Накриття (топологія)

Накриття — неперервне сюр'єктивне відображення ${\displaystyle \ p:X\to Y}$ топологічного простору X на топологічний простір Y, таке, що для будь-якої точки ${\displaystyle x\in Y}$ знайдеться окіл ${\displaystyle U\subset Y}$, повний прообраз якого ${\displaystyle \ p^{-1}(U)}$ є об'єднанням відкритих множин ${\displaystyle V_{k}\subset X}$, що не перетинаються:

Накриття відкритої множини U

${\displaystyle p^{-1}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots }$,

причому на кожній множині ${\displaystyle V_{k}}$ відображення ${\displaystyle p:\,V_{k}\to U}$ є гомеоморфізмом між ${\displaystyle V_{k}}$ і ${\displaystyle U}$.

Пов'язані визначення

• Простір Y називається базою накриття, а X — простором накриття (або накриваючим простором).
• Прообраз ${\displaystyle \ p^{-1}(x)}$ точки ${\displaystyle x\in Y}$ називають шаром над точкою ${\displaystyle x}$.
• Число областей V_k в повному прообразі ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ називається числом листів.
  • Якщо це число скінченне і рівне n, то накриття називається n-листовим.
• Накриття називається універсальним якщо накриваючий простір є однозв'язним.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle S^{1}}$ позначає одиничне коло комплексної площини ${\displaystyle S^{1}=\{z\in {\mathbb {C} ||z|=1}\}}$.
  • ${\displaystyle \ p:\mathbb {R} \to S^{1},\quad p:x\mapsto e^{2\pi ix}}$.
  • ${\displaystyle \ p:S^{1}\to S^{1},\quad p:z\mapsto z^{k}}$, де ${\displaystyle \ k\neq 0}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.
• Нехай ${\displaystyle X=S^{1}\times S^{1}\,}$ — тор. Тоді ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ є накриваючим простором і накриття задається формулою:
  • ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{2}\to S^{1}\times S^{1},\quad p:(x,y)\mapsto (e^{2\pi ix},e^{2\pi iy})}$.

Властивості

• Нехай ${\displaystyle p:X\to Y}$ — накриття і ${\displaystyle U\subset X}$ — відкрита підмножина простору X. Тоді множина p(U) е відкритою у Y.
• Нехай ${\displaystyle p:X\to Y}$ — накриття і Z — зв'язний і локально-зв'язний простір. Нехай ${\displaystyle a,b:Z\to X}$ — неперервні відображення, що задовольняють умови

1. ${\displaystyle p\circ a=p\circ b;}$
2. ${\displaystyle a(y_{0})=b(y_{0})\,}$ для деякого ${\displaystyle y_{0}\in Y.}$

тоді ${\displaystyle a=b.\,}$

• Накриття є частковими випадками локально тривіальних розшарувань. Їх можна розглядати як локально тривіальні розшарування з дискретним шаром.

Зв'язок з фундаментальною групою

Зазвичай накриття розглядається в припущенні зв'язності ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ а також локальної зв'язності і локальної однозв'язності ${\displaystyle Y}$. При цих припущеннях встановлюється зв'язок між фундаментальними групами ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(Yy_{0})}$: якщо ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0}}$, то індукований гомоморфізм ${\displaystyle p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Yy_{0})}$, відображає ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ ізоморфно на підгрупу в ${\displaystyle \pi _{1}(Yy_{0})}$ і, міняючи точку ${\displaystyle x_{0}}$ у ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$, можна одержати в точності всі підгрупи з деякого класу спряжених підгруп.

Якщо цей клас складається з однієї підгрупи ${\displaystyle H}$ (тобто ${\displaystyle H}$ — нормальна підгрупа), те накриття називається регулярним. В цьому випадку виникає вільна дія групи ${\displaystyle G=\pi _{1}(Yy_{0})/H}$ на ${\displaystyle X}$, причому ${\displaystyle p}$ виявляється фактор-відображенням на простір орбіт ${\displaystyle Y}$.

Взагалі, вільні дії дискретних груп — типове джерело регулярних накриттів (над простором орбіт, хоч і не всяка така дія задає накриття, простір орбіт може виявитися невіддільним).

Ця дія породжується підняттям петель: якщо петлі ${\displaystyle q:[0,1]\to Y}$, ${\displaystyle q(0)=q(1)=y_{0}}$, зіставити єдиний шлях ${\displaystyle {\tilde {q}}:[0,1]\to X}$, для якого ${\displaystyle q(0)=x_{0}}$ і ${\displaystyle p{\tilde {q}}=q}$, то точка ${\displaystyle {\tilde {q}}(1)}$ залежатиме тільки від класу цієї петлі в ${\displaystyle G}$ і від точки ${\displaystyle x_{0}}$. Таким чином, елементу з ${\displaystyle G}$ відповідає перестановка точок в ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$. Ця перестановка не має нерухомих точок, і неперервно залежить від точки ${\displaystyle y_{0}}$. Це визначає гомеоморфізм ${\displaystyle X}$, що комутує з ${\displaystyle p}$.

У загальному випадку ця конструкція визначає лише перестановку в ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$, тобто дію ${\displaystyle \pi _{1}(Yy_{0})}$ на ${\displaystyle p^{-1}(y_{0})}$, що називається монодромією накриття.

Окремим випадком регулярного накриття є універсальне накриття, для якого ${\displaystyle G=\pi _{1}(Yy_{0})}$ або, що еквівалентно, X — однозв'язний простір.

Взагалі, по кожній групі ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(Yy_{0})}$ однозначно будується накриття ${\displaystyle p:X\to Y}$, для якого образ ${\displaystyle \pi _{1}(Xx_{0})}$ є ${\displaystyle H}$.

Для будь-якого відображення ${\displaystyle f}$ лінійно зв'язного простору ${\displaystyle (Zz_{0})}$ у ${\displaystyle (Yy_{0})}$ підняття його до відображення ${\displaystyle {\tilde {f}}:(Zz_{0})\to (X,x_{0})}$ існує тоді і тільки тоді, коли образ ${\displaystyle f(\pi _{1}(Zz_{0}))}$ лежить в ${\displaystyle H}$. Між накриттями ${\displaystyle Y}$ є відношення часткового порядку (накриття деякого накриття простору X теж є накриттям простору X), подвійне включенню підгруп в ${\displaystyle \pi _{1}(Yy_{0})}$. Зокрема, універсальне накриття є єдиним максимальним елементом.

Див. також

• Фундаментальна група

Література

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука, 1986. — 760 с.
• Хатчер А. Алгебраическая топология. — М. : МЦНМО, 2011. — 688 с.
• Massey W. A Basic Course in Algebraic Topology. — Springer, 1991. — .
• Singer I., Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology. — Springer, 1967. — .