Множина Мандельброта — обмежена та зв'язна множина на комплексній площині, межа якої утворює фрактал. Множина Мандельброта це множина комплексних чисел , для яких функція не розходиться, якщо її ітерувати від значення , тобто, для якої послідовність , , і так далі, залишається обмеженою в абсолютному значенні. Названа на честь Бенуа Мандельброта, який вивчав і популяризував її.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlJqTDAxaGJtUmxiR0p5YjNSZk1qQXlNVEEwTVRGZk1EQTNMbkJ1Wnk4eU5UQndlQzFOWVc1a1pXeGljbTkwWHpJd01qRXdOREV4WHpBd055NXdibWM9LnBuZw==.png)
Колір відповідає швидкості зростання Zn
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUwTDAxaGJtUmxiR0p5YjNSZmMyVnhkV1Z1WTJWZmJtVjNMbWRwWmk4eU1qQndlQzFOWVc1a1pXeGljbTkwWDNObGNYVmxibU5sWDI1bGR5NW5hV1k9LmdpZg==.gif)
Зображення множини Мандельброта можна створити шляхом вибірки комплексних чисел і тестування, для кожної точки вибірки , чи послідовність прямує до нескінченності (на практиці перевіряють, чи залишає вона деякий визначений окіл 0 після визначеної кількості ітерацій). Якщо інтерпретувати дійсну і уявну частини числа як координати зображення на площині комплексних чисел, то колір пікселя можна визначити відповідно до того, як швидко послідовність перетинає довільно вибране порогове значення, де спеціальний колір (як правило чорний) використовують для значень в яких послідовність не перетинає порогове значення після визначеної кількості ітерацій (це необхідно аби чітко розрізняти зображення множини Мандельброта від зображення її доповнення). Якщо залишатиметься сталим, а замість того змінним буде початкове значення — що позначається як , буде отримано відповідну множину Жуліа для кожної точки в просторі параметрів простої функції.
Точне значення площі множини Мандельброта невідоме. На 2012 рік вона оцінювалася як 1,506 591 884 9 ± 2,8×10−9. Точна координата центра мас (розташованого на осі абсцис) теж невідома і оцінюється як −0,286 768 420 48 ± 3,35×10−9.
Принцип побудови
Візьмімо точку , що лежить на комплексній площині. Нехай
=
=
=
- і так далі ….
Якщо послідовність з завжди залишається близько до
і ніколи не віддаляється, тоді точка C належить множині Мандельброта.
Формально
Сукупність елементів поля комплексних чисел, для яких послідовність:
, що визначена ітераційно за правилом
, де
задовольняє умову
називають множиною Мандельброта.
Комплексні числа можна трактувати як точки на площині. Тоді множину Мандельброта можна побудувати у просторі .
Розширене визначення
Вищевказана послідовність може бути розкрита для кожної точки на комплексній площині таким чином:
і так далі.
Якщо переформулювати ці вирази у вигляді ітеративної послідовності значень координат комплексної площини , тобто замінивши
на
, а
на
, отримаємо:
Візуально, всередині множини Мандельброта можна виділити нескінченну кількість елементарних фігур, причому найбільша в центрі являє собою кардіоїду. Також є набір овалів, дотичних до кардіоїди, розмір яких поступово зменшується, прямуючи до нуля. Кожен з цих овалів має свій набір менших овалів, діаметр яких також прямує до нуля і т. д. Цей процес триває нескінченно, утворюючи фрактал. Також важливо, що ці процеси розгалуження фігур не вичерпують повністю множину Мандельброта: якщо розглянути зі збільшенням додаткові «гілки», то в них можна побачити свої кардіоїди та кола, не пов'язані з головною фігурою. Найбільша фігура (видима при розгляданні основної множини) з них знаходиться в області від -1,78 до -1,75 на від'ємній осі дійсних значень.
Історія множини Мандельброта
Вперше множину Мандельброта було описано в 1905 році П'єром Фату, французьким математиком, який працював в галузі аналітичної динаміки комплексних чисел. Фату вивчав рекурсивні процеси виду
Почавши з точки на комплексній площині, можна отримати нові точки, послідовно застосовуючи до них цю формулу. Така послідовність точок називається орбітою
при перетворенні
.
Фату знайшов, що орбіта при цьому перетворенні показує досить складну і цікаву поведінку. Існує нескінченна множина таких перетворень — своя для кожного значення
. В ті часи комп'ютерів ще не було, і Фату, звичайно, не міг побудувати орбіти всіх точок площини, йому доводилося робити все вручну. Ґрунтуючись на своїх розрахунках, він довів, що орбіта точки, що лежить на відстані більше 2 від початку координат, завжди йде в нескінченність.
Фату ніколи не бачив зображень, які ми зараз знаємо як зображення множини Мандельброта, тому що необхідну кількість обчислень неможливо провести вручну. Професор Бенуа Мандельброт був першим, хто використав для цього комп'ютер.
Фрактали були описані Мандельбротом у 1975 році в його книзі «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальні об'єкти: форма, випадковість і розмірність»). У цій книзі Мандельброт вперше використав термін «фрактал» для позначення математичного феномена, який демонструє настільки непередбачувану і дивну поведінку. Ці феномени народжувалися при використанні рекурсивного алгоритму для отримання якої-небудь кривої або множини. Множина Мандельброта — один із таких феноменів, названий за іменем свого дослідника.
Побудова множини
Неважко довести, що як тільки модуль zn виявиться більшим від 2 (або, у термінах дійсної і уявної частин, xn2 + yn2 > 4), послідовність прямуватиме до нескінченності. У разі |c| ⩽ 2 це можна довести за допомогою методу математичної індукції. При |c| > 2 точка c не належить множині Мандельброта, що також можна вивести методом індукції, використовуючи рівність z0 = 0. (Хоча в цьому випадку може існувати інше z0, для якого відповідна послідовність обмежена за модулем, але для деякого n виконується нерівність |zn| > 2.)
Порівняння |zn| з цим числом (в англомовній літературі його називають «bail-out») дозволяє виділяти точки, що не потрапляють всередину множини. Для точок, що лежать всередині множини, послідовність не буде мати тенденції до нескінченності і ніколи не досягне цього числа, тому після певного числа ітерацій розрахунок необхідно примусово завершити. Максимальне число ітерацій, після яких число вважається таким, що потрапило всередину множини, задається в програмі.
Зображення, отримане таким способом, є лише наближенням до реальної множини Мандельброта. Більш якісні результати можна отримувати, збільшуючи максимальну кількість ітерацій, однак при цьому пропорційно зростає і час розрахунків.
Додання кольору
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUwTDAxaGJtUmxiRjk2YjI5dFh6RXhYM05oZEdWc2JHbDBaVjlrYjNWaWJHVmZjM0JwY21Gc0xtcHdaeTh5TWpCd2VDMU5ZVzVrWld4ZmVtOXZiVjh4TVY5ellYUmxiR3hwZEdWZlpHOTFZbXhsWDNOd2FYSmhiQzVxY0djPS5qcGc=.jpg)
Строго математично, зображення множин Мандельброта та Жуліа повинні бути чорно-білими. Точка або потрапляє у множину, або ні. Незважаючи на це, за допомогою комп'ютера можна побудувати і кольорові зображення. Найпоширенішим способом є розфарбовування точок зовні множини в колір, що відповідає кількості ітерацій, за яку точка йде в «нескінченність» або, з точки зору програми, на певну відстань від нуля.
Порядок визначення, потрапляє точка z0 всередину множини (яка традиційно зафарбовується чорним кольором) чи ні (зафарбовується кольором, залежним від швидкості руху в нескінченність) такий: на кожній ітерації для zn = xn + yn·i обчислюється значення модуля , який потім порівнюється з «межею нескінченності» (зазвичай береться значення, що дорівнює 2). Тут важливо звернути увагу, що вже на даному етапі можна запровадити певну оптимізацію обчислень, якщо не перевіряти
, а
, що значно знизить час розрахунків.
Таким чином, якщо |zn|2 ⩽ 4 за будь-якого числа ітерацій (на практиці — при всіх обчислених ітераціях), то колір точки чорний, в іншому випадку він залежить від останнього значення n, за якого |zn|2 ⩽ 4. Значення n, фактично, означає швидкість руху zn в нескінченність і може бути просто індексом у таблиці кольорів або використовуватись як параметр у більш складному алгоритмі.
Даний алгоритм визначає, що якщо точка віддаляється більше ніж на 2 від початку координат, то вона лежить зовні множини Мандельброта. Для того, щоб визначити, що точка лежить всередині множини, є багато способів. Найпростіше рішення — обмежити кількість ітерацій певним максимумом. Якщо точка не вийшла за зазначену межу, можна вважати, що вона знаходиться всередині множини.
Точкам біля межі множини потрібно більше ітерацій для виходу в нескінченність. Тому такі області промальовуються помітно довше. Чим далі від кордонів множини, тим вища швидкість відходу в нескінченність. Для таких точок потрібно менше ітерацій.
Оптимізація
Одним зі способів зменшення обсягу обчислень при обчисленні загальної картини множини може служити перевірка, чи потрапляє точка в область головної кардіоїди. Формула кардіоїди в полярних координатах виглядає так:
Таким чином, для точки необхідно обчислити
Якщо , то точка
потрапляє всередину множини і зафарбовується чорним кольором, а повторне обчислення можна пропустити.
На практиці найбільше зменшення обсягу обчислень дає трасування межі: якщо є деяка замкнута крива, що не перетинає вісь абсцис, кожна точка якої йде за межу (англ. bail-out) за однакове число ітерацій або, навпаки, належить множині Мандельброта, то будь-яка точка всередині цієї кривої буде володіти тією ж властивістю, а отже вся область всередині межі зафарбовується однаковим кольором.
Зв'язок з множиною Жюліа
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelkyTDBaeVlXTjBZV3hmYldGdVpHVnNYM0JoY25RdWNHNW5Mekl5TUhCNExVWnlZV04wWVd4ZmJXRnVaR1ZzWDNCaGNuUXVjRzVuLnBuZw==.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekk0TDBaeVlXTjBZV3hmYW5Wc2FXRXVjRzVuTHpJeU1IQjRMVVp5WVdOMFlXeGZhblZzYVdFdWNHNW4ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlUwTDBaeVlXTjBZV3hsTG1kcFppOHlNakJ3ZUMxR2NtRmpkR0ZzWlM1bmFXWT0uZ2lm.gif)
Множина Мандельброта спочатку була побудована як каталог множин Жюліа: кожній точці на комплексній площині відповідає своя множина Жюліа. Точки, що належать множині Мандельброта, відповідають зв'язним множинам Жюліа, а точки, які не належать — незв'язним.
Звідси зрозуміло, що цікаві варіанти множини Жюліа відповідають точкам, що лежать на межі множини Мандельброта. Точки глибоко всередині утворюють прості геометричні фігури, а зовнішні виглядають як пил, що оточує кольорові плями. Деякі програми, наприклад, Fractint, дозволяють користувачеві прямо на екрані вказати точку, для якої необхідно побудувати відповідну множину Жюліа, спрощуючи пошук красивих зображень.
Множина Мандельброта й сама містить структури, що нагадують множину Жюліа: для будь-якого область множини Мандельброта поблизу
нагадує центр множини Жюліа з параметром
. Якщо сильно збільшити множину Мандельброта в граничній точці c і те ж саме зробити з множиною Жюліа для цього ж значення c і в цій самій точці, то картини будуть асимптотично прямувати одна до одної при зростанні збільшення.
Варіації множини Мандельброта
Найчастіше під назвою «множина Мандельброта» розуміється тільки множина, описана вище. Однак будь-яка функція комплексної змінної має відповідну множину Мандельброта, що також характеризується наявністю або відсутністю зв'язної множини Жюліа. Наприклад, можна покласти fc(z) = z3 + c. Тоді для кожного значення c перевіряється зв'язність множини Жюліа функції fc і за наявності зв'язності вважається, що c належить множині Мандельброта. В описаному випадку зв'язність можна перевірити тим самим способом, що й для fc(z) = z2 + c.
Ці твердження можна узагальнити і на множини Жюліа, визначувані більше, ніж двома числами. Наприклад, безліч Жюліа, обумовлена трьома дійсними числами, має відповідну тривимірну множину Мандельброта.
Розглядаються і багатовимірні варіації множини Мандельброта. Так, тривимірний аналог отримав назву лампочка Мандельброта, хоча класичні аналоги на комплексних числах існують тільки в розмірності, рівній степеню 2.
Застосування множини Мандельброта
Безліч Мандельброта знаходить застосування для аналізу виникнення турбулентності у фізиці плазми і термодинаміці, розвитку біфуркацій тощо.[]
Застосування множини Мандельброта в мистецтві
Пошук гарних зображень множини Мандельброта — цікаве хобі для дуже багатьох людей. Вони збирають колекції таких зображень, причому кожне з них може бути описане невеликою кількістю параметрів, наприклад, просто координатами центра.
- Координати центра: -1.7433419053321, 0.0000907687489, ширина 0.00000000374
- Координати центра: -1.88488933694469, 8.1387× 10−10, ширина 2.4× 10−13
- Координати центра: -0.777807810193171, 0.131645108003206, ширина 3.2× 10−15
- Координати центра: -0.56267837374, 0.65679461735, ширина 0.000000064
Є велика кількість програм для малювання фракталів, але, незважаючи на це, багато людей пишуть свої програми для більшої гнучкості при експериментах. Наприклад, ці анімовані зображення були створені таким способом.
- Координати центра: -0.56267837374, 0.65679461735, ширина 0.000000064
- Координати центра: -1.96680095, 0.00000478, ширина 0.00000014
- Координати центра: -1.7433419053321, 0.0000907687489, ширина 0.00000000374
Математичні факти про множину Мандельброта
Douady і Hubbard довели, що множина Мандельброта є зв'язною, хоча в це й важко повірити, дивлячись на хитрі системи мостів, що з'єднують різні її частини. Зв'язність множини Мандельброта випливає з того, що вона є перетином вкладених зв'язкних компактних множин.
Однак невідомо, чи є вона локально зв'язною. Ця відома гіпотеза в комплексній динаміці отримала назву MLC (англ. Mandelbrot locally connected). Багато математиків докладають зусиль до її доведення. Jean-Christophe Yoccoz довів, що гіпотеза правильна у всіх точках зі скінченною ренормалізацією, потім багато інших математиків доводили справедливість гіпотези у багатьох окремих точках множини Мандельброта, але загальна гіпотеза залишається недоведеною.
Mitsuhiro Shishikura довів, що розмірність Гаусдорфа межі множини Мандельброта дорівнює 2. Але залишається невідомою відповідь на питання, чи має межа множини Мандельброта додатну міру Лебега на площині.
Число ітерацій для будь-якої точки в побудові множини дуже близьке до логарифма електричного потенціалу, що виникає, якщо зарядити множину Мандельброта. Точніше, границя збігається з цим потенціалом.
Як намалювати?
Варто зауважити, що якщо вийде за межі комплексного кола радіусу
, то вже ніколи не повернеться назад. Дійсно, якщо
, і
, то
і, за методом математичної індукції, всі наступні ітерації теж поза колом радіуса
. Якщо ж
, то
і
(тут верхній індекс позначає номер ітерації).
Тому варто включати в множину Мандельброта лише ті точки, що не вийшли за межі кола протягом певного числа ітерацій.
Код мовою Python, що за розмірами генерує зображення множини Мандельброта, на якому колір позначає номер ітерації розбіжності.
""" @author: Nikita Skybytskyi : Mandelbrot set in 16 lines of code """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def mandelbrot(h, w, max_iter=40): """Returns an image of the Mandelbrot fractal of size (h,w).""" y, x = np.ogrid[-1.5 : 1.5 : h * 1j, -2 : 1 : w * 1j] c = x + y * 1j z = c div_time = max_iter + np.zeros(z.shape, dtype=int) for iteration in range(max_iter): z = z**2 + c diverge = z * np.conj(z) > 2**2 # орбіти яких точок розходяться div_now = diverge & (div_time == max_iter) # орбіти яких точок починають розходитися на цій ітерації div_time[div_now] = iteration # запам'ятовуємо, хто коли починає розходитися z[diverge] = 2 # уникаємо надто сильної розбіжності (вона може призвести до переповнення) return div_time plt.imshow(mandelbrot(800,800)) plt.show()
Примітки
- Pixel Counting [ 17 червня 2017 у Wayback Machine.](англ.).
- За Піснею про множину Мандельброта Jonathan Coulton Mandelbrot Set [ 10 квітня 2007 у Wayback Machine.] (mp3 теж можна звантажити безплатно)
Література
- Бенуа Мандельброт, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М. : «Вильямс», 2005. — С. 400. — .
Див. також
Посилання
- Відео: 10 хвилин запаморочливого занурення у множину Мандельброта [ 18 лютого 2019 у Wayback Machine.]
- Множини Мандельброта та Жюліа на сайті FractalWorld [ 7 липня 2019 у Wayback Machine.]
- Benoit Mandelbrot: Fractals and the art of roughness [ 17 лютого 2014 у Wayback Machine.], запис виступу на конференції TED
- Mandelbrot 4.0 [ 13 липня 2021 у Wayback Machine.] — безплатна (під громадською ліцензією GNU) програма для створення множин Мандельброта та Жюліа
- QuickMAN v.1.10 [ 2 квітня 2019 у Wayback Machine.] безплатна (під громадською ліцензією GNU 2) програма для створення множини Мандельброта(англ.)
- Інтерактивна JavaScript-візуалізація множини Мандельброта [ 8 березня 2019 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Mnozhina Mandelbrota obmezhena ta zv yazna mnozhina na kompleksnij ploshini mezha yakoyi utvoryuye fraktal Mnozhina Mandelbrota ce mnozhina kompleksnih chisel c displaystyle c dlya yakih funkciya f c z z 2 c displaystyle f c z z 2 c ne rozhoditsya yaksho yiyi iteruvati vid znachennya z 0 displaystyle z 0 tobto dlya yakoyi poslidovnist f c 0 displaystyle f c 0 f c f c 0 displaystyle f c f c 0 i tak dali zalishayetsya obmezhenoyu v absolyutnomu znachenni Nazvana na chest Benua Mandelbrota yakij vivchav i populyarizuvav yiyi Mnozhina Mandelbrota Kolir vidpovidaye shvidkosti zrostannya Zn Detalne zbilshennya mnozhini Mandelbrota Zobrazhennya mnozhini Mandelbrota mozhna stvoriti shlyahom vibirki kompleksnih chisel i testuvannya dlya kozhnoyi tochki vibirki c displaystyle c chi poslidovnist f c 0 f c f c 0 displaystyle f c 0 f c f c 0 dotsc pryamuye do neskinchennosti na praktici pereviryayut chi zalishaye vona deyakij viznachenij okil 0 pislya viznachenoyi kilkosti iteracij Yaksho interpretuvati dijsnu i uyavnu chastini chisla c displaystyle c yak koordinati zobrazhennya na ploshini kompleksnih chisel to kolir pikselya mozhna viznachiti vidpovidno do togo yak shvidko poslidovnist f c 0 f c f c 0 displaystyle f c 0 f c f c 0 dotsc peretinaye dovilno vibrane porogove znachennya de specialnij kolir yak pravilo chornij vikoristovuyut dlya znachen c displaystyle c v yakih poslidovnist ne peretinaye porogove znachennya pislya viznachenoyi kilkosti iteracij ce neobhidno abi chitko rozriznyati zobrazhennya mnozhini Mandelbrota vid zobrazhennya yiyi dopovnennya Yaksho c displaystyle c zalishatimetsya stalim a zamist togo zminnim bude pochatkove znachennya z displaystyle z sho poznachayetsya yak z 0 displaystyle z 0 bude otrimano vidpovidnu mnozhinu Zhulia dlya kozhnoyi tochki c displaystyle c v prostori parametriv prostoyi funkciyi Tochne znachennya ploshi mnozhini Mandelbrota nevidome Na 2012 rik vona ocinyuvalasya yak 1 506 591 884 9 2 8 10 9 Tochna koordinata centra mas roztashovanogo na osi abscis tezh nevidoma i ocinyuyetsya yak 0 286 768 420 48 3 35 10 9 Princip pobudoviVizmimo tochku Z displaystyle Z sho lezhit na kompleksnij ploshini Nehaj Z 1 displaystyle Z 1 Z 2 C displaystyle Z 2 C Z 2 displaystyle Z 2 Z 1 2 C displaystyle Z 1 2 C Z 3 displaystyle Z 3 Z 2 2 C displaystyle Z 2 2 C i tak dali Yaksho poslidovnist z Z displaystyle Z zavzhdi zalishayetsya blizko do Z displaystyle Z i nikoli ne viddalyayetsya todi tochka C nalezhit mnozhini Mandelbrota FormalnoSukupnist elementiv c displaystyle c polya kompleksnih chisel dlya yakih poslidovnist z n n 0 displaystyle z n n geq 0 sho viznachena iteracijno za pravilom z n 1 z n 2 c displaystyle z n 1 z n 2 c de z 0 0 displaystyle z 0 0 zadovolnyaye umovu sup n N z n lt displaystyle sup n in mathbb N z n lt infty nazivayut mnozhinoyu Mandelbrota Kompleksni chisla mozhna traktuvati yak tochki na ploshini Todi mnozhinu Mandelbrota mozhna pobuduvati u prostori R 2 displaystyle mathbb R 2 Rozshirene viznachennyaVishevkazana poslidovnist mozhe buti rozkrita dlya kozhnoyi tochki c displaystyle c na kompleksnij ploshini takim chinom c x i y Z 0 0 Z 1 Z 0 2 c x i y Z 2 Z 1 2 c x i y 2 x i y x 2 2 i x y y 2 x i y x 2 y 2 x 2 x y y i Z 3 Z 2 2 c displaystyle begin aligned c amp x i cdot y Z 0 amp 0 Z 1 amp Z 0 2 c amp x iy Z 2 amp Z 1 2 c amp x iy 2 x iy amp x 2 2ixy y 2 x iy amp x 2 y 2 x 2xy y i Z 3 amp Z 2 2 c ldots end aligned i tak dali Yaksho pereformulyuvati ci virazi u viglyadi iterativnoyi poslidovnosti znachen koordinat kompleksnoyi ploshini x y displaystyle x y tobto zaminivshi z n displaystyle z n na x n i y n displaystyle x n i cdot y n a c displaystyle c na p i q displaystyle p i cdot q otrimayemo x n 1 x n 2 y n 2 p displaystyle x n 1 x n 2 y n 2 p y n 1 2 x n y n q displaystyle y n 1 2 x n y n q Vizualno vseredini mnozhini Mandelbrota mozhna vidiliti neskinchennu kilkist elementarnih figur prichomu najbilsha v centri yavlyaye soboyu kardioyidu Takozh ye nabir ovaliv dotichnih do kardioyidi rozmir yakih postupovo zmenshuyetsya pryamuyuchi do nulya Kozhen z cih ovaliv maye svij nabir menshih ovaliv diametr yakih takozh pryamuye do nulya i t d Cej proces trivaye neskinchenno utvoryuyuchi fraktal Takozh vazhlivo sho ci procesi rozgaluzhennya figur ne vicherpuyut povnistyu mnozhinu Mandelbrota yaksho rozglyanuti zi zbilshennyam dodatkovi gilki to v nih mozhna pobachiti svoyi kardioyidi ta kola ne pov yazani z golovnoyu figuroyu Najbilsha figura vidima pri rozglyadanni osnovnoyi mnozhini z nih znahoditsya v oblasti vid 1 78 do 1 75 na vid yemnij osi dijsnih znachen Istoriya mnozhini MandelbrotaVpershe mnozhinu Mandelbrota bulo opisano v 1905 roci P yerom Fatu francuzkim matematikom yakij pracyuvav v galuzi analitichnoyi dinamiki kompleksnih chisel Fatu vivchav rekursivni procesi vidu z z 2 c displaystyle z to z 2 c Pochavshi z tochki z 0 displaystyle z 0 na kompleksnij ploshini mozhna otrimati novi tochki poslidovno zastosovuyuchi do nih cyu formulu Taka poslidovnist tochok nazivayetsya orbitoyu z 0 displaystyle z 0 pri peretvorenni z z 2 c displaystyle z to z 2 c Fatu znajshov sho orbita z 0 0 displaystyle z 0 0 pri comu peretvorenni pokazuye dosit skladnu i cikavu povedinku Isnuye neskinchenna mnozhina takih peretvoren svoya dlya kozhnogo znachennya c displaystyle c V ti chasi komp yuteriv she ne bulo i Fatu zvichajno ne mig pobuduvati orbiti vsih tochok ploshini jomu dovodilosya robiti vse vruchnu Gruntuyuchis na svoyih rozrahunkah vin doviv sho orbita tochki sho lezhit na vidstani bilshe 2 vid pochatku koordinat zavzhdi jde v neskinchennist Fatu nikoli ne bachiv zobrazhen yaki mi zaraz znayemo yak zobrazhennya mnozhini Mandelbrota tomu sho neobhidnu kilkist obchislen nemozhlivo provesti vruchnu Profesor Benua Mandelbrot buv pershim hto vikoristav dlya cogo komp yuter Fraktali buli opisani Mandelbrotom u 1975 roci v jogo knizi Les Objets Fractals Forme Hasard et Dimension Fraktalni ob yekti forma vipadkovist i rozmirnist U cij knizi Mandelbrot vpershe vikoristav termin fraktal dlya poznachennya matematichnogo fenomena yakij demonstruye nastilki neperedbachuvanu i divnu povedinku Ci fenomeni narodzhuvalisya pri vikoristanni rekursivnogo algoritmu dlya otrimannya yakoyi nebud krivoyi abo mnozhini Mnozhina Mandelbrota odin iz takih fenomeniv nazvanij za imenem svogo doslidnika Pobudova mnozhiniNevazhko dovesti sho yak tilki modul zn viyavitsya bilshim vid 2 abo u terminah dijsnoyi i uyavnoyi chastin xn2 yn2 gt 4 poslidovnist pryamuvatime do neskinchennosti U razi c 2 ce mozhna dovesti za dopomogoyu metodu matematichnoyi indukciyi Pri c gt 2 tochka c ne nalezhit mnozhini Mandelbrota sho takozh mozhna vivesti metodom indukciyi vikoristovuyuchi rivnist z0 0 Hocha v comu vipadku mozhe isnuvati inshe z0 dlya yakogo vidpovidna poslidovnist obmezhena za modulem ale dlya deyakogo n vikonuyetsya nerivnist zn gt 2 Porivnyannya zn z cim chislom v anglomovnij literaturi jogo nazivayut bail out dozvolyaye vidilyati tochki sho ne potraplyayut vseredinu mnozhini Dlya tochok sho lezhat vseredini mnozhini poslidovnist ne bude mati tendenciyi do neskinchennosti i nikoli ne dosyagne cogo chisla tomu pislya pevnogo chisla iteracij rozrahunok neobhidno primusovo zavershiti Maksimalne chislo iteracij pislya yakih chislo vvazhayetsya takim sho potrapilo vseredinu mnozhini zadayetsya v programi Zobrazhennya otrimane takim sposobom ye lishe nablizhennyam do realnoyi mnozhini Mandelbrota Bilsh yakisni rezultati mozhna otrimuvati zbilshuyuchi maksimalnu kilkist iteracij odnak pri comu proporcijno zrostaye i chas rozrahunkiv Dodannya koloru Fragment mezhi mnozhini Mandelbrota v kolorovomu varianti Strogo matematichno zobrazhennya mnozhin Mandelbrota ta Zhulia povinni buti chorno bilimi Tochka abo potraplyaye u mnozhinu abo ni Nezvazhayuchi na ce za dopomogoyu komp yutera mozhna pobuduvati i kolorovi zobrazhennya Najposhirenishim sposobom ye rozfarbovuvannya tochok zovni mnozhini v kolir sho vidpovidaye kilkosti iteracij za yaku tochka jde v neskinchennist abo z tochki zoru programi na pevnu vidstan vid nulya Poryadok viznachennya potraplyaye tochka z0 vseredinu mnozhini yaka tradicijno zafarbovuyetsya chornim kolorom chi ni zafarbovuyetsya kolorom zalezhnim vid shvidkosti ruhu v neskinchennist takij na kozhnij iteraciyi dlya zn xn yn i obchislyuyetsya znachennya modulya z n x n 2 y n 2 displaystyle z n sqrt x n 2 y n 2 yakij potim porivnyuyetsya z mezheyu neskinchennosti zazvichaj beretsya znachennya sho dorivnyuye 2 Tut vazhlivo zvernuti uvagu sho vzhe na danomu etapi mozhna zaprovaditi pevnu optimizaciyu obchislen yaksho ne pereviryati x n 2 y n 2 gt 2 displaystyle sqrt x n 2 y n 2 gt 2 a x n 2 y n 2 gt 4 displaystyle x n 2 y n 2 gt 4 sho znachno znizit chas rozrahunkiv Takim chinom yaksho zn 2 4 za bud yakogo chisla iteracij na praktici pri vsih obchislenih iteraciyah to kolir tochki chornij v inshomu vipadku vin zalezhit vid ostannogo znachennya n za yakogo zn 2 4 Znachennya n faktichno oznachaye shvidkist ruhu zn v neskinchennist i mozhe buti prosto indeksom u tablici koloriv abo vikoristovuvatis yak parametr u bilsh skladnomu algoritmi Danij algoritm viznachaye sho yaksho tochka viddalyayetsya bilshe nizh na 2 vid pochatku koordinat to vona lezhit zovni mnozhini Mandelbrota Dlya togo shob viznachiti sho tochka lezhit vseredini mnozhini ye bagato sposobiv Najprostishe rishennya obmezhiti kilkist iteracij pevnim maksimumom Yaksho tochka ne vijshla za zaznachenu mezhu mozhna vvazhati sho vona znahoditsya vseredini mnozhini Tochkam bilya mezhi mnozhini potribno bilshe iteracij dlya vihodu v neskinchennist Tomu taki oblasti promalovuyutsya pomitno dovshe Chim dali vid kordoniv mnozhini tim visha shvidkist vidhodu v neskinchennist Dlya takih tochok potribno menshe iteracij Optimizaciya Odnim zi sposobiv zmenshennya obsyagu obchislen pri obchislenni zagalnoyi kartini mnozhini mozhe sluzhiti perevirka chi potraplyaye tochka v oblast golovnoyi kardioyidi Formula kardioyidi v polyarnih koordinatah viglyadaye tak r c 1 2 1 2 cos 8 displaystyle rho c frac 1 2 frac 1 2 cos theta Takim chinom dlya tochki x y displaystyle x y neobhidno obchisliti r x 1 4 2 y 2 displaystyle rho sqrt left x frac 1 4 right 2 y 2 8 atn 2 y x 1 4 displaystyle theta operatorname atn 2 left y x frac 1 4 right r c 1 2 1 2 cos 8 displaystyle rho c frac 1 2 frac 1 2 cos theta Yaksho r r c displaystyle rho leqslant rho c to tochka x y displaystyle x y potraplyaye vseredinu mnozhini i zafarbovuyetsya chornim kolorom a povtorne obchislennya mozhna propustiti Na praktici najbilshe zmenshennya obsyagu obchislen daye trasuvannya mezhi yaksho ye deyaka zamknuta kriva sho ne peretinaye vis abscis kozhna tochka yakoyi jde za mezhu angl bail out za odnakove chislo iteracij abo navpaki nalezhit mnozhini Mandelbrota to bud yaka tochka vseredini ciyeyi krivoyi bude voloditi tiyeyu zh vlastivistyu a otzhe vsya oblast vseredini mezhi zafarbovuyetsya odnakovim kolorom Zv yazok z mnozhinoyu ZhyuliaFragment mnozhini Mandelbrota sho lezhit v rajoni yiyi mezhi Fraktal Zhyulia Zbilshennya na mezhi mnozhini Mandelbrota formuye zobrazhennya analogichni mnozhini Zhyulia Mnozhina Mandelbrota spochatku bula pobudovana yak katalog mnozhin Zhyulia kozhnij tochci na kompleksnij ploshini vidpovidaye svoya mnozhina Zhyulia Tochki sho nalezhat mnozhini Mandelbrota vidpovidayut zv yaznim mnozhinam Zhyulia a tochki yaki ne nalezhat nezv yaznim Zvidsi zrozumilo sho cikavi varianti mnozhini Zhyulia vidpovidayut tochkam sho lezhat na mezhi mnozhini Mandelbrota Tochki gliboko vseredini utvoryuyut prosti geometrichni figuri a zovnishni viglyadayut yak pil sho otochuye kolorovi plyami Deyaki programi napriklad Fractint dozvolyayut koristuvachevi pryamo na ekrani vkazati tochku dlya yakoyi neobhidno pobuduvati vidpovidnu mnozhinu Zhyulia sproshuyuchi poshuk krasivih zobrazhen Mnozhina Mandelbrota j sama mistit strukturi sho nagaduyut mnozhinu Zhyulia dlya bud yakogo c displaystyle c oblast mnozhini Mandelbrota poblizu c displaystyle c nagaduye centr mnozhini Zhyulia z parametrom c displaystyle c Yaksho silno zbilshiti mnozhinu Mandelbrota v granichnij tochci c i te zh same zrobiti z mnozhinoyu Zhyulia dlya cogo zh znachennya c i v cij samij tochci to kartini budut asimptotichno pryamuvati odna do odnoyi pri zrostanni zbilshennya Variaciyi mnozhini MandelbrotaNajchastishe pid nazvoyu mnozhina Mandelbrota rozumiyetsya tilki mnozhina opisana vishe Odnak bud yaka funkciya kompleksnoyi zminnoyi maye vidpovidnu mnozhinu Mandelbrota sho takozh harakterizuyetsya nayavnistyu abo vidsutnistyu zv yaznoyi mnozhini Zhyulia Napriklad mozhna poklasti fc z z3 c Todi dlya kozhnogo znachennya c pereviryayetsya zv yaznist mnozhini Zhyulia funkciyi fc i za nayavnosti zv yaznosti vvazhayetsya sho c nalezhit mnozhini Mandelbrota V opisanomu vipadku zv yaznist mozhna pereviriti tim samim sposobom sho j dlya fc z z2 c Ci tverdzhennya mozhna uzagalniti i na mnozhini Zhyulia viznachuvani bilshe nizh dvoma chislami Napriklad bezlich Zhyulia obumovlena troma dijsnimi chislami maye vidpovidnu trivimirnu mnozhinu Mandelbrota Rozglyadayutsya i bagatovimirni variaciyi mnozhini Mandelbrota Tak trivimirnij analog otrimav nazvu lampochka Mandelbrota hocha klasichni analogi na kompleksnih chislah isnuyut tilki v rozmirnosti rivnij stepenyu 2 Zastosuvannya mnozhini MandelbrotaBezlich Mandelbrota znahodit zastosuvannya dlya analizu viniknennya turbulentnosti u fizici plazmi i termodinamici rozvitku bifurkacij tosho dzherelo ne vkazano 61 den Zastosuvannya mnozhini Mandelbrota v mistectviPoshuk garnih zobrazhen mnozhini Mandelbrota cikave hobi dlya duzhe bagatoh lyudej Voni zbirayut kolekciyi takih zobrazhen prichomu kozhne z nih mozhe buti opisane nevelikoyu kilkistyu parametriv napriklad prosto koordinatami centra Koordinati centra 1 7433419053321 0 0000907687489 shirina 0 00000000374 Koordinati centra 1 88488933694469 8 1387 10 10 shirina 2 4 10 13 Koordinati centra 0 777807810193171 0 131645108003206 shirina 3 2 10 15 Koordinati centra 0 56267837374 0 65679461735 shirina 0 000000064 Ye velika kilkist program dlya malyuvannya fraktaliv ale nezvazhayuchi na ce bagato lyudej pishut svoyi programi dlya bilshoyi gnuchkosti pri eksperimentah Napriklad ci animovani zobrazhennya buli stvoreni takim sposobom Koordinati centra 0 56267837374 0 65679461735 shirina 0 000000064 Koordinati centra 1 96680095 0 00000478 shirina 0 00000014 Koordinati centra 1 7433419053321 0 0000907687489 shirina 0 00000000374Matematichni fakti pro mnozhinu MandelbrotaDouady i Hubbard doveli sho mnozhina Mandelbrota ye zv yaznoyu hocha v ce j vazhko poviriti divlyachis na hitri sistemi mostiv sho z yednuyut rizni yiyi chastini Zv yaznist mnozhini Mandelbrota viplivaye z togo sho vona ye peretinom vkladenih zv yazknih kompaktnih mnozhin Odnak nevidomo chi ye vona lokalno zv yaznoyu Cya vidoma gipoteza v kompleksnij dinamici otrimala nazvu MLC angl Mandelbrot locally connected Bagato matematikiv dokladayut zusil do yiyi dovedennya Jean Christophe Yoccoz doviv sho gipoteza pravilna u vsih tochkah zi skinchennoyu renormalizaciyeyu potim bagato inshih matematikiv dovodili spravedlivist gipotezi u bagatoh okremih tochkah mnozhini Mandelbrota ale zagalna gipoteza zalishayetsya nedovedenoyu Mitsuhiro Shishikura doviv sho rozmirnist Gausdorfa mezhi mnozhini Mandelbrota dorivnyuye 2 Ale zalishayetsya nevidomoyu vidpovid na pitannya chi maye mezha mnozhini Mandelbrota dodatnu miru Lebega na ploshini Chislo iteracij dlya bud yakoyi tochki v pobudovi mnozhini duzhe blizke do logarifma elektrichnogo potencialu sho vinikaye yaksho zaryaditi mnozhinu Mandelbrota Tochnishe granicya ln ln z n 2 n const displaystyle ln big ln z n 2 n big text const zbigayetsya z cim potencialom Yak namalyuvati Varto zauvazhiti sho yaksho Z displaystyle Z vijde za mezhi kompleksnogo kola radiusu 2 displaystyle 2 to vzhe nikoli ne povernetsya nazad Dijsno yaksho c 2 displaystyle c leq 2 i f c n 0 2 displaystyle left f c n 0 right geq 2 to f c n 1 0 f c n 0 2 c f c n 0 2 c f c n 0 2 c 4 2 2 displaystyle left f c n 1 0 right left f c n 0 2 c right geq left f c n 0 2 right c left f c n 0 right 2 c geq 4 2 2 i za metodom matematichnoyi indukciyi vsi nastupni iteraciyi tezh poza kolom radiusa 2 displaystyle 2 Yaksho zh c gt 2 displaystyle c gt 2 to f c 1 0 c c displaystyle left f c 1 0 right c geq c i f c n 1 0 f c n 0 2 c f c n 0 2 c c 2 c c gt 2 displaystyle left f c n 1 0 right left f c n 0 2 c right geq left f c n 0 2 right c geq c 2 c geq c gt 2 tut verhnij indeks poznachaye nomer iteraciyi Tomu varto vklyuchati v mnozhinu Mandelbrota lishe ti tochki sho ne vijshli za mezhi kola protyagom pevnogo chisla iteracij Kod movoyu Python sho za rozmirami generuye zobrazhennya mnozhini Mandelbrota na yakomu kolir poznachaye nomer iteraciyi rozbizhnosti author Nikita Skybytskyi Mandelbrot set in 16 lines of code import numpy as np import matplotlib pyplot as plt def mandelbrot h w max iter 40 Returns an image of the Mandelbrot fractal of size h w y x np ogrid 1 5 1 5 h 1 j 2 1 w 1 j c x y 1 j z c div time max iter np zeros z shape dtype int for iteration in range max iter z z 2 c diverge z np conj z gt 2 2 orbiti yakih tochok rozhodyatsya div now diverge amp div time max iter orbiti yakih tochok pochinayut rozhoditisya na cij iteraciyi div time div now iteration zapam yatovuyemo hto koli pochinaye rozhoditisya z diverge 2 unikayemo nadto silnoyi rozbizhnosti vona mozhe prizvesti do perepovnennya return div time plt imshow mandelbrot 800 800 plt show PrimitkiPixel Counting 17 chervnya 2017 u Wayback Machine angl Za Pisneyu pro mnozhinu Mandelbrota Jonathan Coulton Mandelbrot Set 10 kvitnya 2007 u Wayback Machine mp3 tezh mozhna zvantazhiti bezplatno LiteraturaBenua Mandelbrot Richard L Hadson Ne poslushnye rynki fraktalnaya revolyuciya v finansah The Misbehavior of Markets M Vilyams 2005 S 400 ISBN 5 8459 0922 8 Div takozhBenua Mandelbrot Buddabrot Fraktal Lampochka Mandelbrota Palayuchij korabelPosilannyaVideo 10 hvilin zapamorochlivogo zanurennya u mnozhinu Mandelbrota 18 lyutogo 2019 u Wayback Machine Mnozhini Mandelbrota ta Zhyulia na sajti FractalWorld 7 lipnya 2019 u Wayback Machine Benoit Mandelbrot Fractals and the art of roughness 17 lyutogo 2014 u Wayback Machine zapis vistupu na konferenciyi TED Mandelbrot 4 0 13 lipnya 2021 u Wayback Machine bezplatna pid gromadskoyu licenziyeyu GNU programa dlya stvorennya mnozhin Mandelbrota ta Zhyulia QuickMAN v 1 10 2 kvitnya 2019 u Wayback Machine bezplatna pid gromadskoyu licenziyeyu GNU 2 programa dlya stvorennya mnozhini Mandelbrota angl Interaktivna JavaScript vizualizaciya mnozhini Mandelbrota 8 bereznya 2019 u Wayback Machine