Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі.
Означення
Нехай і — ланцюгові комплекси модулів (тобто множина модулів і модульних гомоморфізмів ), і — ланцюгові відображення комплексу в комплекс (тобто такі гомоморфізми що ).
Ланцюговою гомотопією між відображеннями і називається множина гомоморфізмів , для яких справедливими є рівності
Аналогічно можна ввести поняття ланцюгової гомотопії для коланцюгових комплексів і Якщо і — коланцюгові відображення комплексу в комплекс (тобто такі гомоморфізми що ).
Ланцюговою гомотопією між відображеннями і називається множина гомоморфізмів , для яких справедливими є рівності
Діаграма для випадку коланцюгових комплексів зображена нижче:
Властивості
- Відношення ланцюгової гомотопії є відношенням еквівалентності на множині ланцюгових відображень (і також на множині коланцюгових відображень). Дійсно відображення є ланцюговою гомотопією, що забезпечує рефлексивність. Якщо відображення є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , то є ланцюговою гомотопією між і , що доводить симетричність відношення. Якщо є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , а є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями і , то є ланцюговою гомотопією між відображеннями і Тобто відношення є також транзитивним і, як наслідок, відношенням еквівалентності. Клас еквівалентності ланцюгового відображення позначають , еквівалентність відображеннь і позначається як
- Якщо , і — ланцюгові комплекси і — ланцюгові відображення, такі що то також Відповідно можна ввести добуток на класах ланцюгової гомотопії Якщо для ланцюгового відображення існує таке відображення що і то ланцюгові комплекси називаються гомотопно еквівалентними.
- Якщо відображення і є ланцюгово гомотопними, то індуковані відображення на гомологічних групах є рівними (де ). Справді, нехай — цикл, тобто елемент з . Тоді . Так як і є ланцюгово гомотопними, то
- ,
- Тобто відрізняються на границю (елемент ).
Див. також
Література
- Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005 (рос.)
- Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Москва: Наука, 1989 (рос.)
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976 (рос.)
- Маклейн С. Гомология. — Москва: Мир, 1966 (рос.)
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971 (рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Lancyugova gomotopiya variaciya ponyattya gomotopiya v algebrayichnij topologiyi i gomologichnij algebri OznachennyaNehaj X displaystyle X i Y displaystyle Y lancyugovi kompleksi moduliv tobto mnozhina moduliv X k Y k displaystyle X k Y k i modulnih gomomorfizmiv d X k X k X k 1 d Y k Y k Y k 1 displaystyle d X k colon X k to X k 1 d Y k colon Y k to Y k 1 f displaystyle f i g displaystyle g lancyugovi vidobrazhennya kompleksu X displaystyle X v kompleks Y displaystyle Y tobto taki gomomorfizmi f k displaystyle f k sho d Y k f k f k 1 d X k displaystyle d Y k f k f k 1 d X k Lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh vidobrazhennyami f displaystyle f i g displaystyle g nazivayetsya mnozhina gomomorfizmiv D k X k Y k 1 displaystyle D k colon X k to Y k 1 dlya yakih spravedlivimi ye rivnosti D k 1 d X k d Y k 1 D k f k g k displaystyle D k 1 d X k d Y k 1 D k f k g k Analogichno mozhna vvesti ponyattya lancyugovoyi gomotopiyi dlya kolancyugovih kompleksiv X displaystyle X i Y displaystyle Y Yaksho f displaystyle f i g displaystyle g kolancyugovi vidobrazhennya kompleksu X displaystyle X v kompleks Y displaystyle Y tobto taki gomomorfizmi f k displaystyle f k sho d Y k f k f k 1 d X k displaystyle d Y k f k f k 1 d X k Lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh vidobrazhennyami f displaystyle f i g displaystyle g nazivayetsya mnozhina gomomorfizmiv D k X k Y k 1 displaystyle D k colon X k to Y k 1 dlya yakih spravedlivimi ye rivnosti D k 1 d X k d Y k 1 D k f k g k displaystyle D k 1 d X k d Y k 1 D k f k g k Diagrama dlya vipadku kolancyugovih kompleksiv zobrazhena nizhche VlastivostiVidnoshennya lancyugovoyi gomotopiyi ye vidnoshennyam ekvivalentnosti na mnozhini lancyugovih vidobrazhen i takozh na mnozhini kolancyugovih vidobrazhen Dijsno vidobrazhennya D k 0 displaystyle D k 0 ye lancyugovoyu gomotopiyeyu sho zabezpechuye refleksivnist Yaksho vidobrazhennya D k displaystyle D k ye lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh lancyugovimi vidobrazhennyami f displaystyle f i g displaystyle g to D k displaystyle D k ye lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh g displaystyle g i f displaystyle f sho dovodit simetrichnist vidnoshennya Yaksho D k displaystyle D k ye lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh lancyugovimi vidobrazhennyami f displaystyle f i g displaystyle g a E k displaystyle E k ye lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh lancyugovimi vidobrazhennyami g displaystyle g i h displaystyle h to D k E k displaystyle D k E k ye lancyugovoyu gomotopiyeyu mizh vidobrazhennyami f displaystyle f i h displaystyle h Tobto vidnoshennya ye takozh tranzitivnim i yak naslidok vidnoshennyam ekvivalentnosti Klas ekvivalentnosti lancyugovogo vidobrazhennya f displaystyle f poznachayut f displaystyle f ekvivalentnist vidobrazhenn f displaystyle f i g displaystyle g poznachayetsya yak f g displaystyle f simeq g Yaksho X displaystyle X Y displaystyle Y i Z displaystyle Z lancyugovi kompleksi i f 1 g 1 X Y f 2 g 2 Y Z displaystyle f 1 g 1 X to Y f 2 g 2 Y to Z lancyugovi vidobrazhennya taki sho f 1 g 1 f 2 g 2 displaystyle f 1 simeq g 1 f 2 simeq g 2 to takozh f 2 f 1 g 2 g 1 displaystyle f 2 circ f 1 simeq g 2 circ g 1 Vidpovidno mozhna vvesti dobutok na klasah lancyugovoyi gomotopiyi g f g f displaystyle g circ f g circ f Yaksho dlya lancyugovogo vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y isnuye take vidobrazhennya f Y X displaystyle f Y to X sho f f Id X displaystyle f circ f simeq operatorname Id X i f f Id Y displaystyle f circ f simeq operatorname Id Y to lancyugovi kompleksi nazivayutsya gomotopno ekvivalentnimi Yaksho vidobrazhennya f displaystyle f i g displaystyle g ye lancyugovo gomotopnimi to indukovani vidobrazhennya na gomologichnih grupah H k X H k Y displaystyle H k X to H k Y ye rivnimi de H k X K e r d X k I m d X k 1 displaystyle H k X mathrm Ker d X k mathrm Im d X k 1 Spravdi nehaj c X k displaystyle c in X k cikl tobto element z K e r d X k displaystyle mathrm Ker d X k Todi d X k c 0 displaystyle d X k c 0 Tak yak f displaystyle f i g displaystyle g ye lancyugovo gomotopnimi to f k c g k c D k 1 d X k c d Y k 1 D k c d Y k 1 D k c displaystyle f k c g k c D k 1 d X k c d Y k 1 D k c d Y k 1 D k c Tobto vidriznyayutsya na granicyu element I m d Y k 1 displaystyle mathrm Im d Y k 1 Dlya bilshosti teorij gomologij gomotopni neperervni vidobrazhennya topologichnih prostoriv f g X Y displaystyle f g colon X to Y indukuyut lancyugovo gomotopni vidobrazhennya kompleksiv C X C Y displaystyle C X to C Y i po dovedenomu odnakovi vidobrazhennya grup gomologij H X H Y displaystyle H X to H Y vikonuyetsya aksioma gomotopichnoyi invariantnosti Div takozhLancyugovij kompleksLiteraturaVik Dzh U Teoriya gomologij Vvedenie v algebraicheskuyu topologiyu Moskva MCNMO 2005 ros Gelfand S I Manin Yu I Metody gomologicheskoj algebry Vvedenie v kogomologii i proizvodnye kategorii Tom 1 Moskva Nauka 1989 ros Dold A Lekcii po algebraicheskoj topologii Moskva Mir 1976 ros Maklejn S Gomologiya Moskva Mir 1966 ros Spener E Algebraicheskaya topologiya Moskva Mir 1971 ros