Компактифікація Стоуна — Чеха

Компактифікація - Чеха (також стоун-чехівська або чех-стоунова компактифікація) — максимальна компактифікація цілком регулярного топологічного простору.

Компактифікація Стоуна - Чеха простору ${\displaystyle X}$ зазвичай позначається як ${\displaystyle \beta X}$.

Конструкція

Позначимо через ${\displaystyle A}$ множину всіх неперервних функцій ${\displaystyle \alpha \colon X\to [0,1]}$. Можна перевірити, що відображення ${\displaystyle F:X\to [0,1]^{A}}$ (), визначене рівністю

${\displaystyle x\mapsto (\alpha (x))_{\alpha \in A}}$,

є гомеоморфізмом ${\displaystyle X}$ на свій образ ${\displaystyle F(X)\subset [0,1]^{A}}$. Замикання ${\displaystyle F(X)}$ у ${\displaystyle [0,1]^{A}}$ і буде шуканою компактифікацією.

Властивості

• Будь-яка неперервна функція ${\displaystyle f\colon X\to I=[0,1]}$ продовжується до неперервної функції ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \beta X\to I}$.
• Будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ у компактний гаусдорфів простір ${\displaystyle Y}$ продовжується до неперервного відображення ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon \beta X\to Y}$.

Історія

Конструкція компактифікації Стоуна — Чеха, була вперше розглянута .