Ді́я групи на множині — це відображення
що має властивості:
для всіх де — це нейтральний елемент
З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом
Типи дій
- Вільна, якщо для будь-яких
не рівних між собою і довільного
виконується
.
- Транзитивна якщо для будь-яких
існує
такий, що
, тобто якщо
для довільного
.
- Ефективна, якщо для довільних
існує
такий, що
.
Орбіти елементів
називається орбітою елемента .
Дія групи на множині
визначає на ній відношення еквівалентності
Стабілізатор
Підмножина
є підгрупою групи і називається стабілізатором елемента
.
Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо , то існує такий елемент
, що
Кількість елементів в орбіті
Загальна кількість елементів в орбіті елемента визначається за формулою:
, де
— стабілізатор елемента
і
— індекс підгрупи
, що для скінченних груп рівний
.
Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то
і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді
і згідно з означенням стабілізатора
звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження
Якщо , то
— формула розбиття на орбіти.
Звідси випливають наступні тотожності:
Варіації та узагальнення
Див. також
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Di ya grupi G displaystyle G na mnozhini X displaystyle X ce vidobrazhennya G X X g x gx displaystyle G times X to X quad g x mapsto gx sho maye vlastivosti g hx gh x displaystyle g hx gh x ex x displaystyle ex x dlya vsih g h G x X displaystyle g h in G x in X de e displaystyle e ce nejtralnij element G displaystyle G Z aksiom grupi viplivaye sho dlya kozhnogo g G displaystyle g in G vidobrazhennya mnozhini X displaystyle X do sebe za formuloyu x gx displaystyle x mapsto gx ye biyekciyeyu abo avtomorfizmom X displaystyle X Tipi dijVilna yaksho dlya bud yakih g h G displaystyle g h in G ne rivnih mizh soboyu i dovilnogo m M displaystyle m in M vikonuyetsya gm hm displaystyle gm neq hm Tranzitivna yaksho dlya bud yakih m n M displaystyle m n in M isnuye g G displaystyle g in G takij sho gm n displaystyle gm n tobto yaksho Gm M displaystyle Gm M dlya dovilnogo m M displaystyle m in M Efektivna yaksho dlya dovilnih g h G displaystyle g h in G isnuye m M displaystyle m in M takij sho gm hm displaystyle gm neq hm Orbiti elementivPidmnozhina Gm gm g G M displaystyle Gm gm mid g in G subset M nazivayetsya orbitoyu elementa m M displaystyle m in M Diya grupi G displaystyle G na mnozhini M displaystyle M viznachaye na nij vidnoshennya ekvivalentnosti n m M n Gm g Ggn m Gn Gm displaystyle forall n m in M n sim G m Longleftrightarrow exists g in G gn m Longleftrightarrow Gn Gm Stabilizator Pidmnozhina Gm g G gm m G displaystyle G m g in G mid gm m subset G ye pidgrupoyu grupi G displaystyle G i nazivayetsya stabilizatorom elementa m M displaystyle m in M Stabilizatori elementiv odniyeyi orbit spryazheni tobto yaksho n Gm displaystyle n sim G m to isnuye takij element g G displaystyle g in G sho Gm gGng 1 displaystyle G m gG n g 1 Kilkist elementiv v orbiti Zagalna kilkist elementiv v orbiti elementa m M displaystyle m in M viznachayetsya za formuloyu Gm G Gm displaystyle Gm G G m de Gm displaystyle G m stabilizator elementa m displaystyle m i G Gm displaystyle G G m indeks pidgrupi Gm G displaystyle G m subset G sho dlya skinchennih grup rivnij G Gm displaystyle frac G G m Spravdi nehaj element n nalezhit do orbiti elementa m pripustimo n gm dlya deyakogo g G displaystyle g in G Viznachimo teper vidobrazhennya f n nH de H Gm stabilizator elementa m Dane oznachennya vidobrazhenyaya z mnozhini elementiv orbiti m na mnozhinu livih klasiv sumizhnosti po H ye nesuperechlivim adzhe yaksho y g1x g2x to g 12g1 H displaystyle g 1 2 g 1 in H i yak naslidok g1H g2H Zvazhayuchi na dovilnist viboru g oderzhuyemo sho vidobrazhennya ye syur yektivnim Z inshogo boku yaksho g1H g2H todi g 12g1 H displaystyle g 1 2 g 1 in H i zgidno z oznachennyam stabilizatora g 12g1x x displaystyle g 1 2 g 1 x x zvidki viplivaye g1x g2x Tobto vidobrazhennya ye in yektivnim i znachit biyektivnim Tobto potuzhnist orbiti rivna potuzhnosti livih klasiv sumizhnosti po H tobto za oznachennyam rivna indeksu pidgrupi H sho dovodit tverdzhennya Yaksho M Gm1 Gm2 Gmk displaystyle M Gm 1 sqcup Gm 2 sqcup ldots sqcup Gm k to M t 1k G Gmt displaystyle M sum t 1 k G G m t formula rozbittya na orbiti Zvidsi viplivayut nastupni totozhnosti m M n Gm Gn G displaystyle forall m in M sum n in Gm G n G m M Gm k G displaystyle sum m in M G m k G Lema BernsajdaVariaciyi ta uzagalnennyaPsevdogrupa peretvorenDiv takozhPredstavlennya grupiDzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Vinberg E B Kurs algebri 4 e izd Moskva MCNMO 2011 592 s ISBN 978 5 94057 685 3 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi