Кодобуток

Кодобуток (категорна сума) сімейства об'єктів — узагальнення у теорії категорій для понять диз'юнктного об'єднання множин і топологічних просторів та прямої суми модулів або векторних просторів. Кодобуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, у який існує морфізм з кожного об'єкта сімейства. Кодобуток об'єктів двоїстий їхньому добутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку згортанням усіх стрілок. Проте, насправді добуток і кодобуток об'єктів разюче відрізняються.

Визначення

Нехай ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категорія, ${\displaystyle \{X_{j}|j\in J\}}$ — індексоване сімейство її об'єктів. Кодобуток цього сімейства — це такий об'єкт ${\displaystyle X}$, разом з морфізмами ${\displaystyle i_{j}\colon \,X_{i}\to X}$, які називаються канонічними вкладеннями або канонічними ін'єкціями (хоча вони не зобов'язані бути ін'єкціями), що для будь-якого ${\displaystyle Y\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ та сімейства морфізмів ${\displaystyle f_{j}\colon \,X_{j}\to Y}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$, такий що ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}}$, тобто наступна діаграма комутативна для всіх ${\displaystyle j}$:

Кодобуток сімейства ${\displaystyle \{X_{j}\}}$ зазвичай позначають

${\displaystyle X=\coprod _{j\in J}X_{j}}$

або

${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

Іноді морфізм ${\displaystyle f}$ позначають

${\displaystyle f=\coprod _{j\in J}f_{j}:\coprod _{j\in J}X_{j}\to Y}$

щоб підкреслити його залежність від ${\displaystyle f_{j}}$.

Кодобуток двох об'єктів зазвичай позначають ${\displaystyle X_{1}\coprod X_{2}}$ або ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}}$, тоді діаграма набуває вигляду

Відповідно, ${\displaystyle f}$ позначають при цьому ${\displaystyle f_{1}\coprod f_{2}}$, ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2}}$ або ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$.

Єдиність результату операції ${\displaystyle [-,-]}$ можна альтернативно виразити як рівність ${\displaystyle [h\circ i_{1},h\circ i_{2}]=h}$, справедливу для будь-яких ${\displaystyle h}$.

Існує еквівалентне визначення кодобутку. Кодобуток сімейства ${\displaystyle \{X_{j}|j\in J\}}$ — це такий об'єкт ${\displaystyle X}$, що для будь-якого об'єкта ${\displaystyle Y\in C}$ функція ${\displaystyle Hom(X,Y)\rightarrow \prod _{j\in J}Hom(X_{j},Y)}$, задана як ${\displaystyle u\mapsto \{u\circ i_{j}\}}$, бієктивна.

Приклади

Властивості

• Якщо сума об'єктів існує, то вона єдина з точністю до ізоморфізму.
• Комутативність: ${\displaystyle a+b\simeq b+a.}$
• Асоціативність: ${\displaystyle (a+b)+c\simeq a+(b+c)}$
• Якщо у категорії існує початковий об'єкт ${\displaystyle \ 0}$, то ${\displaystyle a+0\simeq 0+a\simeq a.}$
• Категорія, в якій визначено добуток будь-яких двох об'єктів і є ініціальний об'єкт, є .

Дистрибутивність

У загальному випадку існує канонічний морфізм ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$, де плюс позначає кодобуток об'єктів. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:

Властивість універсальності для ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ гарантує при цьому існування шуканого морфізму. Категорія називається , якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.

Матриця перетворень

Будь-який морфізм

${\displaystyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{j\in J}b_{j}}$

породжує множину морфізмів

${\displaystyle f_{ij}\colon a_{i}\to b_{j}}$,

які задаються за правилом ${\displaystyle f_{ij}=\pi _{j}\circ f\circ \imath _{i}}$ і називаються матрицею перетворення. В інший бік, будь-яка матриця перетворення ${\displaystyle f_{ij}\colon a_{i}\to b_{j}}$ задає єдиний відповідний морфізм ${\displaystyle \scriptstyle f\colon \bigoplus _{i\in I}a_{i}\to \bigotimes _{j\in J}b_{j}.}$ Якщо у категорії існує нульовий об'єкт ${\displaystyle 0,}$ для котрого для будь-якого об'єкта ${\displaystyle x}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle d_{x}\colon x\to 0}$ і єдиний морфізм ${\displaystyle c_{x}\colon 0\to x}$, то матриця перетворення ${\displaystyle f_{ij}\colon a_{i}\to a_{j}}$, яка визначається за правилом

${\displaystyle f_{ij}=\left\{{\begin{matrix}c_{j}\circ d_{i},~i\neq j\\id_{i},~i=j\end{matrix}}\right.}$

називається одиничною матрицею.

Приклад

В категорії скінченновимірних векторних просторів ${\displaystyle {\mathcal {V}}ect_{f}}$ кодобуток просторів збігається з їхнім добутком і є їхньою прямою сумою. У цьому випадку категорне та звичайне поняття матриці перетворень збігаються, так як будь-який скінченновимірний простір можна розкласти у пряму суму одновимірних. При цьому матриця перетворення усього простору задається шляхом наведення образів відповідних базисних векторів та продовження перетворення на весь простір за лінійністю єдиним чином.

Література

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].

Див. також

• Добуток (теорія категорій) — двоїсте поняття.

Примітки

1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.
2. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М. : «Мир», 1972.