В теорії категорій коядро — поняття, двоїсте до ядра. Ядро є підоб'єктом прообразу, а коядро — фактороб'єктом образу.
Означення
Нехай C — категорія з нульовими морфізмами. Тоді коядро морфізма f : X → Y — морфізм q : Y → Q, такий що:
- qof — нульовий морфізм із X у Q;
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTg0THpnNUwwTnZhMlZ5Ym1Wc0xUQXhMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
- Для будь-якого морфізма
, такого що
— нульовий морфізм, існує єдиний морфізм
, такий що наступна діаграма є комутативною:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTlsTDJWa0wwTnZhMlZ5Ym1Wc0xUQXlMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Як і інші універсальні конструкції, коядро існує не завжди, але якщо існує, то воно є визначеним з точністю до ізоморфізму.
Коядро завжди є епіморфізмом. Навпаки, епіморфізм називається нормальним (іноді — конормальним), якщо він є коядром деякого морфізма. Категорія називається конормальною, якщо будь-який епіморфізм в ній є нормальним.
Приклади
В категорії груп, коядро гомоморфізму груп f : G → H є факторгрупою H по нормальному замиканню образу f. У випадку абелевих груп, оскільки кожна підгрупа є нормальною, coker(f) = H/im(f).
В абелевій категорії образ і кообраз морфізма задаються як
.
Зокрема, будь-який епіморфізм є своїм власним коядром.
Література
- И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1998, p. 64
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi kategorij koyadro ponyattya dvoyiste do yadra Yadro ye pidob yektom proobrazu a koyadro faktorob yektom obrazu OznachennyaNehaj C kategoriya z nulovimi morfizmami Todi koyadro morfizma f X Y morfizm q Y Q takij sho qof nulovij morfizm iz X u Q Dlya bud yakogo morfizma q Y Q displaystyle q Y to Q takogo sho q f displaystyle q circ f nulovij morfizm isnuye yedinij morfizm u Q Q displaystyle u Q to Q takij sho nastupna diagrama ye komutativnoyu Yak i inshi universalni konstrukciyi koyadro isnuye ne zavzhdi ale yaksho isnuye to vono ye viznachenim z tochnistyu do izomorfizmu Koyadro zavzhdi ye epimorfizmom Navpaki epimorfizm nazivayetsya normalnim inodi konormalnim yaksho vin ye koyadrom deyakogo morfizma Kategoriya nazivayetsya konormalnoyu yaksho bud yakij epimorfizm v nij ye normalnim PrikladiV kategoriyi grup koyadro gomomorfizmu grup f G H ye faktorgrupoyu H po normalnomu zamikannyu obrazu f U vipadku abelevih grup oskilki kozhna pidgrupa ye normalnoyu coker f H im f V abelevij kategoriyi obraz i koobraz morfizma zadayutsya yak i m f ker c o k e r f displaystyle mathrm im f ker mathrm coker f c o i m f c o k e r ker f displaystyle mathrm coim f mathrm coker ker f Zokrema bud yakij epimorfizm ye svoyim vlasnim koyadrom LiteraturaI Bukur A Delyanu Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972 Saunders Mac Lane Categories for the Working Mathematician Second Edition 1998 p 64