Ядро (теорія категорій)

Ядро в теорії категорій — категорний еквівалент ядра гомоморфізма з загальної алгебри; інтуїтивно, ядро морфізма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — «найбільш загальний» морфізм ${\displaystyle k\colon K\to X}$композиція якого із ${\displaystyle f}$ дає нульовий морфізм.

Означення

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категорія з нульовими морфізмами. Тоді ядром морфізма ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ називається морфізм ${\displaystyle k\colon K\to X}$ для якого виконується виконується універсальна властивість:

• ${\displaystyle f\circ k}$ — нульовий морфізм з ${\displaystyle K}$ в ${\displaystyle Y}$:

• Для будь-якого морфізма ${\displaystyle k'\colon K'\to X}$, такого що ${\displaystyle f\circ k'}$ - нульовий, існує єдиний морфізм ${\displaystyle u\colon K'\to K}$, такий що ${\displaystyle k\circ u=k'}$:

Морфізм може не мати ядра. У випадку коли ядра існують то вони є ізоморфними: якщо k : K → X і l : L → X є ядрами f : X → Y, то існує єдиний ізоморфізм φ : K → L для якого l ∘ φ = k.

Приклади

У багатьох категоріях це визначення ядра збігається зі звичайним: якщо ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ — гомоморфізм груп або модулів, то ядро в категорному сенсі — вкладення ядра в алгебричному сенсі в прообраз.

Однак в категорії моноїдів ядра в категорному сенсі аналогічні ядрам груп, тому означення ядра в теорії моноїдів трохи відрізняється. У категорії кілець, навпаки, ядер в категорному сенсі не існує взагалі, оскільки не існує нульових морфізмів. Інтерпретувати ядра моноїдів і кілець в теорії категорій можна за допомогою концепції пар ядер.

У категорії топологічних просторів із виділеною точкою якщо f : X → Y є неперервним відображенням таких просторів (тобто образом виділеної точки є виділена точка), то прообраз виділеної точки, K, є підпростором у X. Включення K в X є категорним ядром функтора f.

Зв'язок з іншими категорноми поняттями

Двоїсте до ядра поняття — коядро, тобто ядро морфізма — його коядро в двоїстій категорії, і навпаки.

Кожне ядро, є мономорфізмом. Навпаки, мономорфізм називається нормальним, якщо він є ядром іншого морфізма. Категорія називається нормальною, якщо будь-який мономорфізм в ній є нормальним.

Зокрема, абелеві категорії є нормальними. У цій ситуації, ядро коядра морфізма називається його образом. Зокрема кожен мономорфізм є своїм власним образом.

Література

• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.