Абелева категорія — категорія, в якій морфізми можна додавати, існують ядра і коядра і при цьому виконуються деякі додаткові властивості. Прикладом, який став прототипом абелевої категорії є категорія абелевих груп. Поняття абелевої категорії було запропоновано у 1955 році (він використовував назву «точна категорія»). Згодом теорія була розроблена незалежно Александром Гротендіком для об'єднання декількох теорій когомологій. У той час існувала теорія когомологій пучків на алгебричних многовидах і теорія когомологій груп. Ці теорії вводилися по-різному, але мали подібні властивості. Гротендіку вдалося об'єднати ці теорії; обидві вони можуть бути визначені за допомогою похідних функторів на абелевій категорії пучків і абелевій категорії модулів відповідно.
Означення
Нижче подано два означення друге з яких є лише для локально малих категорій. У цьому випадку два означення є еквівалентними.
Перше означення
Категорія є абелевою, якщо:
- У ній існує нульовий об'єкт,
- Існують усі бінарні добутки і кодобутки,
- Для кожного морфізму існує ядро й коядро,
- Усі мономорфізми й епіморфізми є нормальними.
Друге означення
Локально мала категорія називається абелевою, якщо:
- Для всіх об'єктів
на множині
можна ввести структуру абелевої групи.
- Для морфізмів
і
виконуються рівності
і
(білінійність). Категорія, що задовольняє цим властивостям, називається преаддитивною.
- Для довільної скінченної кількості об'єктів існує біпродукт — об'єкт, що є одночасно добутком і кодобутком об'єктів. Зокрема, у категорії є нульовий об'єкт — добуток порожньої множини об'єктів. Категорія, що задовольняє всі наведені властивості, називається аддитивною.
- Для кожного морфізму існує ядро й коядро.
- Всі мономорфізми і епіморфізми є нормальними.
Приклади
- Категорія абелевих груп є абелевою. Категорія скінченнопороджених абелевих груп також є абелевою, як і категорія скінченних абелевих груп.
- Якщо
— кільце, то категорія лівих (або правих) модулів над
є абелевою. Згідно з теоремою Фрейда — Мітчелла про вкладення, будь-яка мала абелева категорія є еквівалентною повній підкатегорії категорії модулів.
- Якщо
— нетерове зліва кільце, то категорія скінченнопороджених лівих
-модулів є абелевою. Зокрема, категорія скінченнопороджених модулів над нетеровим комутативним кільцем є абелевою.
- Категорії векторних росторів і скінченновимірних векторних просторів над довільним полем є абелевими.
- Якщо
— топологічний простір, то категорія пучків абелевих груп на
є абелевою.
- Якщо
— топологічний простір, то категорія векторних розшарувань на
зазвичай не є абелевою, оскільки можуть існувати мономорфізми, що не є ядрами.
Аксіоми Гротендіка
У статті Sur quelques points d'algebre homologique Гротендік запропонував кілька додаткових аксіом, які можуть виконуватися в абелевій категорії .
- AB3) Для будь-якої множини об'єктів
категорії
існує кодобуток
. Дана аксіома еквівалентна коповноті абелевої категорії
.
- AB4)
задовольняє аксіомі AB3) і кодобуток будь-якої сім'ї мономорфізмів є мономорфізмом (тобто кодобуток є точним функтором).
- AB5)
задовольняє аксіомі AB3) і [en] точних послідовностей є точними. Еквівалентно, для будь-якої ґратки
підоб'єктів об'єкта
і будь-якого
— підоб'єкта об'єкта
справедливою є рівність
Аксіоми AB3 *), AB4 *) і AB5 *) отримуються з наведених вище аксіом як двоїсті їм (тобто заміною кограниці на границі. Аксіоми AB1) і AB2) — стандартні аксіоми, які виконуються в будь-якій абелевій категорії (точніше, абелева категорія є адитивною категорією, яка задовольняє цим аксіомам):
- AB1) У будь-якого морфізму існує ядро й коядро.
- AB2) Для будь-якого морфізму
канонічний морфізм з
в
є ізоморфізмом.
Гротендік також формулював сильніші аксіоми AB6) і AB6 *), проте не використовував їх у цій роботі. Зокрема AB6) мала вигляд
- AB6) A задовольняє AB3), і для сім'ї фільтрованих категорій
і відображень
, виконується
, де lim позначає фільтровану кограницю.
Властивості
- Клас абелевих категорій замкнутий щодо кількох категорних конструкцій; наприклад, категорія ланцюгових комплексів з елементами з абелевої категорії і категорія функторів з малої категорії в абелеву також є абелевими.
- Для пари об'єктів A, B в абелевій категорії, існує нульовий морфізм з A у B. Він є нульовим елементом Hom(A,B), що є абелевою групою. Також за означенням він є рівним композиції A → 0 → B, де 0 є нульовим об'єктом абелевої категорії.
- В абелевій категорії кожен морфізм f є рівним композиції епіморфізму і мономорфізму. Епіморфізм називається кообразом f, а мономорфізм — образом f.
- У локально малій категорії підоб'єкти довільного об'єкту утворюють модулярну ґратку.
Примітки
- Weibel, 1994, с. 426—428.
Див. також
Література
- Buchsbaum, D. A. (1955), Exact categories and duality, Transactions of the American Mathematical Society, 80 (1): 1—34, doi:10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, MR 0074407
- Freyd, Peter (1964), , New York: Harper and Row, архів оригіналу за 25 лютого 2021, процитовано 1 лютого 2018
- Grothendieck, Alexander (1957), , The Tohoku Mathematical Journal. Second Series, 9: 119—221, doi:10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537, архів оригіналу за 20 серпня 2020, процитовано 1 лютого 2018
- Mitchell, Barry (1965), Theory of Categories, Boston, MA: Academic Press
- Popescu, N. (1973), Abelian categories with applications to rings and modules, Boston, MA: Academic Press
- Weibel Charles A. (1994), An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics., т. 38, Cambridge University Press, ISBN
Посилання
- Абелева категорія [ 25 лютого 2022 у Wayback Machine.] // ВУЕ
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Abeleva kategoriya kategoriya v yakij morfizmi mozhna dodavati isnuyut yadra i koyadra i pri comu vikonuyutsya deyaki dodatkovi vlastivosti Prikladom yakij stav prototipom abelevoyi kategoriyi ye kategoriya abelevih grup Ponyattya abelevoyi kategoriyi bulo zaproponovano u 1955 roci vin vikoristovuvav nazvu tochna kategoriya Zgodom teoriya bula rozroblena nezalezhno Aleksandrom Grotendikom dlya ob yednannya dekilkoh teorij kogomologij U toj chas isnuvala teoriya kogomologij puchkiv na algebrichnih mnogovidah i teoriya kogomologij grup Ci teoriyi vvodilisya po riznomu ale mali podibni vlastivosti Grotendiku vdalosya ob yednati ci teoriyi obidvi voni mozhut buti viznacheni za dopomogoyu pohidnih funktoriv na abelevij kategoriyi puchkiv i abelevij kategoriyi moduliv vidpovidno OznachennyaNizhche podano dva oznachennya druge z yakih ye lishe dlya lokalno malih kategorij U comu vipadku dva oznachennya ye ekvivalentnimi Pershe oznachennya Kategoriya ye abelevoyu yaksho U nij isnuye nulovij ob yekt Isnuyut usi binarni dobutki i kodobutki Dlya kozhnogo morfizmu isnuye yadro j koyadro Usi monomorfizmi j epimorfizmi ye normalnimi Druge oznachennya Lokalno mala kategoriya C displaystyle mathcal C nazivayetsya abelevoyu yaksho Dlya vsih ob yektiv X Y Ob C displaystyle X Y in operatorname Ob mathcal C na mnozhini Hom C X Y displaystyle operatorname Hom mathcal C X Y mozhna vvesti strukturu abelevoyi grupi Dlya morfizmiv f f 1 f 2 Hom C X Y displaystyle f f 1 f 2 in operatorname Hom mathcal C X Y i g g 1 g 2 Hom C Y Z displaystyle g g 1 g 2 in operatorname Hom mathcal C Y Z vikonuyutsya rivnosti g f 1 f 2 g f 1 g f 2 displaystyle g circ f 1 f 2 g circ f 1 g circ f 2 i g 1 g 2 f g 1 f g 2 f displaystyle g 1 g 2 circ f g 1 circ f g 2 circ f bilinijnist Kategoriya sho zadovolnyaye cim vlastivostyam nazivayetsya preadditivnoyu Dlya dovilnoyi skinchennoyi kilkosti ob yektiv isnuye biprodukt ob yekt sho ye odnochasno dobutkom i kodobutkom ob yektiv Zokrema u kategoriyi ye nulovij ob yekt dobutok porozhnoyi mnozhini ob yektiv Kategoriya sho zadovolnyaye vsi navedeni vlastivosti nazivayetsya additivnoyu Dlya kozhnogo morfizmu isnuye yadro j koyadro Vsi monomorfizmi i epimorfizmi ye normalnimi PrikladiKategoriya abelevih grup ye abelevoyu Kategoriya skinchennoporodzhenih abelevih grup takozh ye abelevoyu yak i kategoriya skinchennih abelevih grup Yaksho R displaystyle R kilce to kategoriya livih abo pravih moduliv nad R displaystyle R ye abelevoyu Zgidno z teoremoyu Frejda Mitchella pro vkladennya bud yaka mala abeleva kategoriya ye ekvivalentnoyu povnij pidkategoriyi kategoriyi moduliv Yaksho R displaystyle R neterove zliva kilce to kategoriya skinchennoporodzhenih livih R displaystyle R moduliv ye abelevoyu Zokrema kategoriya skinchennoporodzhenih moduliv nad neterovim komutativnim kilcem ye abelevoyu Kategoriyi vektornih rostoriv i skinchennovimirnih vektornih prostoriv nad dovilnim polem ye abelevimi Yaksho X displaystyle X topologichnij prostir to kategoriya puchkiv abelevih grup na X displaystyle X ye abelevoyu Yaksho X displaystyle X topologichnij prostir to kategoriya vektornih rozsharuvan na X displaystyle X zazvichaj ne ye abelevoyu oskilki mozhut isnuvati monomorfizmi sho ne ye yadrami Aksiomi GrotendikaU statti Sur quelques points d algebre homologique Grotendik zaproponuvav kilka dodatkovih aksiom yaki mozhut vikonuvatisya v abelevij kategoriyi A displaystyle mathcal A AB3 Dlya bud yakoyi mnozhini ob yektiv A i i I displaystyle A i i in I kategoriyi A displaystyle mathcal A isnuye kodobutok A i displaystyle oplus A i Dana aksioma ekvivalentna kopovnoti abelevoyi kategoriyi A displaystyle mathcal A AB4 A displaystyle mathcal A zadovolnyaye aksiomi AB3 i kodobutok bud yakoyi sim yi monomorfizmiv ye monomorfizmom tobto kodobutok ye tochnim funktorom AB5 A displaystyle mathcal A zadovolnyaye aksiomi AB3 i en tochnih poslidovnostej ye tochnimi Ekvivalentno dlya bud yakoyi gratki A i i I displaystyle A i i in I pidob yektiv ob yekta A displaystyle A i bud yakogo B displaystyle B pidob yekta ob yekta A displaystyle A spravedlivoyu ye rivnist A i B A i B displaystyle sum A i cap B sum A i cap B Aksiomi AB3 AB4 i AB5 otrimuyutsya z navedenih vishe aksiom yak dvoyisti yim tobto zaminoyu kogranici na granici Aksiomi AB1 i AB2 standartni aksiomi yaki vikonuyutsya v bud yakij abelevij kategoriyi tochnishe abeleva kategoriya ye aditivnoyu kategoriyeyu yaka zadovolnyaye cim aksiomam AB1 U bud yakogo morfizmu isnuye yadro j koyadro AB2 Dlya bud yakogo morfizmu f A B displaystyle f A to B kanonichnij morfizm z c o i m f displaystyle mathrm coim f v i m f displaystyle mathrm im f ye izomorfizmom Grotendik takozh formulyuvav silnishi aksiomi AB6 i AB6 prote ne vikoristovuvav yih u cij roboti Zokrema AB6 mala viglyad AB6 A zadovolnyaye AB3 i dlya sim yi filtrovanih kategorij I j j J displaystyle I j j in J i vidobrazhen A j I j A displaystyle A j I j to A vikonuyetsya j J lim I j A j lim I j j J j J A j displaystyle prod j in J lim I j A j lim I j forall j in J prod j in J A j de lim poznachaye filtrovanu kogranicyu VlastivostiKlas abelevih kategorij zamknutij shodo kilkoh kategornih konstrukcij napriklad kategoriya lancyugovih kompleksiv z elementami z abelevoyi kategoriyi i kategoriya funktoriv z maloyi kategoriyi v abelevu takozh ye abelevimi Dlya pari ob yektiv A B v abelevij kategoriyi isnuye nulovij morfizm z A u B Vin ye nulovim elementom Hom A B sho ye abelevoyu grupoyu Takozh za oznachennyam vin ye rivnim kompoziciyi A 0 B de 0 ye nulovim ob yektom abelevoyi kategoriyi V abelevij kategoriyi kozhen morfizm f ye rivnim kompoziciyi epimorfizmu i monomorfizmu Epimorfizm nazivayetsya koobrazom f a monomorfizm obrazom f U lokalno malij kategoriyi pidob yekti dovilnogo ob yektu utvoryuyut modulyarnu gratku PrimitkiWeibel 1994 s 426 428 Div takozhAbeleva grupa Teoriya kategorijLiteraturaBuchsbaum D A 1955 Exact categories and duality Transactions of the American Mathematical Society 80 1 1 34 doi 10 1090 S0002 9947 1955 0074407 6 ISSN 0002 9947 JSTOR 1993003 MR 0074407 Freyd Peter 1964 New York Harper and Row arhiv originalu za 25 lyutogo 2021 procitovano 1 lyutogo 2018 Grothendieck Alexander 1957 The Tohoku Mathematical Journal Second Series 9 119 221 doi 10 2748 tmj 1178244839 ISSN 0040 8735 MR 0102537 arhiv originalu za 20 serpnya 2020 procitovano 1 lyutogo 2018 Mitchell Barry 1965 Theory of Categories Boston MA Academic Press Popescu N 1973 Abelian categories with applications to rings and modules Boston MA Academic Press Weibel Charles A 1994 An Introduction to Homological Algebra Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 38 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 55987 4PosilannyaAbeleva kategoriya 25 lyutogo 2022 u Wayback Machine VUE