Спря́жені функтори — пара функторів, що перебувають у певному співвідношенні між собою. Спряжені функтори часто зустрічаються в різноманітних галузях математики.
Неформально, функтори F і G є спряженими, якщо вони задовольняють співвідношенню . Тоді F називається лівим спряженим функтором, а G — правим.
Мотивація
Спряжені функтори — один з ключових інструментів теорії категорій, багато важливих математичних конструкцій можна описати як спряжені функтори. В результаті із загальних теорем про спряжені функтори, таких як еквівалентність різних означень, і з того факту, що праві спряжені функтори комутують з границями (а ліві — з кограницями), можуть негайно випливати доведення багатьох цікавих результатів.
Розв'язок оптимізаційної задачі
Можна сказати, що спряжений функтор є способом вказівки найбільш ефективного розв'язку певної задачі за допомогою стандартного методу. Наприклад, елементарна проблема з теорії кілець — вкладення кільця без одиниці у кільце з одиницею. Найбільш ефективним способом це зробити є додавання в кільце одиниці, всіх елементів, необхідних для виконання аксіом кільця (наприклад, елементи типу r + 1, де r — елемент кільця) без припущення якихось співвідношень в новому кільці, які не потрібні для виконання аксіом. Ця конструкція є стандартною в тому сенсі, що вона працює для будь-якого кільця без одиниці.
Наведений вище опис є дуже розпливчастим але його можна зробити точним, використовуючи мову теорії категорій: конструкція є «найбільш ефективною», якщо вона задовольняє універсальні властивості, і «стандартною» в тому сенсі, що вона задає функтор. Універсальні властивості діляться на початкові і термінальні і оскільки ці поняття є двоїстими, досить розглянути одне з них.
Ідея використання початкової властивості полягає в тому щоб сформулювати проблему в термінах такої допоміжної категорії E, щоб залишилося лише знайти початковий об'єкт E. Таке формулювання має ту перевагу, що завдання «знаходження найбільш ефективного розв'язку» стає чітким і в якомусь сенсі подібним до завданням знаходження екстремуму. Для вибору правильної категорії E іноді потрібно підбирати непрості прийоми: у випадку півкільця R потрібна категорія — це категорія, об'єкти якої — гомоморфізми кілець R → S, де S — деяке кільце з одиницею. Морфізм в E між R → S1 і R → S2 — комутативні трикутники виду ( R → S1 , R → S2, S1 → S2), де S1 → S2 — гомоморфізм кілець. Існування морфізма між R → S 1 і R → S2 означає, що S1 є не менш ефективним розв'язком задачі, ніж S2 : S2 має більше доданих елементів і (або) більше співвідношень між ними, ніж S1.
Метод визначає «найбільш ефективний» і «стандартний» розв'язок задач, якщо він задає спряжені функтори.
Формальні означення
Існують кілька еквівалентних означень спряжених функторів. Їх еквівалентність є елементарною але не тривіальною.
Означення за допомогою універсальної стрілки [⇨] легко сформулювати, воно також найближче до інтуїції з приводу «оптимізаційної задачі».
Означення за допомогою одиниці і коодиниці [⇨] є зручно для функторів, часто зустрічаються в алгебрі, тому що використовує формули, які можна перевірити безпосередньо.
Означення за допомогою множин Hom [⇨] робить очевидною симетричність означення і прояснює причини для через які функтори називаються «спряженими».
Універсальна стрілка
Функтор F: C ← D називається лівим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта X категорії C існує (термінальна стрілка) εX з F у X. Якщо для кожного X у C вибрати об'єкт G0 X у D, для якого визначена термінальна стрілка εX : F(G0 X) → X, то існує єдиний функтор G: C → D , такий, що GX = G0 X і для будь-якого морфізма в категорії C f: X → X' виконується ε X' ∘ FG(f) = f ∘ εX; F тоді називають лівим спряженим до функтора G.
Функтор G: C → D називається правим спряженим функтором, якщо для кожного об'єкта Y категорії D існує (початкова стрілка) з Y у G. Якщо для кожного Y у D вибрати об'єкт F 0 Y у C, такий, що визначена початкова стрілка η Y: Y → G (F0 Y) з Y в G, то існує єдиний функтор F: C ← D, такий, що FY = F0 Y і GF(g) ∘ η Y = ηY' ∘ g для g: Y → Y' — морфізма у D; G тоді називають правим спряженим до функтора F.
Функтор F є лівим спряженим для G тоді і тільки тоді, коли G є правим спряженим для F. Однак це не очевидно з означення через універсальну стрілку але очевидно завдяки означенню через одиницю і коодиницю.
Одиниця і коодиниця
Для задання одиниці і коодиниці в категоріях C і D потрібно зафіксувати два функтори F: C ← D, G: C → D і два натуральні перетворення:
- ,
що називаються відповідно коодиницею і одиницею спряження, таких, що композиції
- і
є тотожними перетвореннями 1F і 1G функторів F і G відповідно.
У такій ситуації F є лівим спряженим для G і G є правим спряженим для F. Іноді це відношення позначають або просто .
У формі рівнянь наведені вище умови на (ε, η) називаються рівняннями коодиниці і одиниці:
Означення через функтори Hom
Розглянемо два функтори F: C ← D і G: C → D . Нехай існує натуральний ізоморфізм:
- .
Він визначає сім'ю бієкцій:
- .
для всіх об'єктів X у C і Y у D .
Тут F називається лівим спряженим для G і G — правим спряженим для F.
Щоб зрозуміти, що мається на увазі під натуральністю Φ, потрібно пояснити, яким чином homC(F -, -) і homD(-, G -) є функторами. Насправді, вони обидва є біфункторами з Dop×C у Set. В явному вигляді натуральність Φ означає, що для всіх морфізмів f: X → X' у C і морфізма g:Y' → Y у D діаграма нижче комутує:
Вертикальні стрілки на діаграмі породжуються композиціями морфізмів. Наприклад, для h у HomC(FY, X) за означенням Hom(Fg, f) : HomC(FY, X) → HomC(FY′, X′) задається як h → f o h o Fg . Подібним є і означення Hom(g, Gf).
В інший спосіб можна описати натуральність так, що для всіх об'єктів X, X' у C і Y, Y' у D, для всіх морфізмів h у HomC(FY, X) і f: X → X'
і для всіх морфізмів j у HomC(Y , GX) і g: Y' → Y:
Приклади
Вільні групи
Конструкція вільної групи є зручним прикладом для прояснення суті означень. Нехай F: Grp ← Set — функтор, який множині Y зіставляє вільну групу, породжену елементами Y, і G: Grp → Set — , що зіставляє групі X її множину-носій. Тоді F — лівий спряжений для G:
Термінальні стрілки: для кожної групи X, група FGX — вільна група, породжена елементами X як множиною. Нехай — гомоморфізм груп, який переводить породжуючі елементи FGX у відповідні елементи X. Тоді — термінальний морфізм з F у X, тому що будь-який гомоморфізм з вільної групи FZ в X розкладається через за допомогою єдиної функції з множини Z в множину X. Це означає, що (F, G) — пара спряжених функторів.
Множині Hom відображення з вільної групи FY у групу X однозначно відповідають відображенням множини Y у множину GX: кожен гомоморфізм однозначно визначається своїми значеннями на породжуючих елементах вільної групи. Прямим обчисленням можна перевірити, що ця відповідність — натуральне перетворення, а тому, пара (F, G) є спряженою.
Подальші приклади з алгебри
- Всі — результати застосування вільного функтора, який є лівим спряженим для .
- добутки, ядра і — приклади категорних границь. Всі такі функтори є правими спряженими до . Аналогічно, кодобуток, коядра і є кограницями і є лівими спряженими до діагонального функтора.
- Додавання одиниці в кільце без одиниці (приклад з розділу «Мотивація»). Якщо задано кільце без одиниці R, то відповідне йому кільце з одиницею — добуток R×Z, на якому задано Z-білінійний добуток за формулою (r, 0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r , 0), (r, 0)(s, 0) = (rs, 0), (0,1)(0,1) = (0,1). Побудований функтор є спряженим зліва до забуваючого функтора, що відправляє кільце з одиницею в те ж кільце у категорії кілець, що можуть не мати одиниці.
- Розширення кілець. Нехай R і S — кільця, і ρ: R → S — гомоморфізм кілець . Тоді S можна розглядати як (лівий) R-модуль, і тензорний добуток з S визначає функтор F: R-Mod → S-Mod. Тоді F є спряженим зліва до забуваючого функтора G: S-Mod → R-Mod.
- Тензорні добутки. Якщо R — кільце і M — правий R-модуль, то тензорний добуток з M визначає функтор F: R-Mod → Ab. Функтор G: Ab → R-Mod, визначений як G(A) = homZ(M, A) є спряженим справа до F.
- Поле часток. Для категорії Domm областей цілісності і ін'єктивних гомоморфізмів, забуваючий функтор Field → Domm має лівий спряжений, що зіставляє кожній області цілісності її поле часток.
- Кільця многочленів . Для Ring* — категорії комутативних кілець із зазначеним елементом і гомоморфізмів, що зберігають зазначений елемент, забуваючий функтор G: Ring* → Ring має лівий спряжений — він зіставляє кільцю R пару (R[x],x), де R[x] — кільце многочленів з коефіцієнтами з R.
- Забуваючий функтор U: Grp → Mon із категорії груп у групу моноїдів має як лівий спряжений, так і правий спряжений функтори. Лівий спряжений зіставляє моноїду M групу Mgp, яку можна одержати як факторгрупу вільної групи породженої елементами по нормальній підгрупі породженій елементами виду Правий спряжений функтор зіставляє моноїду його підгрупу оборотних елементів.
- Абелізація. Забуваючий функтор U: Ab → Grp має лівий спряжений, що називається функтором абелізаціі, який кожній групі G зіставляє факторгрупу по комутанту: Gab = G/[G, G]. Для групи G її абелізація має універсальну властивість: кожен гомоморфізм із G у абелеву групу A однозначно записується як де є відображенням факторизації а — однозначно визначеним гомоморфізмом абелевих груп.
- Бієкцію між множинами homAb(Gab, A) і homGrp(G,U(A)) задається так: гомоморфізму абелевих груп відповідає гомоморфізм а гомоморфізму із G у абелеву групу A, визначений вище гомоморфізм
Приклади з топології
- Функтор з двома спряженими. Нехай G — функтор, що зіставляє топологічному простору його множину-носій (тобто забуває топологію). У G є лівий спряжений F, який надає множині дискретну топологію, і правий спряжений H, який надає множині тривіальну топологію.
- Надбудова і простір петель. Для даних топологічних просторів X і Y можна побудувати простір [SX,Y] класів гомотопії відображень з надбудови SX у Y. Він є ізоморфним простору [X, ΩY ] класів гомотопії відображень з X у простір петель ΩY, тому функтори надбудови і простору петель є спряженими в гомотопічній категорії топологічних просторів.
- Вкладення G: KHaus → Top категорії компактних гаусдорфових просторів в категорію топологічних просторів має лівий спряжений функтор F: Top → KHaus — компактифікацію Стоуна — Чеха. Коодиниця цієї пари задає неперервне відображення з довільного топологічного простору X у його компактифікацію. Це відображення є вкладенням тоді і тільки тоді, коли X — цілком регулярний простір.
Властивості
Існування
Не кожен функтор G: C → D має лівий або правий спряжений. Якщо C — повна категорія, то згідно теореми про спряжені функтори Петера Фрейда G має лівий спряжений тоді і тільки тоді, коли для будь-якого Y з категорії D існує сім'я морфізмів:
- f i: Y → G(Xi),
де індекси i пробігають множина I, таке, що будь-який морфізм:
- h: Y → G(X)
може бути записаний як:
- h = G(t) o fi
для деякого i e I і деякого морфізма:
- t: Xi → X e C.
Аналогічне твердження характеризує функтори, що мають правий спряжений.
Єдиність
Якщо функтор F: C ← D має два правих спряжених G і G' , то G' і G є натурально ізоморфними.
Навпаки, якщо F є спряженим зліва до G, і G натурально ізоморфний G' , то F також є спряженим зліва до G '.
Композиція
Для спряжень можна ввести композиції. Якщо <F, G, ε, η> — спряження між C і D , і <F',G' , ε ', η'> — спряження між D і E, то функтор
є спряженим зліва до функтора
- .
Можна утворити категорію, об'єктами якої є всі малі категорії, а морфізмами — спряження.
Комутування з границями
Найбільш важлива властивість спряжених функторів — їх неперервність: кожний функтор, що має лівий спряжений (тобто є правим спряженим), комутує з границями в категорному сенсі. Відповідно, функтор, що має правий спряжений, є конеперервним, тобто комутує з кограницями. Оскільки багато конструкцій є границями або кограницями, з цього відразу випливає кілька наслідків. Наприклад:
- Застосування правого спряженого функтора до добутку дає добуток образів.
- Застосування лівого спряженого функтора до кодобутку дає кодобуток образів.
- Кожний правий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним зліва.
- Кожний лівий спряжений і адитивний функтор між абелевими категоріями є точним справа.
Див. також
Література
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). (PDF). John Wiley & Sons. ISBN . Zbl 0695.18001. Архів оригіналу (PDF) за 21 квітня 2015. Процитовано 19 лютого 2020.
- Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Volume 1. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press. ISBN .
- Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN .
- Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Т. 5 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN . Zbl 0906.18001.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Sprya zheni funktori para funktoriv sho perebuvayut u pevnomu spivvidnoshenni mizh soboyu Spryazheni funktori chasto zustrichayutsya v riznomanitnih galuzyah matematiki Neformalno funktori F i G ye spryazhenimi yaksho voni zadovolnyayut spivvidnoshennyu H o m F X Y H o m X G Y displaystyle mathrm Hom F X Y mathrm Hom X G Y Todi F nazivayetsya livim spryazhenim funktorom a G pravim MotivaciyaSpryazheni funktori odin z klyuchovih instrumentiv teoriyi kategorij bagato vazhlivih matematichnih konstrukcij mozhna opisati yak spryazheni funktori V rezultati iz zagalnih teorem pro spryazheni funktori takih yak ekvivalentnist riznih oznachen i z togo faktu sho pravi spryazheni funktori komutuyut z granicyami a livi z kogranicyami mozhut negajno viplivati dovedennya bagatoh cikavih rezultativ Rozv yazok optimizacijnoyi zadachi Mozhna skazati sho spryazhenij funktor ye sposobom vkazivki najbilsh efektivnogo rozv yazku pevnoyi zadachi za dopomogoyu standartnogo metodu Napriklad elementarna problema z teoriyi kilec vkladennya kilcya bez odinici u kilce z odiniceyu Najbilsh efektivnim sposobom ce zrobiti ye dodavannya v kilce odinici vsih elementiv neobhidnih dlya vikonannya aksiom kilcya napriklad elementi tipu r 1 de r element kilcya bez pripushennya yakihos spivvidnoshen v novomu kilci yaki ne potribni dlya vikonannya aksiom Cya konstrukciya ye standartnoyu v tomu sensi sho vona pracyuye dlya bud yakogo kilcya bez odinici Navedenij vishe opis ye duzhe rozplivchastim ale jogo mozhna zrobiti tochnim vikoristovuyuchi movu teoriyi kategorij konstrukciya ye najbilsh efektivnoyu yaksho vona zadovolnyaye universalni vlastivosti i standartnoyu v tomu sensi sho vona zadaye funktor Universalni vlastivosti dilyatsya na pochatkovi i terminalni i oskilki ci ponyattya ye dvoyistimi dosit rozglyanuti odne z nih Ideya vikoristannya pochatkovoyi vlastivosti polyagaye v tomu shob sformulyuvati problemu v terminah takoyi dopomizhnoyi kategoriyi E shob zalishilosya lishe znajti pochatkovij ob yekt E Take formulyuvannya maye tu perevagu sho zavdannya znahodzhennya najbilsh efektivnogo rozv yazku staye chitkim i v yakomus sensi podibnim do zavdannyam znahodzhennya ekstremumu Dlya viboru pravilnoyi kategoriyi E inodi potribno pidbirati neprosti prijomi u vipadku pivkilcya R potribna kategoriya ce kategoriya ob yekti yakoyi gomomorfizmi kilec R S de S deyake kilce z odiniceyu Morfizm v E mizh R S1 i R S2 komutativni trikutniki vidu R S1 R S2 S1 S2 de S1 S2 gomomorfizm kilec Isnuvannya morfizma mizh R S 1 i R S2 oznachaye sho S1 ye ne mensh efektivnim rozv yazkom zadachi nizh S2 S2 maye bilshe dodanih elementiv i abo bilshe spivvidnoshen mizh nimi nizh S1 Metod viznachaye najbilsh efektivnij i standartnij rozv yazok zadach yaksho vin zadaye spryazheni funktori Formalni oznachennyaIsnuyut kilka ekvivalentnih oznachen spryazhenih funktoriv Yih ekvivalentnist ye elementarnoyu ale ne trivialnoyu Oznachennya za dopomogoyu universalnoyi strilki legko sformulyuvati vono takozh najblizhche do intuyiciyi z privodu optimizacijnoyi zadachi Oznachennya za dopomogoyu odinici i koodinici ye zruchno dlya funktoriv chasto zustrichayutsya v algebri tomu sho vikoristovuye formuli yaki mozhna pereviriti bezposeredno Oznachennya za dopomogoyu mnozhin Hom robit ochevidnoyu simetrichnist oznachennya i proyasnyuye prichini dlya cherez yaki funktori nazivayutsya spryazhenimi Universalna strilka Funktor F C D nazivayetsya livim spryazhenim funktorom yaksho dlya kozhnogo ob yekta X kategoriyi C isnuye terminalna strilka eX z F u X Yaksho dlya kozhnogo X u C vibrati ob yekt G0 X u D dlya yakogo viznachena terminalna strilka eX F G0 X X to isnuye yedinij funktor G C D takij sho GX G0 X i dlya bud yakogo morfizma v kategoriyi C f X X vikonuyetsya eX FG f f eX F todi nazivayut livim spryazhenim do funktora G Funktor G C D nazivayetsya pravim spryazhenim funktorom yaksho dlya kozhnogo ob yekta Y kategoriyi D isnuye pochatkova strilka z Y u G Yaksho dlya kozhnogo Y u D vibrati ob yekt F 0 Y u C takij sho viznachena pochatkova strilka h Y Y G F0 Y z Y v G to isnuye yedinij funktor F C D takij sho FY F0 Y i GF g h Y hY g dlya g Y Y morfizma u D G todi nazivayut pravim spryazhenim do funktora F Funktor F ye livim spryazhenim dlya G todi i tilki todi koli G ye pravim spryazhenim dlya F Odnak ce ne ochevidno z oznachennya cherez universalnu strilku ale ochevidno zavdyaki oznachennyu cherez odinicyu i koodinicyu Odinicya i koodinicya Dlya zadannya odinici i koodinici v kategoriyah C i D potribno zafiksuvati dva funktori F C D G C D i dva naturalni peretvorennya e F G 1 C h 1 D G F displaystyle begin aligned varepsilon amp FG to 1 mathcal C eta amp 1 mathcal D to GF end aligned sho nazivayutsya vidpovidno koodiniceyu i odiniceyu spryazhennya takih sho kompoziciyi F F h F G F e F F displaystyle F xrightarrow F eta FGF xrightarrow varepsilon F F i G h G G F G G e G displaystyle G xrightarrow eta G GFG xrightarrow G varepsilon G ye totozhnimi peretvorennyami 1F i 1G funktoriv F i G vidpovidno U takij situaciyi F ye livim spryazhenim dlya G i G ye pravim spryazhenim dlya F Inodi ce vidnoshennya poznachayut e h F G displaystyle varepsilon eta F dashv G abo prosto F G displaystyle F dashv G U formi rivnyan navedeni vishe umovi na e h nazivayutsya rivnyannyami koodinici i odinici 1 F e F F h 1 G G e h G displaystyle begin aligned 1 F amp varepsilon F circ F eta 1 G amp G varepsilon circ eta G end aligned Oznachennya cherez funktori Hom Rozglyanemo dva funktori F C D i G C D Nehaj isnuye naturalnij izomorfizm F h o m C F h o m D G displaystyle Phi mathrm hom C F to mathrm hom D G Vin viznachaye sim yu biyekcij F Y X h o m C F Y X h o m D Y G X displaystyle Phi Y X mathrm hom C FY X to mathrm hom D Y GX dlya vsih ob yektiv X u C i Y u D Tut F nazivayetsya livim spryazhenim dlya G i G pravim spryazhenim dlya F Shob zrozumiti sho mayetsya na uvazi pid naturalnistyu F potribno poyasniti yakim chinom homC F i homD G ye funktorami Naspravdi voni obidva ye bifunktorami z Dop C u Set V yavnomu viglyadi naturalnist F oznachaye sho dlya vsih morfizmiv f X X u C i morfizma g Y Y u D diagrama nizhche komutuye Naturality of F Vertikalni strilki na diagrami porodzhuyutsya kompoziciyami morfizmiv Napriklad dlya h u HomC FY X za oznachennyam Hom Fg f HomC FY X HomC FY X zadayetsya yak h f o h o Fg Podibnim ye i oznachennya Hom g Gf V inshij sposib mozhna opisati naturalnist tak sho dlya vsih ob yektiv X X u C i Y Y u D dlya vsih morfizmiv h u HomC FY X i f X X F Y X f h G f F Y X h displaystyle Phi Y X f circ h G f circ Phi Y X h i dlya vsih morfizmiv j u HomC Y GX i g Y Y F Y X 1 j g F Y X 1 F g displaystyle Phi Y X 1 j circ g Phi Y X 1 circ F g PrikladiVilni grupi Konstrukciya vilnoyi grupi ye zruchnim prikladom dlya proyasnennya suti oznachen Nehaj F Grp Set funktor yakij mnozhini Y zistavlyaye vilnu grupu porodzhenu elementami Y i G Grp Set sho zistavlyaye grupi X yiyi mnozhinu nosij Todi F livij spryazhenij dlya G Terminalni strilki dlya kozhnoyi grupi X grupa FGX vilna grupa porodzhena elementami X yak mnozhinoyu Nehaj e X F G X X displaystyle varepsilon X FGX to X gomomorfizm grup yakij perevodit porodzhuyuchi elementi FGX u vidpovidni elementi X Todi G X e X displaystyle GX varepsilon X terminalnij morfizm z F u X tomu sho bud yakij gomomorfizm z vilnoyi grupi FZ v X rozkladayetsya cherez e X F G X X displaystyle varepsilon X FGX to X za dopomogoyu yedinoyi funkciyi z mnozhini Z v mnozhinu X Ce oznachaye sho F G para spryazhenih funktoriv Mnozhini Hom vidobrazhennya z vilnoyi grupi FY u grupu X odnoznachno vidpovidayut vidobrazhennyam mnozhini Y u mnozhinu GX kozhen gomomorfizm odnoznachno viznachayetsya svoyimi znachennyami na porodzhuyuchih elementah vilnoyi grupi Pryamim obchislennyam mozhna pereviriti sho cya vidpovidnist naturalne peretvorennya a tomu para F G ye spryazhenoyu Podalshi prikladi z algebri Vsi rezultati zastosuvannya vilnogo funktora yakij ye livim spryazhenim dlya dobutki yadra i prikladi kategornih granic Vsi taki funktori ye pravimi spryazhenimi do Analogichno kodobutok koyadra i ye kogranicyami i ye livimi spryazhenimi do diagonalnogo funktora Dodavannya odinici v kilce bez odinici priklad z rozdilu Motivaciya Yaksho zadano kilce bez odinici R to vidpovidne jomu kilce z odiniceyu dobutok R Z na yakomu zadano Z bilinijnij dobutok za formuloyu r 0 0 1 0 1 r 0 r 0 r 0 s 0 rs 0 0 1 0 1 0 1 Pobudovanij funktor ye spryazhenim zliva do zabuvayuchogo funktora sho vidpravlyaye kilce z odiniceyu v te zh kilce u kategoriyi kilec sho mozhut ne mati odinici Rozshirennya kilec Nehaj R i S kilcya i r R S gomomorfizm kilec Todi S mozhna rozglyadati yak livij R modul i tenzornij dobutok z S viznachaye funktor F R Mod S Mod Todi F ye spryazhenim zliva do zabuvayuchogo funktora G S Mod R Mod Tenzorni dobutki Yaksho R kilce i M pravij R modul to tenzornij dobutok z M viznachaye funktor F R Mod Ab Funktor G Ab R Mod viznachenij yak G A homZ M A ye spryazhenim sprava do F Pole chastok Dlya kategoriyi Domm oblastej cilisnosti i in yektivnih gomomorfizmiv zabuvayuchij funktor Field Domm maye livij spryazhenij sho zistavlyaye kozhnij oblasti cilisnosti yiyi pole chastok Kilcya mnogochleniv Dlya Ring kategoriyi komutativnih kilec iz zaznachenim elementom i gomomorfizmiv sho zberigayut zaznachenij element zabuvayuchij funktor G Ring Ring maye livij spryazhenij vin zistavlyaye kilcyu R paru R x x de R x kilce mnogochleniv z koeficiyentami z R Zabuvayuchij funktor U Grp Mon iz kategoriyi grup u grupu monoyidiv maye yak livij spryazhenij tak i pravij spryazhenij funktori Livij spryazhenij zistavlyaye monoyidu M grupu Mgp yaku mozhna oderzhati yak faktorgrupu vilnoyi grupi porodzhenoyi elementami m m M displaystyle m m in M po normalnij pidgrupi porodzhenij elementami vidu m n n 1 m 1 m n M displaystyle mn n 1 m 1 m n in M Pravij spryazhenij funktor zistavlyaye monoyidu jogo pidgrupu oborotnih elementiv Abelizaciya Zabuvayuchij funktor U Ab Grp maye livij spryazhenij sho nazivayetsya funktorom abelizacii yakij kozhnij grupi G zistavlyaye faktorgrupu po komutantu Gab G G G Dlya grupi G yiyi abelizaciya maye universalnu vlastivist kozhen gomomorfizm f displaystyle varphi iz G u abelevu grupu A odnoznachno zapisuyetsya yak f f m displaystyle varphi bar varphi circ mu de m displaystyle mu ye vidobrazhennyam faktorizaciyi m G G a b displaystyle mu G to G ab a f displaystyle bar varphi odnoznachno viznachenim gomomorfizmom abelevih grup Biyekciyu mizh mnozhinami homAb Gab A i homGrp G U A zadayetsya tak gomomorfizmu abelevih grup ps G a b A displaystyle psi G ab to A vidpovidaye gomomorfizm ps m displaystyle psi circ mu a gomomorfizmu f displaystyle varphi iz G u abelevu grupu A viznachenij vishe gomomorfizm f displaystyle bar varphi Prikladi z topologiyi Funktor z dvoma spryazhenimi Nehaj G funktor sho zistavlyaye topologichnomu prostoru jogo mnozhinu nosij tobto zabuvaye topologiyu U G ye livij spryazhenij F yakij nadaye mnozhini diskretnu topologiyu i pravij spryazhenij H yakij nadaye mnozhini trivialnu topologiyu Nadbudova i prostir petel Dlya danih topologichnih prostoriv X i Y mozhna pobuduvati prostir SX Y klasiv gomotopiyi vidobrazhen z nadbudovi SX u Y Vin ye izomorfnim prostoru X WY klasiv gomotopiyi vidobrazhen z X u prostir petel WY tomu funktori nadbudovi i prostoru petel ye spryazhenimi v gomotopichnij kategoriyi topologichnih prostoriv Vkladennya G KHaus Top kategoriyi kompaktnih gausdorfovih prostoriv v kategoriyu topologichnih prostoriv maye livij spryazhenij funktor F Top KHaus kompaktifikaciyu Stouna Cheha Koodinicya ciyeyi pari zadaye neperervne vidobrazhennya z dovilnogo topologichnogo prostoru X u jogo kompaktifikaciyu Ce vidobrazhennya ye vkladennyam todi i tilki todi koli X cilkom regulyarnij prostir VlastivostiIsnuvannya Ne kozhen funktor G C D maye livij abo pravij spryazhenij Yaksho C povna kategoriya to zgidno teoremi pro spryazheni funktori Petera Frejda G maye livij spryazhenij todi i tilki todi koli dlya bud yakogo Y z kategoriyi D isnuye sim ya morfizmiv f i Y G Xi de indeksi i probigayut mnozhina I take sho bud yakij morfizm h Y G X mozhe buti zapisanij yak h G t o fi dlya deyakogo i e I i deyakogo morfizma t Xi X e C Analogichne tverdzhennya harakterizuye funktori sho mayut pravij spryazhenij Yedinist Yaksho funktor F C D maye dva pravih spryazhenih G i G to G i G ye naturalno izomorfnimi Navpaki yaksho F ye spryazhenim zliva do G i G naturalno izomorfnij G to F takozh ye spryazhenim zliva do G Kompoziciya Dlya spryazhen mozhna vvesti kompoziciyi Yaksho lt F G e h gt spryazhennya mizh C i D i lt F G e h gt spryazhennya mizh D i E to funktor F F C E displaystyle F circ F mathcal C leftarrow mathcal E ye spryazhenim zliva do funktora G G C E displaystyle G circ G mathcal C to mathcal E Mozhna utvoriti kategoriyu ob yektami yakoyi ye vsi mali kategoriyi a morfizmami spryazhennya Komutuvannya z granicyami Najbilsh vazhliva vlastivist spryazhenih funktoriv yih neperervnist kozhnij funktor sho maye livij spryazhenij tobto ye pravim spryazhenim komutuye z granicyami v kategornomu sensi Vidpovidno funktor sho maye pravij spryazhenij ye koneperervnim tobto komutuye z kogranicyami Oskilki bagato konstrukcij ye granicyami abo kogranicyami z cogo vidrazu viplivaye kilka naslidkiv Napriklad Zastosuvannya pravogo spryazhenogo funktora do dobutku daye dobutok obraziv Zastosuvannya livogo spryazhenogo funktora do kodobutku daye kodobutok obraziv Kozhnij pravij spryazhenij i aditivnij funktor mizh abelevimi kategoriyami ye tochnim zliva Kozhnij livij spryazhenij i aditivnij funktor mizh abelevimi kategoriyami ye tochnim sprava Div takozhZobrazhuvanij funktor Funktor Hom Kategoriya matematika Teoriya kategorijLiteraturaI Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Adamek Jiri Herrlich Horst Strecker George E 1990 PDF John Wiley amp Sons ISBN 0 471 60922 6 Zbl 0695 18001 Arhiv originalu PDF za 21 kvitnya 2015 Procitovano 19 lyutogo 2020 Borceux Francis 1994 Handbook of categorical algebra Volume 1 Encyclopedia of mathematics and its applications Cambridge University Press ISBN 0 521 44178 1 Leinster Tom 2014 Basic Category Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 143 Cambridge University Press ISBN 978 1 107 04424 1 Mac Lane Saunders 1998 Categories for the Working Mathematician Graduate Texts in Mathematics T 5 vid 2nd Springer Verlag ISBN 0 387 98403 8 Zbl 0906 18001