Пучок модулів

У математиці, пучок модулів — це пучок над окільцьованим простором ${\displaystyle (X,O_{X})}$, що має структуру модуля над структурним пучком ${\displaystyle O_{X}}$.

Визначення

Для окільцьованого простору ${\displaystyle (X,O_{X})}$, пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулів (або просто ${\displaystyle O_{X}}$-модуль) — це пучок ${\displaystyle F}$ над ${\displaystyle X}$, такий що ${\displaystyle F(U)}$ є ${\displaystyle O_{X}(U)}$-модулем для кожної відкритої множини ${\displaystyle U}$, і для кожної відкритої множини ${\displaystyle V}$, що міститься в ${\displaystyle U}$, відображення обмеження ${\displaystyle F(U)\to F(V)}$ узгоджене зі структурою модулів: для кожних ${\displaystyle a\in O_{X}(U),f\in F(U)}$ маємо

${\displaystyle (af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}}$.

Морфізмом ${\displaystyle O_{X}}$-модулів ${\displaystyle F\to G}$ називають морфізм пучків, такий, що для будь-якої відкритої множини ${\displaystyle U}$ відображення ${\displaystyle F(U)\to G(U)}$ є морфізмом ${\displaystyle O_{X}(U)}$-модулів.

Приклади

• Структурний пучок ${\displaystyle O_{X}}$ є ${\displaystyle O_{X}}$-модулем. Пучок ${\displaystyle O_{X}}$- модулів, що є підпучком пучка ${\displaystyle O_{X}}$, називають пучком ідеалів на ${\displaystyle X}$.
• Якщо ${\displaystyle f:F\to G}$ — морфізм ${\displaystyle O_{X}}$- модулів, то ядро, образ і коядро ${\displaystyle f}$ є ${\displaystyle O_{X}}$-модулями.
• Будь-які прямі суми, прямі добутки, прямі і зворотні границі ${\displaystyle O_{X}}$-модулів є ${\displaystyle O_{X}}$-модулями. Пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулів називається вільним, якщо він ізоморфний прямій сумі декількох копій ${\displaystyle O_{X}}$. Пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулів ${\displaystyle F}$ називають локально вільним (рангу ${\displaystyle r}$) якщо в кожної точки ${\displaystyle X}$ існує відкритий окіл, на якому ${\displaystyle F}$ вільний (ізоморфний прямій сумі ${\displaystyle r}$ копій пучка ${\displaystyle O_{X}}$). Локально вільний пучок рангу 1 називають також оборотним пучком.
• Якщо ${\displaystyle F,G}$ — пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулів, пучок морфізмів з ${\displaystyle F}$ у ${\displaystyle G}$ можна визначити так:${\displaystyle U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).}$ Двоїстий ${\displaystyle O_{X}}$-модуль до ${\displaystyle O_{X}}$-модуля ${\displaystyle F}$ — це модуль морфізмів з ${\displaystyle F}$ у ${\displaystyle O_{X}}$.
• Пучок, асоційований з передпучком ${\displaystyle U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)}$ позначають ${\displaystyle F\otimes _{O_{X}}G}$. Його шар у точці ${\displaystyle x}$ канонічно ізоморфний ${\displaystyle F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}}$. Аналогічно визначають симетричний і зовнішній добуток.

Література

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М. : Мир, 1981.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas» [ 19 липня 2021 у Wayback Machine.]. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4, 1960.