Компактифікація

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори у компактні.

Формально компактифікація простору ${\displaystyle X}$ визначається як пара ${\displaystyle (Y,\;f)}$, де ${\displaystyle Y}$ — компактний простір, ${\displaystyle f:X\to Y}$ — гомеоморфізм на свій образ ${\displaystyle f(X)}$ і ${\displaystyle f(X)}$ — щільний у ${\displaystyle Y}$.

На компактифікаціях деякого фіксованого простору ${\displaystyle X}$ можна визначити частковий порядок. Покладемо ${\displaystyle f_{1}\leqslant f_{2}}$ для двох компактифікацій ${\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}$, якщо існує неперервне відображення ${\displaystyle g:Y_{2}\to Y_{1}}$ таке, що ${\displaystyle gf_{2}=f_{1}}$. Максимальний (із точністю до гомеоморфізму) елемент за цього порядку називається компактифікацією Стоуна — Чеха і позначається ${\displaystyle \beta X}$. Для того, щоб у просторі ${\displaystyle X}$ існувала компактифікація Стоуна — Чеха, яка задовольняла б аксіомі віддільності Хаусдорфа, необхідно і достатньо, щоб ${\displaystyle X}$ задовольняв аксіомі віддільності ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$, тобто був цілком регулярним.

Одноточкова компактифікація (або компактифікація Александрова) побудована наступним чином. Нехай ${\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}$ і відкритими множинами в ${\displaystyle Y}$ вважаються всі відкриті множини ${\displaystyle X}$, а також множини вигляду ${\displaystyle O\cup \{\infty \}}$, де ${\displaystyle O\subseteq X}$ має компактне (у ${\displaystyle X}$) доповнення. ${\displaystyle f}$ береться як природне вкладення ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Тоді ${\displaystyle (Y,\;f)}$ — компактифікація, причому ${\displaystyle Y}$ гаусдорфів тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle X}$ — гаусдорфів і локально компактний.

Приклади одноточкової компактифікації

Докладніше: Одноточкова компактифікація

${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ з топологією, побудованою як зазначено вище, є компактним простором. Якщо два простори гомеоморфні, то й відповідні одноточкові компактифікації гомеоморфні^[]. Зокрема, так як коло на площині без однієї точки гомеоморфне з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (приклад гомеоморфізму — стереографічна проєкція), усе коло гомеоморфне з ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$. Аналогічно, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ гомеоморфне з ${\displaystyle n}$-вимірною гіперсферою.

Посилання

1. Також «стоун-чехівська компактифікація» и «чех-стоунова компактифікація».

Див. також

• Проєктивна геометрія