Двоїстість (теорія категорій)

Двоїстість у теорії категорій — співвідношення між властивостями категорії C і так званими двоїстими властивостями двоїстої категорії C^op. Взявши твердження щодо категорії C і помінявши місцями образ і прообраз кожного морфізму, як і порядок застосування морфізмів, отримаємо двоїсте твердження, що стосується категорії C^op. Принцип двоїстості полягає в тому, що дійсні твердження після такої операції переходять у дійсні, а хибні — в хибні.

Формальне визначення

Мова теорії категорій визначається як мова першого порядку з двома видами символів — об'єктами та морфізмами, з властивістю об'єкта бути образом або прообразом морфізму, а також із символом для композиції морфізмів.

Нехай σ — будь-яке слово мови. Двоїсте йому слово σ^op утворюється за такими правилами:

• поміняти місцями всі «образи» на «прообрази» σ,
• обернути порядок композиції морфізмів, тобто всі входження ${\displaystyle g\circ f}$ замінити на ${\displaystyle f\circ g}$.

Іншими словами, необхідно обернути всі стрілки та переставити аргументи всіх композицій.

Двоїстість — це спостереження, що σ виконується в деякій категорії C тоді й лише тоді, коли σ^op виконано в C^op.

Приклади

• Морфізм ${\displaystyle f\colon A\to B}$ — мономорфізм, коли з ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ випливає ${\displaystyle g=h}$. Застосувавши операцію двоїстості, отримуємо твердження про те, що з ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ випливає ${\displaystyle g=h}$. Для морфізму ${\displaystyle f\colon B\to A}$, це означає точно те, що f — епіморфізм. Отже, властивість «бути мономорфізмом» двоїста властивості «бути епіморфізмом».
• Границя і кограниця — двоїсті поняття.
• Початковий об'єкт та термінальний об'єкт — двоїсті поняття.

Література

• И. М. Виноградов. Двойственная категория // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.
• И. М. Виноградов. Двойственности принцип // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.
• И. М. Виноградов. S-двойственность // Математическая энциклопедия. — М. : Советская энциклопедия, 1977—1985.