Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.
Ланцюговий комплекс
Ланцюговим комплексом називається послідовність модулів і гомоморфізмів
, що називаються граничними операторами або диференціалами
така що . Елементи
називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра
— n-вимірними циклами, елементи
— n-вимірними границями. З
випливає, що
(т.зв. ). Якщо до того ж
, то такий комплекс називається точним.
Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами , де
послідовність морфізмів
, така що
комутує з диференціалом, тобто
.
Коланцюговий комплекс
Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів і гомоморфізмов
, таких що
Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.
Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.
Гомології і когомології
n-вимірна група гомологій ланцюгового комплексу
є його мірою точності в n-ому члені і визначається як
. Для точного комплексу
Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:
Приклади
Симпліційна гомологія
Нехай маємо симпліційний комплекс K.
Визначимо Cn(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:
Виконується властивість ∂² = 0, отже є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія
визначається:
Когомологія де Рама
Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ωk(M). Зовнішня похідна dk є відображенням з Ωk(M) в Ωk+1(M), і d 2 = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють :
Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:
Гомоморфізми ланцюгових комплексів
Гомоморфізмом ланцюгових комплексів і
називається таке відображення
що наступна діаграма є комутативною:
Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.
Ланцюгова гомотопія
Ланцюгова гомотопія між гомоморфізмами комплексів
і
— гомоморфізм ланцюгових комплексів
і
ступеня +1 (тобто
), для якого
Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemM1TDBScFlXZHlZVzFmWTJoaGFXNWZhRzl0YjNSdmNIa3VjM1puTHpRMU1IQjRMVVJwWVdkeVlXMWZZMmhoYVc1ZmFHOXRiM1J2Y0hrdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Див. також
Література
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
- Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lancyugovij kompleks osnovne ponyattya gomologichnoyi algebri Lancyugovij kompleksLancyugovim kompleksom nazivayetsya poslidovnist K displaystyle K bullet partial bullet moduliv i gomomorfizmiv n K n K n 1 displaystyle partial n K n to K n 1 sho nazivayutsya granichnimi operatorami abo diferencialami K n 1 n K n n 1 K n 1 displaystyle ldots xleftarrow K n 1 xleftarrow partial n K n xleftarrow partial n 1 K n 1 xleftarrow ldots taka sho n n 1 0 displaystyle partial n partial n 1 0 Elementi K n displaystyle K n nazivayutsya n mirnimi lancyugami elementi yadra Z n K K e r n displaystyle Z n K Ker partial n n vimirnimi ciklami elementi B n K I m n 1 displaystyle B n K Im partial n 1 n vimirnimi granicyami Z n n 1 0 displaystyle partial n partial n 1 0 viplivaye sho B n K Z n K displaystyle B n K subset Z n K t zv Yaksho do togo zh B n K Z n K displaystyle B n K Z n K to takij kompleks nazivayetsya tochnim Lancyugovi kompleksi moduliv nad fiksovanim kilcem utvoryuyut kategoriyu z mofizmami f K K L L displaystyle varphi bullet colon K bullet partial bullet K to L bullet partial bullet L de f displaystyle varphi bullet poslidovnist morfizmiv f n K n L n displaystyle varphi n colon K n to L n taka sho f n displaystyle varphi n komutuye z diferencialom tobto n L f n f n 1 n K displaystyle partial n L varphi n varphi n 1 partial n K Kolancyugovij kompleksKolancyugovij kompleks ponyattya dvoyiste lancyugovomu kompleksu Vin viznachayetsya yak poslidovnist moduliv W d displaystyle Omega bullet d bullet i gomomorfizmov d n W n W n 1 displaystyle d n colon Omega n to Omega n 1 takih sho d n 1 d n 0 displaystyle d n 1 d n 0 Kocepnoj kompleks yak i lancyugovij ye napivtochnoyu poslidovnistyu W n 1 d n 1 W n d n W n 1 d n 1 displaystyle ldots xrightarrow Omega n 1 xrightarrow d n 1 Omega n xrightarrow d n Omega n 1 xrightarrow d n 1 ldots Vlastivosti i ponyattya pov yazani z kolancyugovimi kompleksami dvoyisti analogichnim ponyattyam i vlastivostyam lancyugovih kompleksiv Gomologiyi i kogomologiyin vimirna grupa gomologij H n displaystyle H n lancyugovogo kompleksu K displaystyle K bullet partial bullet ye jogo miroyu tochnosti v n omu chleni i viznachayetsya yak H n K B n K Z n K K e r n I m n 1 displaystyle H n K bullet partial bullet B n K Z n K mathrm Ker partial n mathrm Im partial n 1 Dlya tochnogo kompleksu H n 0 displaystyle H n 0 Analogichno viznachayetsya n vimirna grupa kogomologij kolancyugovogo kompleksu H n W d B n Z n K e r d n I m d n 1 displaystyle H n Omega bullet d bullet B n Z n mathrm Ker d n mathrm Im d n 1 PrikladiSimplicijna gomologiya Dokladnishe Simplicijna gomologiya Nehaj mayemo simplicijnij kompleks K Viznachimo Cn K dlya naturalnogo chisla n vilnu abelevu grupu porodzhenu n simpleksami kompleksa K i granichne vidobrazhennya n C n K C n 1 K v 0 v n i 0 n 1 i s v 0 v i v n displaystyle partial n C n K to C n 1 K v 0 ldots v n mapsto sum i 0 n 1 i sigma v 0 ldots hat v i ldots v n dd Vikonuyetsya vlastivist 0 otzhe C displaystyle C bullet partial bullet ye lancyugovim kompleksom simplicijna gomologiya H X displaystyle H bullet X viznachayetsya H n X ker n im n 1 displaystyle H n X ker partial n mbox im partial n 1 dd Kogomologiya de Rama Dokladnishe Kogomologiya de Rama Diferencialni k formi na bud yakomu gladkomu mnogovidi M utvoryuyut vektornij prostir sho poznachayetsya Wk M Zovnishnya pohidna dk ye vidobrazhennyam z Wk M v Wk 1 M i d2 0 otzhe prostori k form iz zovnishnoyu pohidnoyu utvoryuyut W 0 M d 0 W 1 M W 2 M W 3 M displaystyle Omega 0 M stackrel d 0 to Omega 1 M to Omega 2 M to Omega 3 M to cdots Gomologiyeyu cogo kompleksu ye kogomologiya de Rama H D R k M ker d k i m d k 1 displaystyle H mathrm DR k M ker d k mathrm im d k 1 Gomomorfizmi lancyugovih kompleksivGomomorfizmom lancyugovih kompleksiv A d displaystyle A bullet delta bullet i B g displaystyle B bullet gamma bullet nazivayetsya take vidobrazhennya f A n B n n N displaystyle f colon A n to B n forall n in mathbb N sho nastupna diagrama ye komutativnoyu Gomomorfizm lancyugovih kompleksiv indukuye gomomorfizm yih grup gomologij Lancyugova gomotopiyaDokladnishe Lancyugova gomotopiya Lancyugova gomotopiya D X Y displaystyle D colon X to Y mizh gomomorfizmami kompleksiv f displaystyle f i g displaystyle g gomomorfizm lancyugovih kompleksiv X displaystyle X bullet partial bullet i Y d displaystyle Y bullet delta bullet stupenya 1 tobto D k X k Y k 1 displaystyle D k colon X k to Y k 1 dlya yakogo d D D g f displaystyle delta D D partial g f d k 1 D k D k 1 k g k f k displaystyle delta k 1 D k D k 1 partial k g k f k Dlya kolancyugovih kompleksiv vidpovidna komutativna diagrama maye viglyad Div takozhLancyug algebrichna topologiya LiteraturaKartan A Ejlenberg S Gomologicheskaya algebra Moskva Izdatelstvo Inostrannoj Literatury 1960 Maklejn S Gomologiya Moskva Mir 1966 Dold A Lekcii po algebraicheskoj topologii Moskva Mir 1976