У математиці, більш детально топології, локальний гомеоморфізм є функція між топологічними просторами що, інтуїтивно, зберігає локальну структуру.
Означення
Нехай і — топологічні простіори. Відображення називається локальним гомеоморфізмом якщо для кожної точки в існує відкрита множина , що містить , така що образ є відкритою підмножиною в і обмеження є гомеоморфізмом.
Приклади
- За означенням, кожен гомеоморфізм є також локальним гомеоморфізмом.
- Якщо є відкритою підмножиною з індукованою топологією, тоді відображення включення є локальним гомеоморфізмом. Факт, що є відкритою підмножиною є важливим, в іншому випадку включення не є локальним гомеоморфізмом.
- Нехай — відображення дійсної прямої в коло задане як для всіх ). Це відображення є локальним гомеоморфізмом але не гомеоморфізмом.
- Нехай — неперервне відображення кола в себе . Це відображення є локальним гомеоморфізмом для всіх ненульових , а гомеоморфізмом є тільки у випадках коли = 1 чи -1.
- Більш загально, будь-яке накриття є локальним гомеоморфізмом; зокрема, універсальне накриття простору є локальним гомеоморфізмом. В деяких випадках справедливим є і обернене твердження. Наприклад: якщо є гаусдорфовим простором і є локально компактним і гаусдорфовим і є власним локальний гомеоморфізмом, тоді є відображенням накриття.
- У комплексному аналізі голоморфна функція (де є відкритою підмножиною комплексної площини ) є локальним гомеоморфізмом тоді і тільки тоді коли похідна є ненульовою для всіх . Функція на відкритому крузі із центром 0 не є локальним гомеоморфізмом в 0 коли є не меншим 2.
- З використанням теореми про обернену функцію можна довести, що неперервно диференційовна функція (де є відкритою підмножиною ) є локальним гомеоморфізмом якщо і тільки якщо похідна є невиродженим лінійним відображенням (невиродженою квадратною матрицею) для кожного . Аналогічне твердження є справедливим для відображень між диференційовними многовидами.
Властивості
- Довільний локальний гомеоморфізм є неперервним і відкритим відображенням. Бієктивний локальний гомеоморфізм є гомеоморфізмом.
Локальний гомеоморфізм зберігає "локальні" топологічні властивості:
- є локально зв'язаним простором якщо і тільки якщо є локально зв'язаним
- є локально лінійно зв'язаним якщо і тільки якщо є локально лінійно зв'язаним
- є локально компактний простір якщо і тільки якщо є локально компактним
- є простором із першою аксіомою зліченності якщо і тільки якщо є таким простором
- Якщо є локальним гомеоморфізмом і є відкритою підмножиною , тоді обмеження є локальним гомеоморфізмом.
- Якщо і є локальними гомеоморфізмами, тоді композиція також є локальним гомеоморфізмом.
Примітки
- Munkres, James R. (2000). Topology (вид. 2nd). Prentice Hall. ISBN .
Див. також
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici bilsh detalno topologiyi lokalnij gomeomorfizm ye funkciya mizh topologichnimi prostorami sho intuyitivno zberigaye lokalnu strukturu OznachennyaNehaj X displaystyle X i Y displaystyle Y topologichni prostiori Vidobrazhennya f X Y displaystyle f X to Y nazivayetsya lokalnim gomeomorfizmom yaksho dlya kozhnoyi tochki X displaystyle X v X displaystyle X isnuye vidkrita mnozhina U displaystyle U sho mistit X displaystyle X taka sho obraz f U displaystyle f U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu v Y displaystyle Y i obmezhennya f U U f U displaystyle f U U to f U ye gomeomorfizmom PrikladiZa oznachennyam kozhen gomeomorfizm ye takozh lokalnim gomeomorfizmom Yaksho U displaystyle U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu Y displaystyle Y z indukovanoyu topologiyeyu todi vidobrazhennya vklyuchennya i U Y displaystyle i U to Y ye lokalnim gomeomorfizmom Fakt sho U displaystyle U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu ye vazhlivim v inshomu vipadku vklyuchennya ne ye lokalnim gomeomorfizmom Nehaj f R S 1 displaystyle f R to S 1 vidobrazhennya dijsnoyi pryamoyi v kolo zadane yak f t e i t displaystyle f t e it dlya vsih t R displaystyle t in mathbb R Ce vidobrazhennya ye lokalnim gomeomorfizmom ale ne gomeomorfizmom Nehaj f S 1 S 1 displaystyle f S 1 to S 1 neperervne vidobrazhennya kola v sebe n displaystyle n Ce vidobrazhennya ye lokalnim gomeomorfizmom dlya vsih nenulovih n displaystyle n a gomeomorfizmom ye tilki u vipadkah koli n displaystyle n 1 chi 1 Bilsh zagalno bud yake nakrittya ye lokalnim gomeomorfizmom zokrema universalne nakrittya p C Y displaystyle p C to Y prostoru Y displaystyle Y ye lokalnim gomeomorfizmom V deyakih vipadkah spravedlivim ye i obernene tverdzhennya Napriklad yaksho X displaystyle X ye gausdorfovim prostorom i Y displaystyle Y ye lokalno kompaktnim i gausdorfovim i p X Y displaystyle p X to Y ye vlasnim lokalnij gomeomorfizmom todi p displaystyle p ye vidobrazhennyam nakrittya U kompleksnomu analizi golomorfna funkciya f U C displaystyle f U to mathbb C de U displaystyle U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C ye lokalnim gomeomorfizmom todi i tilki todi koli pohidna f z displaystyle f z ye nenulovoyu dlya vsih z U displaystyle z in U Funkciya f z z n displaystyle f z z n na vidkritomu kruzi iz centrom 0 ne ye lokalnim gomeomorfizmom v 0 koli n displaystyle n ye ne menshim 2 Z vikoristannyam teoremi pro obernenu funkciyu mozhna dovesti sho neperervno diferencijovna funkciya f U R n displaystyle f U to mathbb R n de U displaystyle U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu R n displaystyle mathbb R n ye lokalnim gomeomorfizmom yaksho i tilki yaksho pohidna D x f displaystyle D x f ye nevirodzhenim linijnim vidobrazhennyam nevirodzhenoyu kvadratnoyu matriceyu dlya kozhnogo x U displaystyle x in U Analogichne tverdzhennya ye spravedlivim dlya vidobrazhen mizh diferencijovnimi mnogovidami VlastivostiDovilnij lokalnij gomeomorfizm ye neperervnim i vidkritim vidobrazhennyam Biyektivnij lokalnij gomeomorfizm ye gomeomorfizmom Lokalnij gomeomorfizm f X Y displaystyle f X to Y zberigaye lokalni topologichni vlastivosti X displaystyle X ye lokalno zv yazanim prostorom yaksho i tilki yaksho f X displaystyle f X ye lokalno zv yazanim X displaystyle X ye lokalno linijno zv yazanim yaksho i tilki yaksho f X displaystyle f X ye lokalno linijno zv yazanim X displaystyle X ye lokalno kompaktnij prostir yaksho i tilki yaksho f X displaystyle f X ye lokalno kompaktnim X displaystyle X ye prostorom iz pershoyu aksiomoyu zlichennosti yaksho i tilki yaksho f X displaystyle f X ye takim prostorom Yaksho f X Y displaystyle f X to Y ye lokalnim gomeomorfizmom i U displaystyle U ye vidkritoyu pidmnozhinoyu X displaystyle X todi obmezhennya f U displaystyle f U ye lokalnim gomeomorfizmom Yaksho f X Y displaystyle f X to Y i g Y Z displaystyle g Y to Z ye lokalnimi gomeomorfizmami todi kompoziciya g f X Z displaystyle g circ f X to Z takozh ye lokalnim gomeomorfizmom PrimitkiMunkres James R 2000 Topology vid 2nd Prentice Hall ISBN 0 13 181629 2 Div takozhGomeomorfizmLiteraturaGaal Steven A 2009 Point set topology New York Dover Publications ISBN 978 0 486 47222 5 angl James I M 1984 General Topology and Homotopy Theory Springer Verlag ISBN 9781461382836 angl Munkres James R 2000 Topology vid 2nd Prentice Hall ISBN 0 13 181629 2 angl