Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїстий їхньому добутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку згортанням усіх стрілок. Проте, насправді добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.
Визначення
Нехай — категорія,
— індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт
, разом з морфізмами
, які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого
та сімейства морфізмів
існує єдиний морфізм
, такий що
, тобто наступна діаграма комутативна для всіх
:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTlqTDJObEwwTnZjSEp2WkhWamRDMHdNUzV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Кодобуток сімейства зазвичай позначають
або
Іноді морфізм позначають
щоб підкреслити його залежність від .
Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають або
, тоді діаграма набуває вигляду
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekppTDBOdmNISnZaSFZqZEMwd015NXpkbWN2TWpnd2NIZ3RRMjl3Y205a2RXTjBMVEF6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Відповідно, позначають при цьому
,
або
.
Єдиність результату операції можна альтернативно виразити як рівність
, справедливу для будь-яких
.
Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства — це такий об'єкт
, що для будь-якого об'єкта
функція
, задана як
, бієктивна.
Приклади
Цей розділ потребує доповнення. (жовтень 2012) |
Властивості
- Якщо сума об'єктів існує, то вона єдина з точністю до ізоморфізму.
- Комутативність:
- Асоціативність:
- Якщо у категорії існує початковий об'єкт
, то
- Категорія, в якій визначено добуток будь-яких двох об'єктів і є ініціальний об'єкт, є .
Дистрибутивність
У загальному випадку існує канонічний морфізм , де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTg0THpoa0wxQnliMlIxWTNRdFEyOXdjbTlrZFdOMFgwUnBjM1J5YVdKMWRHbDJhWFI1TG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Властивість універсальності для гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається , якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.
Матриця перетворень
Будь-який морфізм
породжує множину морфізмів
,
які задаються за правилом і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення
задає єдиний відповідний морфізм
Якщо у категорії існує нульовий об'єкт
для котрого для будь-якого об'єкта
існує єдиний морфізм
і єдиний морфізм
, то матриця перетворення
, яка визначається за правилом
називається одиничною матрицею.
- Приклад
В категорії скінченновимірних векторних просторів кодобуток просторів збігається з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень збігаються, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.
Література
- С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].
Див. також
- Добуток (теорія категорій) — двоїсте поняття.
Примітки
- Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М. : «Мир», 1972.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kodobutok kategorna suma simejstva ob yektiv uzagalnennya u teoriyi kategorij dlya ponyat diz yunktnogo ob yednannya mnozhin i topologichnih prostoriv ta pryamoyi sumi moduliv abo vektornih prostoriv Kodobutok simejstva ob yektiv ce najbilsh zagalnij ob yekt u yakij isnuye morfizm z kozhnogo ob yekta simejstva Kodobutok ob yektiv dvoyistij yihnomu dobutku tobto viznachennya kodobutkiv mozhna otrimati z viznachennya dobutku zgortannyam usih strilok Prote naspravdi dobutok i kodobutok ob yektiv razyuche vidriznyayutsya ViznachennyaNehaj C displaystyle mathcal C kategoriya X j j J displaystyle X j j in J indeksovane simejstvo yiyi ob yektiv Kodobutok cogo simejstva ce takij ob yekt X displaystyle X razom z morfizmami i j X i X displaystyle i j colon X i to X yaki nazivayutsya kanonichnimi vkladennyami abo kanonichnimi in yekciyami hocha voni ne zobov yazani buti in yekciyami sho dlya bud yakogo Y O b C displaystyle Y in Ob mathcal C ta simejstva morfizmiv f j X j Y displaystyle f j colon X j to Y isnuye yedinij morfizm f X Y displaystyle f colon X to Y takij sho f j f i j displaystyle f j f circ i j tobto nastupna diagrama komutativna dlya vsih j displaystyle j Kodobutok simejstva X j displaystyle X j zazvichaj poznachayut X j J X j displaystyle X coprod j in J X j abo X j J X j displaystyle X bigoplus j in J X j Inodi morfizm f displaystyle f poznachayut f j J f j j J X j Y displaystyle f coprod j in J f j coprod j in J X j to Y shob pidkresliti jogo zalezhnist vid f j displaystyle f j Kodobutok dvoh ob yektiv zazvichaj poznachayut X 1 X 2 displaystyle X 1 coprod X 2 abo X 1 X 2 displaystyle X 1 oplus X 2 todi diagrama nabuvaye viglyadu Vidpovidno f displaystyle f poznachayut pri comu f 1 f 2 displaystyle f 1 coprod f 2 f 1 f 2 displaystyle f 1 oplus f 2 abo f 1 f 2 displaystyle f 1 f 2 Yedinist rezultatu operaciyi displaystyle mozhna alternativno viraziti yak rivnist h i 1 h i 2 h displaystyle h circ i 1 h circ i 2 h spravedlivu dlya bud yakih h displaystyle h Isnuye ekvivalentne viznachennya kodobutku Kodobutok simejstva X j j J displaystyle X j j in J ce takij ob yekt X displaystyle X sho dlya bud yakogo ob yekta Y C displaystyle Y in C funkciya H o m X Y j J H o m X j Y displaystyle Hom X Y rightarrow prod j in J Hom X j Y zadana yak u u i j displaystyle u mapsto u circ i j biyektivna PrikladiCej rozdil potrebuye dopovnennya zhovten 2012 VlastivostiYaksho suma ob yektiv isnuye to vona yedina z tochnistyu do izomorfizmu Komutativnist a b b a displaystyle a b simeq b a Asociativnist a b c a b c displaystyle a b c simeq a b c Yaksho u kategoriyi isnuye pochatkovij ob yekt 0 displaystyle 0 to a 0 0 a a displaystyle a 0 simeq 0 a simeq a Kategoriya v yakij viznacheno dobutok bud yakih dvoh ob yektiv i ye inicialnij ob yekt ye DistributivnistU zagalnomu vipadku isnuye kanonichnij morfizm X Y X Z X Y Z displaystyle X times Y X times Z to X times Y Z de plyus poznachaye kodobutok ob yektiv Ce viplivaye iz isnuvannya kanonichnih proyekcij i vkladen ta z komutativnosti nastupnoyi diagrami Vlastivist universalnosti dlya X Y Z displaystyle X times Y Z garantuye pri comu isnuvannya shukanogo morfizmu Kategoriya nazivayetsya yaksho u nij cej morfizm ye izomorfizmom Matricya peretvorenBud yakij morfizm f i I a i j J b j displaystyle f colon bigoplus i in I a i to bigotimes j in J b j porodzhuye mnozhinu morfizmiv f i j a i b j displaystyle f ij colon a i to b j yaki zadayutsya za pravilom f i j p j f i i displaystyle f ij pi j circ f circ imath i i nazivayutsya matriceyu peretvorennya V inshij bik bud yaka matricya peretvorennya f i j a i b j displaystyle f ij colon a i to b j zadaye yedinij vidpovidnij morfizm f i I a i j J b j displaystyle scriptstyle f colon bigoplus i in I a i to bigotimes j in J b j Yaksho u kategoriyi isnuye nulovij ob yekt 0 displaystyle 0 dlya kotrogo dlya bud yakogo ob yekta x displaystyle x isnuye yedinij morfizm d x x 0 displaystyle d x colon x to 0 i yedinij morfizm c x 0 x displaystyle c x colon 0 to x to matricya peretvorennya f i j a i a j displaystyle f ij colon a i to a j yaka viznachayetsya za pravilom f i j c j d i i j i d i i j displaystyle f ij left begin matrix c j circ d i i neq j id i i j end matrix right nazivayetsya odinichnoyu matriceyu Priklad V kategoriyi skinchennovimirnih vektornih prostoriv V e c t f displaystyle mathcal V ect f kodobutok prostoriv zbigayetsya z yihnim dobutkom i ye yihnoyu pryamoyu sumoyu U comu vipadku kategorne ta zvichajne ponyattya matrici peretvoren zbigayutsya tak yak bud yakij skinchennovimirnij prostir mozhna rozklasti u pryamu sumu odnovimirnih Pri comu matricya peretvorennya usogo prostoru zadayetsya shlyahom navedennya obraziv vidpovidnih bazisnih vektoriv ta prodovzhennya peretvorennya na ves prostir za linijnistyu yedinim chinom LiteraturaS Mak Lejn Kategorii dlya rabotayushego matematika 1 stanciya metro 1 Fizmatlit 2004 1998 Div takozhDobutok teoriya kategorij dvoyiste ponyattya PrimitkiLambek J Scott P J Introduction to Higher Order Categorical Logic Cambridge University Press 1988 S 304 Bukur I Delyanu A Vvedenie v teoriyu kategorij i funktorov M Mir 1972