Пучок — абстрактний математичний об'єкт, використання якого забезпечує єдиний підхід для встановлення зв'язків між локальними і глобальними властивостями топологічних просторів (зокрема геометричних об'єктів) і широко використовується в сучасній алгебрі, геометрії, топології і аналізі.
Визначення
Передпучок
На топологічному просторі X заданий передпучок об'єктів, якщо:
- Кожній відкритій підмножині
зіставлений певний об'єкт деякої категорії
(найчастіше деяка множина, абелева група, кільце, модуль над кільцем і т. п.)
.
- Для кожної пари відкритих множин
визначений морфізм обмеження
такий, що
— тотожний морфізм об'єкта
і для кожної трійки відкритих множин
виконується:
Якщо об'єкти є множинами, то елементи
також називаються перетинами пучка над множиною U.
Іншими словами, передпучок — контраваріантний функтор з категорії відкритих підмножин X і їх вкладень в деяку категорію.
Пучок
Передпучок на X називається пучком (множин, абелевих груп, кілець, модулів над кільцем і т. п.) якщо він задовольняє дві умови
- Якщо
для деякої відкритої множини V простору X і для її відкритого покриття сімейством відкритих множин
, для всіх множин із покриття
то також
Передпучки із такою властивістю також називаються монопередпучками.
- Для довільного відкритого покриття сімейством відкритих множин
і для довільних
, з того що :
- випливає існування такого
що :
для всіх елементів покриття.
Замітка. Визначення пучка існує і у випадку коли об'єктами категорії не є множини. Проте цей випадок вимагає глибших понять теорії категорій і не часто використовується у застосуваннях.
Приклади
Пучки функцій
Одним з найпростіших і найважливіших прикладів є пучок неперервних функцій на топологічному просторі X. Обмеження неперервної функції на відкриту підмножину є неперервною функцією на цій підмножині, і функція, задана частково на відкритих підмножинах, може бути відновлена на їх об'єднанні.
Точніше, для кожної відкритої підмножини U простору X позначимо F(U) множину всіх неперервних дійснозначних функцій . Маючи відкриту множину V, що міститься в U, і функції f з F(U), ми можемо звузити область визначення функції f до множини V і одержати функцію
. Обмеження
є неперервною функцією на V, отже, воно є елементом множини F(V). Таким чином, визначено відображення обмеження
.
Припустимо, що задана узгоджена система неперервних функцій . Це означає, що обмеження функцій fi і fj на множині
повинні бути рівними. Визначимо тепер функцію
таким чином: оскільки U - об'єднання всіх Ui, кожна точка x з U покрита множиною Ui для деякого i. Визначимо значення функції f в точці x рівним fi(x). Це визначення коректно: якщо x лежить також і в Uj, то по умові узгодженості fi(x)= fj(x), тому все одно, яку з цих функцій користуватися для визначення f(x). При цьому функція f неперервна в точці x, оскільки в її околі Ui вона рівна неперервній функції fi(x). У результаті функція f неперервна в кожній точці з U, тобто неперервна в U. Більш того, f — єдина неперервна функція, обмеження якої на області Ui рівне fi, оскільки функція повністю визначається своїми значеннями в точках.
Насправді, одержаний пучок є не просто пучком множин. Оскільки неперервні функції можна поточково додавати і одержувати знову неперервні функції, цей пучок також є пучком абелевих груп. Оскільки їх також можна перемножувати, цей пучок є пучком комутативних кілець. Оскільки неперервні функції на множині утворюють векторний простір над , то цей пучок — пучок алгебр над
.
Шари передпучків і пучків
Нехай X є топологічним простором і — деякою його точкою. Нехай також на цьому просторі задано передпучок
об'єкти
якого є множинами можливо із додатковою структурою (наприклад абелеві групи, кільця). Шар
пучка
у точці
дозволяє вивчити властивості пучка в околі цієї точки.
Формально:
де пряма границя береться по усіх відкритих підмножинах простору які місять точку
. Множина таких відкритих підмножин є спрямованою щодо включення множин і верхньою межею двох множин є їх перетин.
Із означення прямої границі можна більш детально записати: шаром є фактор-множина множини усіх
де
є відкритою множиною, що містить
а
і дві пари
і
є еквівалентними якщо існує відкритий окіл
точки
для якого
Якщо об'єкти передпучка мають додаткову структуру, то таку структуру можна задати і на всіх шарах передпучка. Наприклад у випадку абелевих груп сума двох елементів і
шару
задається як
Із цією операцією
теж є абелевою групою.
Для елемент
шару
часто також позначається
У випадку пучків якщо
то
тоді і тільки тоді коли
для всіх точок
Для передпучків таке твердження є неправдивим.
Аналогічно поняття шару можна ввести для передпучків із значеннями у довільній категорії у якій існують прямі границі. Як і вище шаром у точці буде пряма границя щодо спрямованої множини відкритих підмножин, що містять
.
Приклади
- Якщо
— абелева група,
— топологічний простір і
можна задати передпучок
у якому
якщо
і
якщо
і відображення обмеження
є або ізоморфізмом
або одним із зображень
чи
в залежності від того чи належить точка
множинам
і
. Тоді
і
для
.
- Якщо натомість
для всіх відкритих множин
, то також і
для всіх точок
. Тут
може позначати довільну множину чи навіть об'єкт довільної категорії. Передпучки такого типу називаються сталими передмучками.
Простір пучка (етальний простір)
Альтернативно означення пучка над топологічним простором можна дати за допомогою деякого топологічного простору (простору пучка чи етального простору від французького espace étalé) і відображення із цього простору на
, що є локальним гомеоморфізмом. Історично таке означення з'явилося давніше, ніж означення на початку статті. Для етального простору відповідний пучок одержується як множина локальних перетинів, тобто для
за означенням
є множиною усіх неперервних відображень із
у відповідний простір, що є правими оберненими до відповідного локального гомеоморфізму.
Етальні простори (перед)пучків
Для довільного пучка і навіть передпучка можна побудувати відповідний етальний простір. Нехай є передпучком множин над топологічним простором
. Як множина відповідний етальний простір є диз'юнктним об'єднанням усіх шарів передпучка:
. Якщо
є деякою довільною точкою простору, то
для деякого
і тоді можна задати відображення
для якого
Згідно означення
На множині можна задати топологію за допомогою бази елементами якої є множини виду
де
є відкритою множиною,
і
Ці множини утворюють базу топології оскільки якщо
то за означенням
для
і тому існує відкрита множина
для якої
і тоді
.
Для топології породженої цією базою відображення є локальним гомеоморфізмом. Усі відображення виду
для відкритих множин
і елементів
є неперервними. Також для таких відображень
для всіх
тобто усі
є локальними перетинами.
Абстрактний етальний простір і його пучок
Враховуючи ці властивості можна навпаки для топологічного простору дати означення простору пучка (або етального простору) як топологічного простору
для якого існує сюр'єктивне відображення
що є локальним гомеоморфізмом. При такому означенні відображення
є відкритим. Якщо позначити
множину всіх перетинів, тобто неперервних відображень
для яких
є тотожним відображенням, то із відповідними обмеженнями на відкриті підмножини одержується пучок
Для довільного перерізу
образ
буде відкритою множиною і всі такі множини для різних
і
утворюють базу топології простору
. Для довільної точки
шар
пучка
є ізоморфним множині
простору
.
Властивості
Таким чином для довільного передпучка множин одержується відповідний етальний простір і навпаки для кожного етального простору одержується пучок. При цьому виконуються влістивості
- Якщо для довільного етального простору одержати як вище відповідний пучок, а для нього побудувати етальний простір то він буде ізоморфний початковому простору.
- Якщо для довільного пучка побудувати етальний простір і з нього одержати пучок, то він буде ізоморфним початковому пучку. Для передпучків, що не є пучками це не так, оскільки за описаною вище процедурою із етального простору завжди одержується саме пучок.
Для того щоб розглядати пучки із додатковими алгебричними структурами вимагається неперервність відповідних алгебричних операцій. Наприклад для абелевих груп при означені абстрактного етального простору додається вимога щоб на усіх шарах була задана структура абелевої групи і відповідна операція додавання була неперервною. Тобто, якщо позначити
то відображення
має бути неперервним відображенням із
у
Для етального простору із такими умовами відповідний пучок буде мати відповідну структуру (наприклад абелевих груп). Навпаки якщо на шарах етального простору породженого передпучком ввести структуру шарів передпучка то у вказаній топологіє алгебричні операції будуть неперервними.
Приклад
Нехай є сталим передпучком над топологічним простором
де всі
є рівні деякій множині
. Оскільки всі шари цього передпучка теж є рівними
, то як множина етальний простір є рівним добутку множин
і відображення
є проекцією на перший множник. Оскільки для всіх відкритих множин
і
множини
є елементами бази топології то сам простір із цією топологією є добутком топологічних просторів
і
із дискретною топологією.
Пучок породжений передпучком
Якщо є передпучком на топологічному просторі
, для нього існує тісно пов'язаний пучок
над тим же простором, що називається пучком породженим передпучком (або асоційованим із передпучком, в англійській мові використовується також термін sheafification). Його означення можна дати кількома пособами:
- Для кожної відкритої множини
множину
змінюють так щоб задовольнялися умови в означенні пучка. Це можна зробити в два етапи:
- Замість
розглядається фактор-множина
у якій елементи
належать одному класу еквівалентності якщо і тільки якщо
для всіх
(що рівнозначно існуванню відкритого покриття
обмеження
і
на всі елементи якого є рівними). Для цих фактор-множин також визначеними є відображення обмеження адже якщо
то з того, що
для всіх
випливає, що
для всіх
, де
позначають обмеження
на множину
Тобто образи представників одного класу еквівалентності теж належать одному класу еквівалентності. Одержаний таким чином передпучок
є монопередпучком породженим пучком
.
- Для монопередпучка
замість
розглядається множина
елементами якої є класи еквівалентності відкритих покриттів
і елементів
для яких
для всіх елементів покриття. Два покриття
і
із відповідними елементами
і
задають один елемент
якщо для всіх непорожніх
завжди
. Тоді
і відображення
можна задати якщо образом покриття
із
, що задовольняють вказані умови визначити покриття
із обмеженнями
Тоді
є пучком, який і називають пучком породженим передпучком
.
- Замість
- Якщо
є передпучком на топологічному просторі
для нього можна одержати етальний простір
Тоді розглядаючи як у попередньому розділі множини перетинів одержується пучок
, який і буде пучком породженим передпучком
. Окрім того для кожної кожної відкритої множини
визначаються відображення
задані як
для
і
— породжений ним перетин етального простору описаний вище. Ці відображення задають морфізм передпучків
.
- Ще одне означення можна дати за допомогою універсальних властивостей. Це означення можна використовувати і у випадках передпучків із значеннями у більш загальних категоріях, ніж категорія множин. Це означення використовує поняття морфізмів передпучків і пучків, які описані нижче. Нехай
є передпучком на топологічному просторі
. Тоді існує єдиний (з точністю до ізоморфізмів) пучок
і морфізм передпучків
для яких виконується універсальна властивість: для будь-якого пучка
і морфізма передпучків
існує єдиний морфізм пучків
для якого
Пучок
і буде пучком породженим передпучком
.
Властивості
- Якщо
є пучком, то пучок породжений ним є ізоморфним пучку
.
- Для всіх точок
для передпучка і породженого ним пучка шари
і
є ізоморфними. У випадку множин це означає бієктивність, у випадку додаткових структур, також ізоморфізм відносно алгебричних операцій. До того ж ізоморфізм породжується морфізмами передпучків
описаними в попередніх означеннях.
Приклади
- Нехай
— довільна нетривіальна абелева група і
— топологічний простір для якого існує нетривіальне відкрите покриття. Якщо
є передпучком для якого
але
(тобто тривіальна група) для всіх інших відкритих множин
. Із відображеннями обмеження
і ізоморфізмами
,
є передпучком. Породжений ним монопередпучок і породжений пучок
є пучком тривіальних груп, тобто
для всіх відкритих множин, зокрема також
Для усіх шарів також
- Нехай
і для відкритих множин
за означенням
(тобто множині неперервних дійснозначних функцій на
), якщо хоча б одна із точок 0 або 1 не належить
, і
(тобто множині неперервних дійснозначних функцій на
, що приймають однакові значення у точках 0 і 1), якщо
Разом із стандартними відображеннями обмеження
є передпучком і навіть монопередпучком. Проте
не є пучком. Наприклад для
і
і
і
очевидно, що
проте єдиною функцією на
для якої
є функція
для якої
Аналогічно для довільного відкритого покриття множини
для якої
і функцій, що узгоджуються на перетинах можна одержати неперервну функцію на
для якої можливо
Навпаки довільну неперервну функцію можна одержати в такий спосіб з використанням лише двох відкритих множин (одна з яких містить лише точку 0, а інша — лише точку 1). Тому пучком породженим передпучком
є пучок неперервних функцій на
.
- Нехай
і
— множина неперервних обмежених функцій на
.
є монопередпучком але не пучком. Наприклад відкриті множини
дійсних чисел
для яких
утворюють покриття і обмеження функції
на ці множини є елементами усіх
. Але сама функція
є необмеженою на всій дійсній прямій. Пучком породженим
є пучок неперервних функцій.
- Якщо
є добутком топологічних просторів
і
із дискретною топологією то із проекцією на перший множник він є етальним простором. Для відкритої множини
множина всі перетини можуть бути записані як
де
є локально сталою функцією із
у
. Відповідно і пучок одержаний із цього простору можна ідентифікувати із пучком локально сталих функцій у множину
. Звідси випливає, що пучок породжений сталим передпучком для
і
теж можна ідентифікувати із пучком локально сталих функцій у множину
.
Морфізми передпучків, пучків і етальних просторів над одним простором
Оскільки пучки містять дані, співвіднесені кожній відкритій підмножині простору X, морфізм пучків визначається як набір відображень, для кожної відкритої множини, що задовольняє деяким умовам узгодженості. У цьому розділі всі пучки визначені над простором X і приймають значення у фіксованій категорії C (коли мова піде про ядро і коядро морфізмів, передбачається, що C — абелева категорія). Для найважливіших застосувань C є категорією множин із додатковою структурою, зокрема абелевою групою для поняття ядра і коядра.
Морфізми передпучків і пучків
Нехай і
— два передпучки над деяким топологічним простором. Морфізм C-передпучків на X
зіставляє кожній відкритій множині U простору X морфізм
так що всі ці морфізми узгоджуються один з одним і відображеннями обмеження в обох передпучках. Іншими словами, для кожної відкритої підмножини U і відкритої множини V має місце комутативна діаграма:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTh4THpGaEwxTm9aV0ZtVFc5eWNHaHBjMjB0TURFdWNHNW4ucG5n.png)
Для випадку якщо C є категорією множин,можливо із деякою додатковою структурою то умова узгодженості означає, що кожному перетину s пучка F над відкритою множиною U зіставлено деякий перетин над U пучка G і їх обмеження на відкриту підмножину V множини U пов'язані морфізмом
. (Обмеження на V
-образа перерізу s рівне
-образу його обмеження на V.)
Якщо і
є пучками то відповідний морфізм передпучків називається морфізмом пучків на X.
Для морфізм передпучків чи пучків
і
задає індукований морфізм шарів
і
. У випадку передпучків множин, якщо
то
для деякої відкритої множини
і елемента
За означенням
де
і
позначає елемент
, що ним визначається. Із узгодженості морфізму передпучків із відображеннями обмеження випливає незалежність визначення морфізму на шарах від вибору представлення елемента
Більш загально відображення на шарах можна розглядати для передпучків у більш широких класах категорій за допомогою прямих границь: для морфізма
індукований морфізм задається як
Морфізми етальних просторів
Якщо і
є двома етальними просторами і
і
є відповідними локальними гомеоморфізмами, то неперервне відображення
називається морфізмом етальних просторів якщо
Морфізм етальних просторів є локальним гомеоморфізмом.
Якщо позначити і
— відповдні пучки перетинів, то із морфізму
одержується морфізм пучків
А саме, якщо
є деяким перетином
над відкритою множиною
(і відповідно елементом
), то відображення
є перетином
над відкритою множиною
(і відповідно елементом
). Одержані таким чином відображення
узгоджуються із відображеннями обмеження і в сукупності задають морфізм пучків
.
Навпаки якщо і
є довільними пучками множин,
— морфізм між ними, а
і
— відповідні етальні простори то довільний елемент
деякого шару:
для деякого
і тоді можна задати відображення
, де
є морфізмом на шарах індукованим морфізмом пучків. Задане таким чином відображення
є морфізмом етальних просторів.
В обох випадках одиничні морфізми переводяться в одиничні морфізми і композиція морфізмів у композицію відповідних морфізмів. Таким чином одержуються функтор із категорії етальних просторів над простором X у категорію пучків над цим простором і обернений до нього функтор із категорії пучків над простором X у категорію етальних просторів над цим простором. Таким чином категорії пучків над простором X і етальних просторів над простором X є еквівалентними.
Ядро і коядро, моно- і епіморфізми
Якщо розглядаються пучки у абелевій категорії (на практиці переважно абелеві групи, можливо із додатковою структурою, наприклад модулі над деяким кільцем) то для морфізма визначені поняття ядра, коядра і пов'язані поняття.
Ядро і момоморфізм
Нехай і
є передпучками абелевих груп і
— морфізм між ними. Для кожної відкритої множини
згідно означення
є гомоморфізмом абелевих груп і тому можна визначити ядро
Якщо і
то
тому усі
разом із відповідними відображеннями обмеження утворюють передпучок, який називається ядром морфізму
Якщо
і
є пучками то і ядро довільного морфізму пучків між ними є пучком.
Морфізм передпучків називається мономорфізмом якщо він задовольняє одну із еквіваленних умов:
- Його ядро є нульовим передпучком тобто для всіх відкритих множин
- Морфізм передпучків є мономорфізмом у теоретико категорному сенсі, тобто для будь-якого передпучка
і морфізмів
із рівності
випливає рівність
- Всі гомоморфізми
є ін'єктивними.
Для мономорфізма всі індуковані гомоморфізми на шарах теж є ін'єктивними і для монопередпучків (зокрема для пучків) ця умова є еквівалентною означенню мономорфізму.
Поняття мономорфізму має зміст і для пучків множин якщо вимагати щоб усі були ін'єктивними відображеннями. Для пучків із довільної абелевої категорії теж можна ввести поняття ядра розглядаючи теоретико категорні означення ядра морфізмів
і морфізми обмежень.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Puchok abstraktnij matematichnij ob yekt vikoristannya yakogo zabezpechuye yedinij pidhid dlya vstanovlennya zv yazkiv mizh lokalnimi i globalnimi vlastivostyami topologichnih prostoriv zokrema geometrichnih ob yektiv i shiroko vikoristovuyetsya v suchasnij algebri geometriyi topologiyi i analizi ViznachennyaPeredpuchok Na topologichnomu prostori X zadanij peredpuchok F displaystyle mathcal F ob yektiv yaksho Kozhnij vidkritij pidmnozhini U X displaystyle U subset X zistavlenij pevnij ob yekt deyakoyi kategoriyi C displaystyle mathcal C najchastishe deyaka mnozhina abeleva grupa kilce modul nad kilcem i t p F U C displaystyle mathcal F U in mathcal C Dlya kozhnoyi pari vidkritih mnozhin V U displaystyle V subset U viznachenij morfizm obmezhennya r U V F U F V displaystyle r UV mathcal F U rightarrow mathcal F V takij sho r U U displaystyle r UU totozhnij morfizm ob yekta F U displaystyle mathcal F U i dlya kozhnoyi trijki vidkritih mnozhin W V U displaystyle W subset V subset U vikonuyetsya r U W r V W r U V displaystyle r UW r VW circ r UV dd Yaksho ob yekti C displaystyle mathcal C ye mnozhinami to elementi F U displaystyle mathcal F U takozh nazivayutsya peretinami puchka nad mnozhinoyu U Inshimi slovami peredpuchok kontravariantnij funktor z kategoriyi vidkritih pidmnozhin X i yih vkladen v deyaku kategoriyu Puchok Peredpuchok F displaystyle mathcal F na X nazivayetsya puchkom mnozhin abelevih grup kilec moduliv nad kilcem i t p yaksho vin zadovolnyaye dvi umovi Yaksho s s F V displaystyle s s in mathcal F V dlya deyakoyi vidkritoyi mnozhini V prostoru X i dlya yiyi vidkritogo pokrittya simejstvom vidkritih mnozhin V i I displaystyle V i I dlya vsih mnozhin iz pokrittya r V V i s r V V i s displaystyle r VV i s r VV i s to takozh s s displaystyle s s Peredpuchki iz takoyu vlastivistyu takozh nazivayutsya monoperedpuchkami Dlya dovilnogo vidkritogo pokrittya simejstvom vidkritih mnozhin V i I displaystyle V i I i dlya dovilnih s i F V i displaystyle s i in mathcal F V i z togo sho s i V i V j s j V i V j displaystyle s i V i cap V j s j V i cap V j viplivaye isnuvannya takogo s F V displaystyle s in mathcal F V sho s V i s i displaystyle s V i s i dlya vsih elementiv pokrittya dd Zamitka Viznachennya puchka isnuye i u vipadku koli ob yektami kategoriyi ne ye mnozhini Prote cej vipadok vimagaye glibshih ponyat teoriyi kategorij i ne chasto vikoristovuyetsya u zastosuvannyah PrikladiPuchki funkcij Odnim z najprostishih i najvazhlivishih prikladiv ye puchok neperervnih funkcij na topologichnomu prostori X Obmezhennya neperervnoyi funkciyi na vidkritu pidmnozhinu ye neperervnoyu funkciyeyu na cij pidmnozhini i funkciya zadana chastkovo na vidkritih pidmnozhinah mozhe buti vidnovlena na yih ob yednanni Tochnishe dlya kozhnoyi vidkritoyi pidmnozhini U prostoru X poznachimo F U mnozhinu vsih neperervnih dijsnoznachnih funkcij f X R displaystyle f X to mathbb R Mayuchi vidkritu mnozhinu V sho mistitsya v U i funkciyi f z F U mi mozhemo zvuziti oblast viznachennya funkciyi f do mnozhini V i oderzhati funkciyu f V displaystyle f V Obmezhennya f V displaystyle f V ye neperervnoyu funkciyeyu na V otzhe vono ye elementom mnozhini F V Takim chinom viznacheno vidobrazhennya obmezhennya r U V F U F V displaystyle r UV F U to F V Pripustimo sho zadana uzgodzhena sistema neperervnih funkcij f i U i R i I displaystyle f i U i to mathbb R i in I Ce oznachaye sho obmezhennya funkcij fi i fj na mnozhini U i U j displaystyle U i cap U j povinni buti rivnimi Viznachimo teper funkciyu f U R displaystyle f U to mathbb R takim chinom oskilki U ob yednannya vsih Ui kozhna tochka x z U pokrita mnozhinoyu Ui dlya deyakogo i Viznachimo znachennya funkciyi f v tochci x rivnim fi x Ce viznachennya korektno yaksho x lezhit takozh i v Uj to po umovi uzgodzhenosti fi x fj x tomu vse odno yaku z cih funkcij koristuvatisya dlya viznachennya f x Pri comu funkciya f neperervna v tochci x oskilki v yiyi okoli Ui vona rivna neperervnij funkciyi fi x U rezultati funkciya f neperervna v kozhnij tochci z U tobto neperervna v U Bilsh togo f yedina neperervna funkciya obmezhennya yakoyi na oblasti Ui rivne fi oskilki funkciya povnistyu viznachayetsya svoyimi znachennyami v tochkah Naspravdi oderzhanij puchok ye ne prosto puchkom mnozhin Oskilki neperervni funkciyi mozhna potochkovo dodavati i oderzhuvati znovu neperervni funkciyi cej puchok takozh ye puchkom abelevih grup Oskilki yih takozh mozhna peremnozhuvati cej puchok ye puchkom komutativnih kilec Oskilki neperervni funkciyi na mnozhini utvoryuyut vektornij prostir nad R displaystyle mathbb R to cej puchok puchok algebr nad R displaystyle mathbb R Shari peredpuchkiv i puchkivNehaj X ye topologichnim prostorom i x X displaystyle x in X deyakoyu jogo tochkoyu Nehaj takozh na comu prostori zadano peredpuchok F displaystyle mathcal F ob yekti F U displaystyle mathcal F U yakogo ye mnozhinami mozhlivo iz dodatkovoyu strukturoyu napriklad abelevi grupi kilcya Shar F x displaystyle mathcal F x puchka F displaystyle mathcal F u tochci x displaystyle x dozvolyaye vivchiti vlastivosti puchka v okoli ciyeyi tochki Formalno F x lim U x F U displaystyle mathcal F x varinjlim U ni x mathcal F U de pryama granicya beretsya po usih vidkritih pidmnozhinah prostoru X displaystyle X yaki misyat tochku x displaystyle x Mnozhina takih vidkritih pidmnozhin ye spryamovanoyu shodo vklyuchennya mnozhin i verhnoyu mezheyu dvoh mnozhin ye yih peretin Iz oznachennya pryamoyi granici mozhna bilsh detalno zapisati sharom F x displaystyle mathcal F x ye faktor mnozhina mnozhini usih U s displaystyle U s de U displaystyle U ye vidkritoyu mnozhinoyu sho mistit x displaystyle x a s F U displaystyle s in mathcal F U i dvi pari U s displaystyle U s i V r displaystyle V r ye ekvivalentnimi yaksho isnuye vidkritij okil W U V displaystyle W subset U cap V tochki x displaystyle x dlya yakogo r U W s r V W r displaystyle r UW s r VW r Yaksho ob yekti peredpuchka mayut dodatkovu strukturu to taku strukturu mozhna zadati i na vsih sharah peredpuchka Napriklad u vipadku abelevih grup suma dvoh elementiv U s displaystyle U s i V r displaystyle V r sharu F x displaystyle mathcal F x zadayetsya yak U s V r U V r U U V s r V U V r displaystyle U s V r U cap V r U U cap V s r V U cap V r Iz ciyeyu operaciyeyu F x displaystyle mathcal F x tezh ye abelevoyu grupoyu Dlya s F U displaystyle s in mathcal F U element U s displaystyle U s sharu F x displaystyle mathcal F x chasto takozh poznachayetsya s x displaystyle s x U vipadku puchkiv yaksho s s F U displaystyle s s in mathcal F U to s s displaystyle s s todi i tilki todi koli s x s x displaystyle s x s x dlya vsih tochok x U displaystyle x in U Dlya peredpuchkiv take tverdzhennya ye nepravdivim Analogichno ponyattya sharu mozhna vvesti dlya peredpuchkiv iz znachennyami u dovilnij kategoriyi u yakij isnuyut pryami granici Yak i vishe sharom u tochci x displaystyle x bude pryama granicya shodo spryamovanoyi mnozhini vidkritih pidmnozhin sho mistyat x displaystyle x Prikladi Yaksho G displaystyle G abeleva grupa X displaystyle X topologichnij prostir i x X displaystyle x in X mozhna zadati peredpuchok F displaystyle mathcal F u yakomu F U G displaystyle mathcal F U G yaksho x U displaystyle x in U i F U 0 displaystyle mathcal F U 0 yaksho x U displaystyle x not in U i vidobrazhennya obmezhennya r U V displaystyle r UV ye abo izomorfizmom G G displaystyle G to G abo odnim iz zobrazhen G 0 displaystyle G to 0 chi 0 0 displaystyle 0 to 0 v zalezhnosti vid togo chi nalezhit tochka x displaystyle x mnozhinam U displaystyle U i V displaystyle V Todi F x G displaystyle mathcal F x G i F y 0 displaystyle mathcal F y 0 dlya y x displaystyle y neq x Yaksho natomist F U G displaystyle mathcal F U G dlya vsih vidkritih mnozhin U X displaystyle U subset X to takozh i F x G displaystyle mathcal F x G dlya vsih tochok x X displaystyle x in X Tut G displaystyle G mozhe poznachati dovilnu mnozhinu chi navit ob yekt dovilnoyi kategoriyi Peredpuchki takogo tipu nazivayutsya stalimi peredmuchkami Prostir puchka etalnij prostir Alternativno oznachennya puchka nad topologichnim prostorom X displaystyle X mozhna dati za dopomogoyu deyakogo topologichnogo prostoru prostoru puchka chi etalnogo prostoru vid francuzkogo espace etale i vidobrazhennya iz cogo prostoru na X displaystyle X sho ye lokalnim gomeomorfizmom Istorichno take oznachennya z yavilosya davnishe nizh oznachennya na pochatku statti Dlya etalnogo prostoru vidpovidnij puchok oderzhuyetsya yak mnozhina lokalnih peretiniv tobto dlya U X displaystyle U subset X za oznachennyam F U displaystyle mathcal F U ye mnozhinoyu usih neperervnih vidobrazhen iz U displaystyle U u vidpovidnij prostir sho ye pravimi obernenimi do vidpovidnogo lokalnogo gomeomorfizmu Etalni prostori pered puchkiv Dlya dovilnogo puchka i navit peredpuchka mozhna pobuduvati vidpovidnij etalnij prostir Nehaj F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom mnozhin nad topologichnim prostorom X displaystyle X Yak mnozhina vidpovidnij etalnij prostir ye diz yunktnim ob yednannyam usih shariv peredpuchka E x X F x textstyle E bigsqcup x in X mathcal F x Yaksho e E displaystyle e in E ye deyakoyu dovilnoyu tochkoyu prostoru to e F x textstyle e in F x dlya deyakogo x X displaystyle x in X i todi mozhna zadati vidobrazhennya p E X displaystyle p E to X dlya yakogo p e x displaystyle p e x Zgidno oznachennya p 1 x F x textstyle p 1 x mathcal F x Na mnozhini E textstyle E mozhna zadati topologiyu za dopomogoyu bazi elementami yakoyi ye mnozhini vidu E U s textstyle E U s de U X displaystyle U subset X ye vidkritoyu mnozhinoyu s F U displaystyle s in mathcal F U i E U s x U s x textstyle E U s bigcup x in U s x Ci mnozhini utvoryuyut bazu topologiyi oskilki yaksho e E U s E V s displaystyle e in E U s cap E V s to za oznachennyam s x s x displaystyle s x s x dlya x p e displaystyle x p e i tomu isnuye vidkrita mnozhina W U V displaystyle W subset U cap V dlya yakoyi s W r U W s r V W s displaystyle s W r UW s r VW s i todi E W s W E U s E V s displaystyle E W s W subset E U s cap E V s Dlya topologiyi porodzhenoyi ciyeyu bazoyu vidobrazhennya p displaystyle p ye lokalnim gomeomorfizmom Usi vidobrazhennya vidu s U E x s x displaystyle hat s U to E x to s x dlya vidkritih mnozhin U X displaystyle U subset X i elementiv s F U displaystyle s in mathcal F U ye neperervnimi Takozh dlya takih vidobrazhen p s x x displaystyle p hat s x x dlya vsih x U displaystyle x in U tobto usi s displaystyle hat s ye lokalnimi peretinami Abstraktnij etalnij prostir i jogo puchok Vrahovuyuchi ci vlastivosti mozhna navpaki dlya topologichnogo prostoru X displaystyle X dati oznachennya prostoru puchka abo etalnogo prostoru yak topologichnogo prostoru E displaystyle E dlya yakogo isnuye syur yektivne vidobrazhennya p E X displaystyle p E to X sho ye lokalnim gomeomorfizmom Pri takomu oznachenni vidobrazhennya p displaystyle p ye vidkritim Yaksho poznachiti F U displaystyle mathcal F U mnozhinu vsih peretiniv tobto neperervnih vidobrazhen s U E displaystyle s U to E dlya yakih p s displaystyle p circ s ye totozhnim vidobrazhennyam to iz vidpovidnimi obmezhennyami na vidkriti pidmnozhini oderzhuyetsya puchok F displaystyle mathcal F Dlya dovilnogo pererizu s F U displaystyle s in mathcal F U obraz s U displaystyle s U bude vidkritoyu mnozhinoyu i vsi taki mnozhini dlya riznih U displaystyle U i s displaystyle s utvoryuyut bazu topologiyi prostoru E displaystyle E Dlya dovilnoyi tochki x X displaystyle x in X shar F x displaystyle mathcal F x puchka F displaystyle mathcal F ye izomorfnim mnozhini p 1 x displaystyle p 1 x prostoru E displaystyle E Vlastivosti Takim chinom dlya dovilnogo peredpuchka mnozhin oderzhuyetsya vidpovidnij etalnij prostir i navpaki dlya kozhnogo etalnogo prostoru oderzhuyetsya puchok Pri comu vikonuyutsya vlistivosti Yaksho dlya dovilnogo etalnogo prostoru oderzhati yak vishe vidpovidnij puchok a dlya nogo pobuduvati etalnij prostir to vin bude izomorfnij pochatkovomu prostoru Yaksho dlya dovilnogo puchka pobuduvati etalnij prostir i z nogo oderzhati puchok to vin bude izomorfnim pochatkovomu puchku Dlya peredpuchkiv sho ne ye puchkami ce ne tak oskilki za opisanoyu vishe proceduroyu iz etalnogo prostoru zavzhdi oderzhuyetsya same puchok Dlya togo shob rozglyadati puchki iz dodatkovimi algebrichnimi strukturami vimagayetsya neperervnist vidpovidnih algebrichnih operacij Napriklad dlya abelevih grup pri oznacheni abstraktnogo etalnogo prostoru dodayetsya vimoga shob na usih sharah p 1 x displaystyle p 1 x bula zadana struktura abelevoyi grupi i vidpovidna operaciya dodavannya bula neperervnoyu Tobto yaksho poznachiti S e e E E p e p e displaystyle S e e in E times E p e p e to vidobrazhennya e e e e displaystyle e e to e e maye buti neperervnim vidobrazhennyam iz S displaystyle S u E displaystyle E Dlya etalnogo prostoru iz takimi umovami vidpovidnij puchok bude mati vidpovidnu strukturu napriklad abelevih grup Navpaki yaksho na sharah etalnogo prostoru porodzhenogo peredpuchkom vvesti strukturu shariv peredpuchka to u vkazanij topologiye algebrichni operaciyi budut neperervnimi Priklad Nehaj F displaystyle mathcal F ye stalim peredpuchkom nad topologichnim prostorom X displaystyle X de vsi F U displaystyle mathcal F U ye rivni deyakij mnozhini M displaystyle M Oskilki vsi shari cogo peredpuchka tezh ye rivnimi M displaystyle M to yak mnozhina etalnij prostir ye rivnim dobutku mnozhin X M displaystyle X times M i vidobrazhennya p displaystyle p ye proekciyeyu na pershij mnozhnik Oskilki dlya vsih vidkritih mnozhin U X displaystyle U subset X i m M displaystyle m in M mnozhini U m displaystyle U times m ye elementami bazi topologiyi to sam prostir iz ciyeyu topologiyeyu ye dobutkom topologichnih prostoriv X displaystyle X i M displaystyle M iz diskretnoyu topologiyeyu Puchok porodzhenij peredpuchkomYaksho F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom na topologichnomu prostori X displaystyle X dlya nogo isnuye tisno pov yazanij puchok F displaystyle mathcal F nad tim zhe prostorom sho nazivayetsya puchkom porodzhenim peredpuchkom abo asocijovanim iz peredpuchkom v anglijskij movi vikoristovuyetsya takozh termin sheafification Jogo oznachennya mozhna dati kilkoma posobami Dlya kozhnoyi vidkritoyi mnozhini U X displaystyle U subset X mnozhinu F U displaystyle mathcal F U zminyuyut tak shob zadovolnyalisya umovi v oznachenni puchka Ce mozhna zrobiti v dva etapi Zamist F U displaystyle mathcal F U rozglyadayetsya faktor mnozhina F U displaystyle bar mathcal F U u yakij elementi s s F U displaystyle s s in mathcal F U nalezhat odnomu klasu ekvivalentnosti yaksho i tilki yaksho s x s x displaystyle s x s x dlya vsih x U displaystyle x in U sho rivnoznachno isnuvannyu vidkritogo pokrittya U i I displaystyle U i I obmezhennya s displaystyle s i s displaystyle s na vsi elementi yakogo ye rivnimi Dlya cih faktor mnozhin takozh viznachenimi ye vidobrazhennya obmezhennya adzhe yaksho V U displaystyle V subset U to z togo sho s x s x displaystyle s x s x dlya vsih x U displaystyle x in U viplivaye sho s x s x displaystyle bar s x bar s x dlya vsih x V displaystyle x in V de s s displaystyle bar s bar s poznachayut obmezhennya s s F U displaystyle s s in mathcal F U na mnozhinu V displaystyle V Tobto obrazi predstavnikiv odnogo klasu ekvivalentnosti tezh nalezhat odnomu klasu ekvivalentnosti Oderzhanij takim chinom peredpuchok F displaystyle bar mathcal F ye monoperedpuchkom porodzhenim puchkom F displaystyle mathcal F Dlya monoperedpuchka F displaystyle bar mathcal F zamist F U displaystyle bar mathcal F U rozglyadayetsya mnozhina F U displaystyle mathcal F U elementami yakoyi ye klasi ekvivalentnosti vidkritih pokrittiv V i I displaystyle V i I i elementiv s i F V i displaystyle s i in mathcal F V i dlya yakih s i V i V j s j V i V j displaystyle s i V i cap V j s j V i cap V j dlya vsih elementiv pokrittya Dva pokrittya V i I displaystyle V i I i U j J displaystyle U j J iz vidpovidnimi elementami s i displaystyle s i i t j displaystyle t j zadayut odin element F U displaystyle mathcal F U yaksho dlya vsih neporozhnih V i U j displaystyle V i cap U j zavzhdi s i V i U j t j V i U j displaystyle s i V i cap U j t j V i cap U j Todi F U F U displaystyle bar mathcal F U subset mathcal F U i vidobrazhennya r U W displaystyle r UW mozhna zadati yaksho obrazom pokrittya V i I displaystyle V i I iz s i F V i displaystyle s i in mathcal F V i sho zadovolnyayut vkazani umovi viznachiti pokrittya W V i I displaystyle W cap V i I iz obmezhennyami s i W V i displaystyle s i W cap V i Todi F displaystyle mathcal F ye puchkom yakij i nazivayut puchkom porodzhenim peredpuchkom F displaystyle mathcal F Yaksho F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom na topologichnomu prostori X displaystyle X dlya nogo mozhna oderzhati etalnij prostir E F displaystyle E mathcal F Todi rozglyadayuchi yak u poperednomu rozdili mnozhini peretiniv oderzhuyetsya puchok F displaystyle mathcal F yakij i bude puchkom porodzhenim peredpuchkom F displaystyle mathcal F Okrim togo dlya kozhnoyi kozhnoyi vidkritoyi mnozhini U X displaystyle U subset X viznachayutsya vidobrazhennya F U F U displaystyle mathcal F U to mathcal F U zadani yak s s displaystyle s to hat s dlya s F U displaystyle s in mathcal F U i s displaystyle hat s porodzhenij nim peretin etalnogo prostoru opisanij vishe Ci vidobrazhennya zadayut morfizm peredpuchkiv f F F displaystyle f mathcal F to mathcal F She odne oznachennya mozhna dati za dopomogoyu universalnih vlastivostej Ce oznachennya mozhna vikoristovuvati i u vipadkah peredpuchkiv iz znachennyami u bilsh zagalnih kategoriyah nizh kategoriya mnozhin Ce oznachennya vikoristovuye ponyattya morfizmiv peredpuchkiv i puchkiv yaki opisani nizhche Nehaj F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom na topologichnomu prostori X displaystyle X Todi isnuye yedinij z tochnistyu do izomorfizmiv puchok F displaystyle mathcal F i morfizm peredpuchkiv f F F displaystyle f mathcal F to mathcal F dlya yakih vikonuyetsya universalna vlastivist dlya bud yakogo puchka G displaystyle mathcal G i morfizma peredpuchkiv h F G displaystyle h mathcal F to mathcal G isnuye yedinij morfizm puchkiv g F G displaystyle g mathcal F to mathcal G dlya yakogo h g f displaystyle h g circ f Puchok F displaystyle mathcal F i bude puchkom porodzhenim peredpuchkom F displaystyle mathcal F Vlastivosti Yaksho F displaystyle mathcal F ye puchkom to puchok porodzhenij nim ye izomorfnim puchku F displaystyle mathcal F Dlya vsih tochok x X displaystyle x in X dlya peredpuchka i porodzhenogo nim puchka shari F x displaystyle mathcal F x i F x displaystyle mathcal F x ye izomorfnimi U vipadku mnozhin ce oznachaye biyektivnist u vipadku dodatkovih struktur takozh izomorfizm vidnosno algebrichnih operacij Do togo zh izomorfizm porodzhuyetsya morfizmami peredpuchkiv f F F displaystyle f mathcal F to mathcal F opisanimi v poperednih oznachennyah Prikladi Nehaj G displaystyle G dovilna netrivialna abeleva grupa i X displaystyle X topologichnij prostir dlya yakogo isnuye netrivialne vidkrite pokrittya Yaksho F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom dlya yakogo F X G displaystyle mathcal F X G ale F U 0 displaystyle mathcal F U 0 tobto trivialna grupa dlya vsih inshih vidkritih mnozhin U X displaystyle U subset X Iz vidobrazhennyami obmezhennya G 0 displaystyle G to 0 i izomorfizmami 0 0 displaystyle 0 to 0 F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom Porodzhenij nim monoperedpuchok i porodzhenij puchok F displaystyle mathcal F ye puchkom trivialnih grup tobto F U 0 displaystyle mathcal F U 0 dlya vsih vidkritih mnozhin zokrema takozh F X 0 displaystyle mathcal F X 0 Dlya usih shariv takozh F x F x 0 displaystyle mathcal F x mathcal F x 0 Nehaj X 0 1 displaystyle X 0 1 i dlya vidkritih mnozhin U X displaystyle U subset X za oznachennyam F U C U displaystyle mathcal F U C U tobto mnozhini neperervnih dijsnoznachnih funkcij na U displaystyle U yaksho hocha b odna iz tochok 0 abo 1 ne nalezhit U displaystyle U i F U g C U g 0 g 1 displaystyle mathcal F U g in C U g 0 g 1 tobto mnozhini neperervnih dijsnoznachnih funkcij na U displaystyle U sho prijmayut odnakovi znachennya u tochkah 0 i 1 yaksho 0 1 U displaystyle 0 1 in U Razom iz standartnimi vidobrazhennyami obmezhennya F displaystyle mathcal F ye peredpuchkom i navit monoperedpuchkom Prote F displaystyle mathcal F ne ye puchkom Napriklad dlya U 0 0 75 displaystyle U 0 0 75 i V 0 25 1 displaystyle V 0 25 1 i g 1 U R g 1 x x displaystyle g 1 U to mathbb R g 1 x x i g 2 V R g 2 x x displaystyle g 2 V to mathbb R g 2 x x ochevidno sho g 1 U V g 2 U V displaystyle g 1 U cap V g 2 U cap V prote yedinoyu funkciyeyu na X displaystyle X dlya yakoyi g U g 1 g V g 2 displaystyle g U g 1 g V g 2 ye funkciya g x x displaystyle g x x dlya yakoyi g 0 g 1 displaystyle g 0 neq g 1 Analogichno dlya dovilnogo vidkritogo pokrittya mnozhini U displaystyle U dlya yakoyi 0 1 U displaystyle 0 1 in U i funkcij sho uzgodzhuyutsya na peretinah mozhna oderzhati neperervnu funkciyu na U displaystyle U dlya yakoyi mozhlivo g 0 g 1 displaystyle g 0 neq g 1 Navpaki dovilnu neperervnu funkciyu mozhna oderzhati v takij sposib z vikoristannyam lishe dvoh vidkritih mnozhin odna z yakih mistit lishe tochku 0 a insha lishe tochku 1 Tomu puchkom porodzhenim peredpuchkom F displaystyle mathcal F ye puchok neperervnih funkcij na 0 1 displaystyle 0 1 Nehaj X R displaystyle X mathbb R i F U displaystyle mathcal F U mnozhina neperervnih obmezhenih funkcij na U displaystyle U F displaystyle mathcal F ye monoperedpuchkom ale ne puchkom Napriklad vidkriti mnozhini U i displaystyle U i dijsnih chisel x displaystyle x dlya yakih x lt i displaystyle x lt i utvoryuyut pokrittya i obmezhennya funkciyi g x x displaystyle g x x na ci mnozhini ye elementami usih F U i displaystyle mathcal F U i Ale sama funkciya g displaystyle g ye neobmezhenoyu na vsij dijsnij pryamij Puchkom porodzhenim F displaystyle mathcal F ye puchok neperervnih funkcij Yaksho X M displaystyle X times M ye dobutkom topologichnih prostoriv X displaystyle X i M displaystyle M iz diskretnoyu topologiyeyu to iz proekciyeyu na pershij mnozhnik vin ye etalnim prostorom Dlya vidkritoyi mnozhini U X displaystyle U subset X mnozhina vsi peretini mozhut buti zapisani yak F x x f x displaystyle F x to x times f x de f x displaystyle f x ye lokalno staloyu funkciyeyu iz U displaystyle U u M displaystyle M Vidpovidno i puchok oderzhanij iz cogo prostoru mozhna identifikuvati iz puchkom lokalno stalih funkcij u mnozhinu M displaystyle M Zvidsi viplivaye sho puchok porodzhenij stalim peredpuchkom dlya X displaystyle X i M displaystyle M tezh mozhna identifikuvati iz puchkom lokalno stalih funkcij u mnozhinu M displaystyle M Morfizmi peredpuchkiv puchkiv i etalnih prostoriv nad odnim prostoromOskilki puchki mistyat dani spivvidneseni kozhnij vidkritij pidmnozhini prostoru X morfizm puchkiv viznachayetsya yak nabir vidobrazhen dlya kozhnoyi vidkritoyi mnozhini sho zadovolnyaye deyakim umovam uzgodzhenosti U comu rozdili vsi puchki viznacheni nad prostorom X i prijmayut znachennya u fiksovanij kategoriyi C koli mova pide pro yadro i koyadro morfizmiv peredbachayetsya sho C abeleva kategoriya Dlya najvazhlivishih zastosuvan C ye kategoriyeyu mnozhin iz dodatkovoyu strukturoyu zokrema abelevoyu grupoyu dlya ponyattya yadra i koyadra Morfizmi peredpuchkiv i puchkiv Nehaj F displaystyle mathcal F i G displaystyle mathcal G dva peredpuchki nad deyakim topologichnim prostorom Morfizm C peredpuchkiv na X f G F displaystyle varphi colon mathcal G to mathcal F zistavlyaye kozhnij vidkritij mnozhini U prostoru X morfizm f U G U F U displaystyle varphi U colon mathcal G U to mathcal F U tak sho vsi ci morfizmi uzgodzhuyutsya odin z odnim i vidobrazhennyami obmezhennya v oboh peredpuchkah Inshimi slovami dlya kozhnoyi vidkritoyi pidmnozhini U i vidkritoyi mnozhini V maye misce komutativna diagrama Dlya vipadku yaksho C ye kategoriyeyu mnozhin mozhlivo iz deyakoyu dodatkovoyu strukturoyu to umova uzgodzhenosti oznachaye sho kozhnomu peretinu s puchka F nad vidkritoyu mnozhinoyu U zistavleno deyakij peretin f U s displaystyle varphi U s nad U puchka G i yih obmezhennya na vidkritu pidmnozhinu V mnozhini U pov yazani morfizmom f V displaystyle varphi V Obmezhennya na V f U displaystyle varphi U obraza pererizu s rivne f V displaystyle varphi V obrazu jogo obmezhennya na V Yaksho F displaystyle mathcal F i G displaystyle mathcal G ye puchkami to vidpovidnij morfizm peredpuchkiv nazivayetsya morfizmom puchkiv na X Dlya x X displaystyle x in X morfizm peredpuchkiv chi puchkiv F displaystyle mathcal F i G displaystyle mathcal G zadaye indukovanij morfizm shariv F x displaystyle mathcal F x i G x displaystyle mathcal G x U vipadku peredpuchkiv mnozhin yaksho a F x displaystyle a in mathcal F x to a s x displaystyle a s x dlya deyakoyi vidkritoyi mnozhini U displaystyle U i elementa s F U displaystyle s in mathcal F U Za oznachennyam f x a f x s x f U s x displaystyle varphi x a varphi x s x varphi U s x de f U s G U displaystyle varphi U s in mathcal G U i f U s x displaystyle varphi U s x poznachaye element G x displaystyle mathcal G x sho nim viznachayetsya Iz uzgodzhenosti morfizmu peredpuchkiv iz vidobrazhennyami obmezhennya viplivaye nezalezhnist viznachennya morfizmu na sharah vid viboru predstavlennya elementa a F x displaystyle a in mathcal F x Bilsh zagalno vidobrazhennya na sharah mozhna rozglyadati dlya peredpuchkiv u bilsh shirokih klasah kategorij za dopomogoyu pryamih granic dlya morfizma f G F displaystyle varphi colon mathcal G to mathcal F indukovanij morfizm zadayetsya yak f x G x F x lim U x G U F U displaystyle varphi x mathcal G x to mathcal F x varinjlim U ni x mathcal G U to mathcal F U Morfizmi etalnih prostoriv Yaksho E displaystyle E i F displaystyle F ye dvoma etalnimi prostorami i p 1 E X displaystyle p 1 E to X i p 2 F X displaystyle p 2 F to X ye vidpovidnimi lokalnimi gomeomorfizmami to neperervne vidobrazhennya f E F displaystyle f E to F nazivayetsya morfizmom etalnih prostoriv yaksho p 1 p 2 f displaystyle p 1 p 2 circ f Morfizm etalnih prostoriv ye lokalnim gomeomorfizmom Yaksho poznachiti E displaystyle mathcal E i F displaystyle mathcal F vidpovdni puchki peretiniv to iz morfizmu f E F displaystyle f E to F oderzhuyetsya morfizm puchkiv f E F displaystyle varphi colon mathcal E to mathcal F A same yaksho s U E displaystyle s U to E ye deyakim peretinom E displaystyle mathcal E nad vidkritoyu mnozhinoyu U X displaystyle U subset X i vidpovidno elementom E U displaystyle mathcal E U to vidobrazhennya f s U F f s displaystyle varphi s U to F f circ s ye peretinom F displaystyle mathcal F nad vidkritoyu mnozhinoyu U displaystyle U i vidpovidno elementom F U displaystyle mathcal F U Oderzhani takim chinom vidobrazhennya E U F U displaystyle mathcal E U to mathcal F U uzgodzhuyutsya iz vidobrazhennyami obmezhennya i v sukupnosti zadayut morfizm puchkiv f E F displaystyle varphi colon mathcal E to mathcal F Navpaki yaksho E displaystyle mathcal E i F displaystyle mathcal F ye dovilnimi puchkami mnozhin f E F displaystyle varphi colon mathcal E to mathcal F morfizm mizh nimi a E displaystyle E i F displaystyle F vidpovidni etalni prostori to dovilnij element e E displaystyle e in E deyakogo sharu e F x textstyle e in F x dlya deyakogo x X displaystyle x in X i todi mozhna zadati vidobrazhennya f e f x e F x displaystyle f e varphi x e in mathcal F x de f x E x F x displaystyle varphi x colon mathcal E x to mathcal F x ye morfizmom na sharah indukovanim morfizmom puchkiv Zadane takim chinom vidobrazhennya f displaystyle f ye morfizmom etalnih prostoriv V oboh vipadkah odinichni morfizmi perevodyatsya v odinichni morfizmi i kompoziciya morfizmiv u kompoziciyu vidpovidnih morfizmiv Takim chinom oderzhuyutsya funktor iz kategoriyi etalnih prostoriv nad prostorom X u kategoriyu puchkiv nad cim prostorom i obernenij do nogo funktor iz kategoriyi puchkiv nad prostorom X u kategoriyu etalnih prostoriv nad cim prostorom Takim chinom kategoriyi puchkiv nad prostorom X i etalnih prostoriv nad prostorom X ye ekvivalentnimi Yadro i koyadro mono i epimorfizmi Yaksho rozglyadayutsya puchki u abelevij kategoriyi na praktici perevazhno abelevi grupi mozhlivo iz dodatkovoyu strukturoyu napriklad moduli nad deyakim kilcem to dlya morfizma viznacheni ponyattya yadra koyadra i pov yazani ponyattya Yadro i momomorfizm Nehaj F displaystyle mathcal F i G displaystyle mathcal G ye peredpuchkami abelevih grup i f G F displaystyle varphi colon mathcal G to mathcal F morfizm mizh nimi Dlya kozhnoyi vidkritoyi mnozhini U displaystyle U zgidno oznachennya f U G U F U displaystyle varphi U colon mathcal G U to mathcal F U ye gomomorfizmom abelevih grup i tomu mozhna viznachiti yadro K U ker f u s G U f u s 0 displaystyle K U ker varphi u s in mathcal G U varphi u s 0 Yaksho V U displaystyle V subset U i s K U displaystyle s in K U to f V r U V s r U V f U s r U V 0 0 displaystyle varphi V r UV s r UV varphi U s r UV 0 0 tomu usi K U displaystyle K U razom iz vidpovidnimi vidobrazhennyami obmezhennya utvoryuyut peredpuchok yakij nazivayetsya yadrom morfizmu f displaystyle varphi Yaksho F displaystyle mathcal F i G displaystyle mathcal G ye puchkami to i yadro dovilnogo morfizmu puchkiv mizh nimi ye puchkom Morfizm f G F displaystyle varphi colon mathcal G to mathcal F peredpuchkiv nazivayetsya monomorfizmom yaksho vin zadovolnyaye odnu iz ekvivalennih umov Jogo yadro ye nulovim peredpuchkom tobto dlya vsih vidkritih mnozhin K U 0 displaystyle K U 0 Morfizm peredpuchkiv ye monomorfizmom u teoretiko kategornomu sensi tobto dlya bud yakogo peredpuchka H displaystyle mathcal H i morfizmiv ps 1 ps 2 H G displaystyle psi 1 psi 2 colon mathcal H to mathcal G iz rivnosti f ps 1 f ps 2 displaystyle varphi circ psi 1 varphi circ psi 2 viplivaye rivnist ps 1 ps 2 displaystyle psi 1 psi 2 Vsi gomomorfizmi f U displaystyle varphi U ye in yektivnimi Dlya monomorfizma vsi indukovani gomomorfizmi na sharah f x displaystyle varphi x tezh ye in yektivnimi i dlya monoperedpuchkiv zokrema dlya puchkiv cya umova ye ekvivalentnoyu oznachennyu monomorfizmu Ponyattya monomorfizmu maye zmist i dlya puchkiv mnozhin yaksho vimagati shob usi f U displaystyle varphi U buli in yektivnimi vidobrazhennyami Dlya puchkiv iz dovilnoyi abelevoyi kategoriyi tezh mozhna vvesti ponyattya yadra rozglyadayuchi teoretiko kategorni oznachennya yadra morfizmiv f U displaystyle varphi U i morfizmi obmezhen