2 Cx D cos 5x x Ex 3 Fx 2 Gx H sin 5x y p 2 I e 3 x cos 5 x J e 3 x sin 5 x displaystyle y p2 Ie 3x cos 5x Je 3x sin 5x Zauvazhte sho nam dovelos domnozhiti y p 1 displaystyle y p1 na x displaystyle x shob vin ne mav spilnih dodankiv iz odnoridnim rozv yazkom PrimitkiRalph P Grimaldi 2000 Nonhomogeneous Recurrence Relations Section 3 3 3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics Kenneth H Rosen ed CRC Press ISBN 0 8493 0149 1 Dennis G Zill 2001 A first course in differential equations The classic 5th edition Brooks Cole ISBN 0 534 37388 7